CRPE : Groupement 3, session 2024

A.1.aÉnoncer tous les résultats possibles lorsque l'on forme un nombre de trois chiffres en tirant successivement les trois cartes sans les remettre.

Il y a 3!=3\times2\times1=6 tirages possibles, correspondant aux six permutations des chiffres 3, 4 et 5 : 345 ; 354 ; 435 ; 453 ; 534 ; 543.

A.1.bQuelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

Un nombre est pair si son chiffre des unités est pair ; parmi 3, 4 et 5, seul 4 est pair.
Dans la liste précédente, deux nombres se terminent par 4 : 354 et 534.
P(\text{nombre pair}) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.

A.1.cQuelle est la probabilité de ne pas obtenir un multiple de 5 ?

Un nombre est multiple de 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5 ; dans la liste, deux nombres se terminent par 5 : 345 et 435.
\begin{aligned}P(\text{multiple de 5}) &= \dfrac{2}{6} \\ &= \dfrac{1}{3}\end{aligned} donc P(\text{pas multiple de 5}) = 1-\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}.

A.1.dQuelle est la probabilité d'obtenir un nombre divisible par 3 ?

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres l'est : ici \begin{aligned}3+4+5 &= 12 \\ &= 3\times4\end{aligned} ce qui est vrai quel que soit l'ordre des chiffres.
Les six nombres de la liste sont donc tous divisibles par 3 : l'évènement est certain, P=1.

A.2.aOn tire au hasard une carte pour le chiffre des dizaines, on la remet dans le sac, puis on tire au hasard une seconde carte pour le chiffre des unités. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre dont les deux chiffres sont identiques ?

Avec remise, il y a 3\times3=9 tirages équiprobables pour le couple (dizaines, unités).
Trois d'entre eux ont deux chiffres identiques : 33, 44 et 55.
P(\text{chiffres identiques}) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}.

A.2.bQuelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 9 ?

Parmi les 9 nombres possibles (33, 34, 35, 43, 44, 45, 53, 54, 55), seuls 45 et 54 sont multiples de 9.
P(\text{multiple de 9}) = \dfrac{2}{9}.

A.2.cQuelle est la probabilité d'obtenir un nombre inférieur ou égal à 40 ?

Seuls les nombres commençant par 3 (33, 34, 35) sont inférieurs ou égaux à 40 : trois cas sur neuf.
P(\text{nombre} \leqslant 40) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}.

B.1Quelle est la probabilité que la boule tirée soit de couleur jaune ?

La proportion de boules rouges est \dfrac{1}{4}, et il y a deux fois moins de boules jaunes que de boules rouges, donc la proportion de boules jaunes est \dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}.

B.2Quelle est la probabilité que la boule tirée soit de couleur bleue ?

P(\text{bleue}) = 1-P(\text{rouge})-P(\text{jaune}) = 1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{8}-\dfrac{2}{8}-\dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{8}.

B.3Déterminer la composition du sac sachant qu'il y a 7 boules jaunes.

Comme la proportion de boules jaunes est \dfrac{1}{8} et qu'il y a 7 boules jaunes, l'effectif total N du sac vérifie \dfrac{N}{8}=7, soit N=56.
Il y a donc \dfrac{56}{4}=14 boules rouges (proportion \dfrac{1}{4}) et 56-14-7=35 boules bleues.
Composition du sac : 35 boules bleues, 14 boules rouges et 7 boules jaunes (56 boules au total).

1.Déterminer l'expression de la fonction f qui, au nombre de vidéos téléchargées, associe le coût en euros avec l'offre F.

L'offre F coûte 0{,}70 € par téléchargement, donc f(x) = 0{,}7x.

2.aDéterminer le montant fixe par téléchargement avec l'offre G.

On cherche le montant fixe m, sachant que le coût s'écrit g(x)=mx+13 et que 142 téléchargements ont coûté 98,20 €.
142m+13 = 98{,}20
142m = 85{,}20
\begin{aligned}m &= \dfrac{85{,}20}{142} \\ &= 0{,}6\end{aligned}
Le montant fixe par téléchargement avec l'offre G est de 0,60 €.

2.bCalculer g(4).

g(4) = \dfrac{3}{5}\times4+13 = 2{,}4+13 = 15,4 (soit 15,40 €).

2.cDans le contexte de l'exercice, que représente l'image de 10 par la fonction g ?

\begin{aligned}g(10) &= \dfrac{3}{5}\times10+13 \\ &= 6+13 \\ &= 19\end{aligned}
L'image de 10 par g représente le coût, en euros, de 10 téléchargements de vidéos avec l'offre G, soit 19 €.

2.dL'équipe enseignante d'une troisième école a opté pour l'offre G et a payé 95,20 €. Combien de vidéos a-t-elle téléchargées ?

On résout g(x) = 95{,}20, soit {\dfrac{3}{5}x+13 = 95{,}20}.
\dfrac{3}{5}x = 82{,}20
\begin{aligned}x &= 82{,}20\times\dfrac{5}{3} \\ &= 137\end{aligned}
Cette école a téléchargé 137 vidéos.

3.À partir de combien de vidéos l'offre G devient-elle plus intéressante que l'offre F ? Justifier votre réponse.

On cherche les nombres x de vidéos pour lesquels g(x) < f(x), soit {\dfrac{3}{5}x+13 < 0{,}7x}.
0{,}6x+13 < 0{,}7x
13 < 0{,}1x
x > 130.
L'offre G devient donc plus intéressante que l'offre F à partir de 131 vidéos téléchargées.

4.aQuelle formule peut être saisie dans la cellule B2 et étirée sur toute la ligne pour obtenir le montant de la dépense avec l'offre F ?

=B1*0,7, formule à étirer de B2 jusqu'en F2 (le nombre de vidéos indiqué en ligne 1 est multiplié par le tarif de 0,70 € de l'offre F).

4.bUn tarif promotionnel permet de bénéficier d'une réduction de 20 % sur le montant total avec l'offre G. Quelle formule peut être saisie dans la cellule B3 et étirée sur toute la ligne ?

Bénéficier d'une réduction de 20 % revient à ne payer que 80 % du montant initial.
Il faut donc appliquer un coefficient de 0{,}8 au montant habituel de l'offre G, 0{,}6x+13.
Formule à saisir en B3, à étirer jusqu'en F3 : =(0,6*B1+13)*0,8.

1.Toute fraction est un nombre décimal.

Faux. Contre-exemple : \dfrac{1}{3} est une fraction, mais son écriture décimale 0{,}333... comporte une infinité de chiffres après la virgule : ce n'est pas un nombre décimal.

2.Tout nombre entier relatif est un nombre décimal.

Vrai. Pour tout entier relatif a, on peut écrire a = \dfrac{a}{10^{0}} : a s'écrit donc avec un nombre fini de chiffres après la virgule (aucun), c'est bien un nombre décimal.

3.Le carré d'un nombre impair est impair.

Soit n un nombre impair : il existe un entier k tel que n=2k+1.
\begin{aligned}n^{2} &= (2k+1)^{2} \\ &= 4k^{2}+4k+1 \\ &= 2(2k^{2}+2k)+1\end{aligned}
Comme 2k^{2}+2k est un entier, n^{2} s'écrit sous la forme 2k'+1 avec k' entier : n^{2} est donc impair.
Vrai.

4.Le produit de deux nombres est supérieur ou égal à chacun de ces deux nombres.

Faux. Contre-exemple : avec a=2 et b=0{,}5, \begin{aligned}a\times b &= 2\times0{,}5 \\ &= 1\end{aligned} qui est strictement inférieur à a=2.

5.Augmenter un prix de 15 % puis le diminuer de 15 % le ramène à sa valeur initiale.

Augmenter de 15 % revient à multiplier par 1{,}15, puis diminuer de 15 % revient à multiplier par 0{,}85.
Le coefficient multiplicateur global est \begin{aligned}1{,}15\times0{,}85 &= 0{,}9775 \\ &\neq 1\end{aligned}
Faux, cette double opération revient en réalité à une diminution globale de 2,25 % par rapport au prix initial.

1.Quelle est la nature de la figure obtenue en effectuant le bloc « figure de base » ?

Le bloc répète 4 fois la séquence « avancer de longueur pas, tourner de 90 degrés » : on obtient une ligne brisée fermée de 4 côtés de même longueur, avec un virage de 90^{\circ} à chaque sommet.
La figure obtenue est donc un carré.

2.En prenant 1 mm pour 5 pas, tracer la figure obtenue après avoir cliqué sur le drapeau vert.

3.aOn souhaite désormais que la figure de base soit un triangle équilatéral. Quelle(s) modification(s) doit-on effectuer dans le bloc « figure de base » ?

3.bQuel est le rapport entre les aires des deux triangles obtenus ?

Comme pour les carrés, le second triangle a un côté deux fois plus grand que le premier (100 pas contre 50 pas) : le coefficient d'agrandissement est {k=2}.
Les aires sont alors multipliées par \begin{aligned}k^{2} &= 2^{2} \\ &= 4\end{aligned}
Le rapport entre l'aire du grand triangle et celle du petit triangle est donc 4.

1.Quels sont les résultats obtenus avec les programmes A et B lorsque l'on choisit -3 comme nombre initial ?

Programme A : on élève -3 au carré puis on soustrait son quadruple : (-3)^{2}-4\times(-3) = 9+12 = 21.
Programme B : on multiplie (-3-9) par (-3+3), soit (-12)\times0 = 0.

2.On note x le nombre initial choisi. Montrer que {x^{2}-6x-27} correspond à l'expression obtenue en appliquant le programme B.

Le programme B calcule (x-9)(x+3).
\begin{aligned}(x-9)(x+3) &= x^{2}+3x-9x-27 \\ &= x^{2}-6x-27\end{aligned}
L'expression obtenue en appliquant le programme B est donc bien {x^{2}-6x-27}.

3.Quels sont le ou les nombres initiaux qui permettent d'obtenir le même résultat avec les deux programmes ? Justifier.

Le programme A calcule x^{2}-4x. On cherche x tel que {x^{2}-6x-27 = x^{2}-4x}.
-6x-27 = -4x
-6x+4x = 27
-2x = 27
\begin{aligned}x &= -\dfrac{27}{2} \\ &= -13{,}5\end{aligned}
Le seul nombre initial possible est -\dfrac{27}{2} (soit -13{,}5), puisque les termes en x^{2} s'éliminent et l'équation obtenue est du premier degré, avec une unique solution.

1.Déterminer le volume exact du cône en cm^{3}.

Le cône a pour rayon de base r=3 cm et pour hauteur h=4 cm : V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3}\times\text{Aire de la base}\times\text{Hauteur} = \dfrac{1}{3}\times\pi\times3^{2}\times4 = \dfrac{1}{3}\times36\pi = 12\pi cm^{3}.

2.Déterminer le volume exact du cylindre en cm^{3}.

Le cylindre a pour rayon de base r=3 cm et pour hauteur h=8 cm : V_{\text{cylindre}} = \text{Aire de la base}\times\text{Hauteur} = \pi\times3^{2}\times8 = 72\pi cm^{3}.

3.Démontrer que la génératrice [SA] du cône mesure 5 cm.

[SO'] est la hauteur du cône, donc (SO')\perp(AB) ; comme O' est le centre de la base, le triangle SO'A est rectangle en O'.
D'après le théorème de Pythagore :
SA^{2} = SO'^{2}+O'A^{2} = 4^{2}+3^{2} = 16+9 = 25
Donc, SA = \sqrt{25} = 5 cm.

4.Quelle quantité de stevia est nécessaire pour l'ensemble de la classe ? Arrondir le résultat au litre.

Le volume d'un saupoudreur est \begin{aligned}V &= V_{\text{cône}}+V_{\text{cylindre}} \\ &= 12\pi+72\pi \\ &= 84\pi\end{aligned} cm^{3}.
La classe comptant 24 élèves (un saupoudreur par élève), le volume total est \begin{aligned}V_{\text{total}} &= 24\times84\pi \\ &= 2\,016\pi\end{aligned} cm^{3}.
Comme 1 cm^{3} = 1 mL, V_{\text{total}} = 2\,016\pi mL \approx 6\,333{,}5 mL \approx 6{,}3 L.
Il faut donc environ 6 litres de stevia, arrondi au litre.

5.aDéterminer la longueur de l'arc de cercle d'extrémités A et A'. Justifier la réponse.

Le patron du cône est un secteur circulaire dont l'arc, une fois le cône reconstitué, doit coïncider exactement avec le cercle de la base du cône, de rayon 3 cm.
La longueur de cet arc est donc égale au périmètre de ce cercle : \ell = 2\pi\times3 = 6\pi cm.

5.bEn déduire la mesure de l'angle \alpha au degré près.

Le cercle de centre S et de rayon {SA=5} cm a pour périmètre 2\pi\times5=10\pi cm, ce qui correspond à un angle au centre de 360^{\circ}.
Par proportionnalité, l'angle \alpha correspondant à un arc de longueur 6\pi cm vérifie \dfrac{\alpha}{360} = \dfrac{6\pi}{10\pi}.
\alpha = 360\times\dfrac{6\pi}{10\pi} = 360\times0{,}6 = 216^{\circ}.

6.Construire, à l'échelle \dfrac{1}{2}, le patron du saupoudreur.