CRPE : Groupement 2, session 2024

A.1.aLe directeur envisage de constituer 14 équipes avec un maximum d'élèves des deux niveaux. Donner la composition de chaque équipe.

Le nombre maximal d'élèves de CE2 par équipe est le quotient entier de 72 par 14 : 72 = 14\times5+2, donc on peut mettre 5 élèves de CE2 par équipe.
Le nombre maximal d'élèves de CM1 par équipe est le quotient entier de 108 par 14 : 108 = 14\times7+10, donc on peut mettre 7 élèves de CM1 par équipe.
Chacune des 14 équipes est composée de 5 élèves de CE2 et de 7 élèves de CM1 (12 élèves par équipe).

A.1.bDans ces conditions, combien d'élèves ne participeront pas au tournoi ?

Élèves de CE2 non retenus : \begin{aligned}72-14\times5 &= 72-70 \\ &= 2\end{aligned}
Élèves de CM1 non retenus : \begin{aligned}108-14\times7 &= 108-98 \\ &= 10\end{aligned}
Donc, 2+10 = 12 élèves ne participeront pas au tournoi.

A.2.aPeut-il constituer 8 équipes ? Justifier.

72 = 8\times9, donc 72 est divisible par 8.
108 = 8\times13+4, donc 108 n'est pas divisible par 8.
Non, le directeur ne peut pas constituer 8 équipes en faisant participer tous les élèves, car 108 n'est pas divisible par 8.

A.2.bDécomposer 72 et 108 en produit de facteurs premiers.

72 = 2\times36 = 2\times2\times18 = 2\times2\times2\times9 = {2^{3}\times3^{2}}.
108 = 2\times54 = 2\times2\times27 = 2^{2}\times3^{3}.

A.2.cEn déduire la liste des diviseurs communs à 72 et 108.

Un diviseur commun à 72 ({2^{3}\times3^{2}}) et 108 (2^{2}\times3^{3}) s'écrit 2^{\alpha}\times3^{\beta} avec \alpha\leqslant2 et \beta\leqslant2 (les puissances minimales communes).
En faisant varier \alpha\in\{0,1,2\} et {\beta\in\{0,1,2\}}, on obtient les diviseurs communs : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36.

A.2.dQuel nombre d'équipes maximal le directeur peut-il constituer ? Préciser alors la composition de chaque équipe.

Pour que tous les élèves participent avec des équipes identiques, le nombre d'équipes doit être un diviseur commun à 72 et 108 : le plus grand est 36.
72\div36 = 2 et 108\div36 = 3.
Le directeur peut constituer au maximum 36 équipes, composées chacune de 2 élèves de CE2 et 3 élèves de CM1.

B.1Parmi les élèves de l'école Irène Joliot-Curie qui participent au tournoi, quelle est la proportion d'élèves de CE2 ?

L'école Irène Joliot-Curie compte {22+19 = 41} élèves participants, dont 22 en CE2.
\dfrac{22}{41} \approx 0{,}5366, soit environ 54 % (arrondi à l'unité).

B.2Calculer le nombre moyen d'élèves en classe de CM1 sur l'ensemble des quatre écoles.

Moyenne = \dfrac{24+19+34+31}{4} = \dfrac{108}{4} = 27 élèves.

B.3On choisit un élève au hasard parmi tous les élèves qui participent au tournoi. Quelle est la probabilité qu'il soit en CM1 ?

Il y a 72+108=180 élèves participants, dont 108 en CM1, et le tirage est équiprobable.
P = \dfrac{108}{180} = \dfrac{3}{5} soit 0,6.

B.4On choisit un élève au hasard parmi les élèves de CE2 qui participent au tournoi. Quelle est la probabilité qu'il soit scolarisé à l'école Aimé Césaire ?

Parmi les 72 élèves de CE2, 20 sont scolarisés à l'école Aimé Césaire, donc P = \dfrac{20}{72} = \dfrac{5}{18} (fraction irréductible).

A.1Tracer le plan de la cour d'école à l'échelle 1 cm pour 5 m, en justifiant les dimensions utilisées.

A.2Montrer que AS = 21 m.

Le triangle PAS est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore :
PS^{2} = PA^{2}+AS^{2}
\begin{aligned}AS^{2} &= PS^{2}-PA^{2} \\ &= 35^{2}-28^{2} \\ &= 1225-784 \\ &= 441\end{aligned}
AS = \sqrt{441} = 21 mètres.

A.3Calculer RC.

Les droites (AS) et (RC) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (PR) (angles droits en A et en R), donc (AS) et (RC) sont parallèles.
Les points P, A, R sont alignés (dans cet ordre) et les points P, S, C sont alignés (dans cet ordre).
Or, d'après le théorème de Thalès,
\begin{aligned}\dfrac{PA}{PR} &= \dfrac{PS}{PC} \\ &= \dfrac{AS}{RC}\end{aligned}
Avec \begin{aligned}PR &= PA+AR \\ &= 28+10 \\ &= 38\end{aligned} m, on utilise \dfrac{PA}{PR} = \dfrac{AS}{RC} : \dfrac{28}{38} = \dfrac{21}{RC}
RC = \dfrac{21\times38}{28} = 28,5 mètres.

A.4Vérifier que l'aire du quadrilatère RASC est égale à 247,5 m^{2}.

Le quadrilatère RASC est un trapèze de bases AS=21 m et RC=28{,}5 m (côtés parallèles), et de hauteur AR=10 m.
Aire = \dfrac{(AS+RC)\times AR}{2} = \dfrac{(21+28{,}5)\times10}{2} = \dfrac{495}{2} = 247,5 m^{2}, ce qui confirme la valeur annoncée.

B.1Calculer le nombre de pots nécessaires pour recouvrir la zone bétonnée.

Avec deux couches de résine, il faut recouvrir 2\times247{,}5 = 495 m^{2} au total.
\dfrac{495}{56} \approx 8{,}84 : comme il faut un nombre entier de pots suffisant pour tout recouvrir, il faut 9 pots.

B.2.aSoit f la fonction qui, au nombre n de pots achetés auprès du fournisseur A, associe le prix total à payer. Donner l'expression de f(n).

Le fournisseur A facture la résine et la pose à 215,75 € par pot, donc {f(n) = 215{,}75n}.

B.2.bSoit g la fonction qui, au nombre n de pots achetés auprès du fournisseur B, associe le prix total à payer. Donner l'expression de g(n).

Le fournisseur B facture 138,50 € par pot, plus un forfait de pose fixe de 600 €, donc g(n) = 138{,}5n+600.

B.3.aEn exploitant le graphique, déterminer le fournisseur le plus intéressant pour la commune ainsi que le coût approximatif correspondant.

La fonction f est linéaire (proportionnelle) : sa représentation est la droite C_{1}, qui passe par l'origine.
La fonction g est affine non linéaire (ordonnée à l'origine 600) : sa représentation est la droite C_{2}.
Pour n=9 pots (déterminé à la question B.1), la courbe C_{2} se trouve en dessous de C_{1} : le fournisseur B est donc le plus intéressant, pour un coût lu sur le graphique d'environ 1 850 €.

B.3.bCalculer le coût exact de ces travaux avec le fournisseur retenu.

g(9) = 138{,}5\times9+600 = 1246{,}5+600 = 1 846,50 €.

C.1Quelle formule a été saisie en cellule C2 puis étirée pour compléter la colonne C ?

Le fournisseur C facture 104,65 € par pot, plus un forfait de pose de 995,75 € : la formule saisie en C2 est =A2*104,65+995,75, à étirer vers le bas.

C.2À l'aide du tableau, déterminer à partir de combien de pots le fournisseur C semble être plus intéressant que le fournisseur B.

Pour n=11 pots, le coût du fournisseur B (2 123,50 €) reste inférieur à celui du fournisseur C (2 146,90 €).
Pour n=12 pots, le coût du fournisseur C (2 251,55 €) devient inférieur à celui du fournisseur B (2 262 €).
Le fournisseur C devient donc plus intéressant à partir de 12 pots.

C.3Écrire et résoudre une inéquation qui permet de retrouver ce résultat.

On cherche n tel que le coût du fournisseur C soit inférieur à celui du fournisseur B : {104{,}65n+995{,}75 < 138{,}5n+600}
995{,}75-600 < 138{,}5n-104{,}65n
395{,}75 < 33{,}85n
n > \dfrac{395{,}75}{33{,}85} \approx 11{,}69
Comme n est un nombre entier, le fournisseur C est plus intéressant à partir de n=12 pots, ce qui confirme le résultat précédent.

1.Montrer que le résultat du programme de calcul est 36 lorsque le nombre de départ choisi est 5.

Carré de 5 : 5^{2} = 25.
On ajoute le triple de 5 : \begin{aligned}25+3\times5 &= 25+15 \\ &= 40\end{aligned}
On soustrait 4 : 40-4 = 36.

2.Quel résultat obtient-on avec ce programme de calcul en choisissant \dfrac{5}{3} pour nombre de départ ?

Carré de \dfrac{5}{3} : \left(\dfrac{5}{3}\right)^{2} = \dfrac{25}{9}.
On ajoute le triple de \dfrac{5}{3} : \begin{aligned}\dfrac{25}{9}+3\times\dfrac{5}{3} &= \dfrac{25}{9}+5 \\ &= \dfrac{25}{9}+\dfrac{45}{9} \\ &= \dfrac{70}{9}\end{aligned}
On soustrait 4 : \dfrac{70}{9}-4 = \dfrac{70}{9}-\dfrac{36}{9} = \dfrac{34}{9}.

3.Recopier et compléter les lignes 4 et 5 du script Scratch pour qu'il exécute le programme de calcul.

4.aOn appelle x le nombre de départ. Exprimer en fonction de x le résultat final.

Le résultat final est x^{2}+3x-4.

4.bVérifier que ce résultat peut aussi s'écrire sous la forme (x-1)(x+4).

\begin{aligned}(x-1)(x+4) &= x^{2}+4x-x-4 \\ &= x^{2}+3x-4\end{aligned}
On retrouve bien le résultat de la question précédente.

4.cÉcrire et résoudre l'équation qui permet de trouver le(s) nombre(s) à choisir au départ pour obtenir zéro comme résultat.

On résout (x-1)(x+4) = 0.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un au moins des facteurs est nul :
x-1=0 ou x+4=0
Donc, x=1 ou x=-4.

1.aVérifier que l'arrondi à l'unité du volume de pâte en cm^{3} contenu dans le saladier (demi-sphère de diamètre 42 cm) est égal à 19 396 cm^{3}.

Le saladier a un rayon \begin{aligned}R &= \dfrac{42}{2} \\ &= 21\end{aligned} cm.
Volume d'une demi-sphère : \begin{aligned}V &= \dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{3}\pi R^{3} \\ &= \dfrac{2}{3}\pi\times21^{3} \\ &= \dfrac{2}{3}\pi\times9261 \\ &= 6174\pi\end{aligned}
6174\pi \approx 19\,396{,}19 cm^{3}, soit 19 396 cm^{3} arrondi à l'unité.

1.bExprimer ce volume en litre et en donner l'arrondi au dixième.

Comme 1 dm^{3} = 1 L, on a 19\,396 cm^{3} {= 19{,}396} dm^{3} \approx 19,4 L.

2.Le cuisinier utilise des moules cylindriques (3 cm de rayon, 5 cm de hauteur), remplis aux trois quarts de leur hauteur. Quel nombre maximal de moules peut-il remplir en utilisant toute la pâte ?

Hauteur utile de pâte par moule : {\dfrac{3}{4}\times5 = \dfrac{15}{4}} cm.
Volume utile par moule : {\pi\times3^{2}\times\dfrac{15}{4} = \dfrac{135}{4}\pi} cm^{3}.
Nombre de moules = \dfrac{6174\pi}{\frac{135}{4}\pi} = \dfrac{6174\times4}{135} = \dfrac{24\,696}{135} \approx 182{,}9.
Le cuisinier peut remplir au maximum 182 moules.

3.aLe cuisinier choisit des moules en forme de pavé droit (4 cm de largeur, 6 cm de longueur, 5 cm de hauteur). À quelle hauteur doit-il les remplir pour faire 210 gâteaux identiques en utilisant toute la pâte ?

Notons h la hauteur de remplissage (en cm). Le volume d'un moule rempli à la hauteur h est 4\times6\times h = 24h cm^{3}.
Pour 210 moules, le volume total est 210\times24h = 5040h cm^{3}, qui doit être égal au volume de pâte disponible : 5040h = 6174\pi
\begin{aligned}h &= \dfrac{6174\pi}{5040} \\ &\approx 3{,}848\end{aligned} cm.
Il faut remplir les moules à une hauteur d'environ 3,8 cm (arrondie au millimètre).

3.bQuand la pâte cuit, la hauteur du gâteau augmente de 15 %. Quelle sera la hauteur, arrondie au millimètre, de chaque gâteau après cuisson ?

Une augmentation de 15\,\% correspond à une multiplication par 1{,}15.
1{,}15\times3{,}848 \approx 4{,}426 cm, soit environ 4,4 cm après cuisson.

A.1Le nombre 1,63 est un nombre rationnel.

Vrai. 1{,}63 = \dfrac{163}{100}, qui s'écrit bien sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers : c'est un nombre rationnel.

A.2Tout nombre réel x vérifiant x<-4 appartient à l'intervalle ]-\infty~;~-6].

Faux. Contre-exemple : x=-5 vérifie -5<-4, mais -5 n'appartient pas à ]-\infty~;~-6] (car -5>-6).

A.3Le croquis ci-contre représente un carré.

Vrai. Le croquis présente un quadrilatère dont les 4 côtés sont marqués de même longueur et dont les 4 angles sont marqués comme des angles droits : ces propriétés (4 côtés égaux et 4 angles droits) définissent bien un carré, même si son orientation en « losange » sur le dessin peut faire penser au premier regard à un simple losange.

B.1L'équation 7x-9=0 a pour solution :

\begin{aligned}7x-9 = 0 &\iff 7x = 9 \\ &\iff x = \dfrac{9}{7} \end{aligned}
Réponse C (\dfrac{9}{7}) : la réponse A (1,29) n'est qu'une valeur arrondie de \dfrac{9}{7}, non la valeur exacte attendue.

B.2L'inéquation 5-4x\geqslant0 a pour solution les nombres x tels que :

\begin{aligned}5-4x \geqslant 0 &\iff 5 \geqslant 4x \\ &\iff \dfrac{5}{4} \geqslant x \\ &\iff x \leqslant 1{,}25 \end{aligned}
Réponse D (x\leqslant1{,}25).

B.3Zoé a 7 crayons de plus que Léa ; à elles deux, elles en ont 31. Soit x le nombre de crayons de Zoé. Une équation qui permet de calculer le nombre de crayons de Zoé est :

Léa a x-7 crayons (7 de moins que Zoé), donc à elles deux elles en ont {x+(x-7) = 2x-7}.
L'équation cherchée est 2x-7=31.
Réponse A (2x-7=31).

B.4« Je suis un nombre. Si on me retranche 5, puis on multiplie le résultat par 2, le résultat est strictement supérieur à mon quadruple. » Soit x le nombre cherché. Une inéquation qui permet de traduire ce problème est :

On retranche 5 : x-5. On multiplie ce résultat par 2 : 2(x-5) = 2x-10. Ce résultat est strictement supérieur au quadruple de x : 2x-10>4x.
En divisant les deux membres par 2 (nombre positif, l'inégalité ne change pas de sens) : x-5>2x.
Réponse C (x-5>2x), équivalente à la traduction directe 2x-10>4x (qui ne figure pas telle quelle parmi les propositions).