CRPE : Externe supplémentaire, session 2025

A.1Le triangle ABC est rectangle en B, avec AB = 140 m et BC = 105 m. Calculer la longueur du segment [AC] en mètre.

Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore :
\begin{aligned}AC^{2} &= AB^{2}+BC^{2} \\ &= 140^{2}+105^{2} \\ &= 19\,600+11\,025 \\ &= 30\,625\end{aligned}
AC = \sqrt{30\,625} = 175 m.

A.2D est le point de [BC] tel que BD = 75 m ; la parallèle à (AC) passant par D coupe (AB) en E. Démontrer que BE = 100 m.

Les droites (AE) et (CD) sont sécantes en B, et les droites (AC) et (ED) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
\begin{aligned}\dfrac{BE}{BA} &= \dfrac{BD}{BC} \\ &= \dfrac{ED}{AC}\end{aligned}
BE = \dfrac{BA\times BD}{BC} = \dfrac{140\times75}{105} = 100 m.

A.3.aCalculer l'aire du triangle ABC en m^{2}.

Le triangle ABC est rectangle en B, donc \mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{BA\times BC}{2} = \dfrac{140\times105}{2} = 7 350 m^{2}.

A.3.bEn déduire l'aire du quadrilatère AEDC en m^{2}.

Le triangle BED est lui aussi rectangle en B (même configuration que ABC), donc :
\begin{aligned}\mathcal{A}_{BED} &= \dfrac{BE\times BD}{2} \\ &= \dfrac{100\times75}{2} \\ &= 3\,750\end{aligned} m^{2}.
\mathcal{A}_{AEDC} = \mathcal{A}_{ABC} - \mathcal{A}_{BED} = 7\,350-3\,750 = 3 600 m^{2}.

A.3.cCalculer la valeur exacte de l'aire de la zone de jeu (quadrilatère AEDC et demi-disque de diamètre [DC]), puis donner la valeur arrondie au m^{2}.

\begin{aligned}DC &= BC-BD \\ &= 105-75 \\ &= 30\end{aligned} m, donc le demi-disque de diamètre [DC] a pour rayon 15 m.
Aire du demi-disque : {\dfrac{1}{2}\times\pi\times15^{2} = 112{,}5\pi} m^{2}.
Aire de la zone de jeu (valeur exacte) : 3\,600+112{,}5\pi m^{2}.
Valeur arrondie : 3\,600+112{,}5\pi \approx 3\,600+353{,}43 \approx 3 953 m^{2}.

B.1L'équipe 1 a couru à 11 km/h, l'équipe 2 à une allure de 6 min 10 s par km. Sachant que les deux équipes parcourent la même distance, laquelle a été la plus rapide ?

À 11 km/h, l'équipe 1 met \dfrac{3\,600}{11}\approx327 s pour parcourir 1 km, soit environ 5 min 27 s par km.
Or 5 min 27 s < 6 min 10 s (allure de l'équipe 2).
Comme les deux équipes parcourent la même distance totale, celle qui met le moins de temps par km met aussi le moins de temps au total.
L'équipe 1 a donc été la plus rapide.

B.2.aL'équipe 2 a été la plus rapide pour l'aller-retour à la balise X, avec une étendue de 2,9 minutes sur ces temps. Calculer le temps mis par l'équipe 4 pour cet aller-retour.

Les temps connus pour la balise X sont 5,2 min (équipe 1), 3,2 min (équipe 2, la plus rapide) et 4,5 min (équipe 3).
Si le temps de l'équipe 4 n'était pas le plus grand, l'étendue serait 5{,}2-3{,}2=2 min, ce qui ne correspond pas aux 2,9 min annoncées.
C'est donc le temps de l'équipe 4 qui constitue la plus grande valeur : 3{,}2+2{,}9 = 6,1 min.

B.2.bCalculer le temps moyen mis par les équipes pour l'aller-retour à la balise W, en minute seconde.

Moyenne {= \dfrac{4{,}1+5{,}5+4{,}9+4{,}5}{4} = \dfrac{19}{4} = 4{,}75} min.
0{,}75 min = 45 s, donc le temps moyen est de 4 min 45 s.

B.2.cQuelle formule saisir en cellule B6, puis recopier vers la droite, pour compléter la ligne 6 (moyennes) ?

=MOYENNE(B2:B5), formule à recopier vers la droite jusqu'en F6.

C.1Calculer le volume exact, en cm^{3}, du cône de sommet S, de hauteur OS = 15 cm et de base le disque de rayon OC = 10 cm.

V = \dfrac{1}{3}\times(\text{aire de la base})\times h = \dfrac{1}{3}\times\pi\times10^{2}\times15 = 500\pi cm^{3}.

C.2Le cône de sommet S et de hauteur SA = 3 cm est une réduction du cône de sommet S et de hauteur SO = 15 cm. Déterminer le coefficient de réduction.

Le coefficient de réduction est k = \dfrac{SA}{SO} = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5} (soit 0,2).

C.3Calculer le volume exact du cône de sommet S et de hauteur SA, en cm^{3}.

Pour une réduction de coefficient k, les volumes sont multipliés par k^{3} :
V' = k^{3}\times V = \left(\dfrac{1}{5}\right)^{3}\times500\pi = \dfrac{500\pi}{125} = 4\pi cm^{3}.

C.4En déduire le volume exact de la balise (tronc de cône), en cm^{3}, puis sa valeur arrondie au cm^{3}.

Le tronc de cône (la balise) s'obtient en retirant le petit cône du grand cône :
V_{\text{balise}} = 500\pi-4\pi = 496\pi cm^{3}.
Valeur arrondie : 496\pi \approx 1 558 cm^{3}.

1.aDéterminer la médiane de la série des distances parcourues par les benjamins (garçons), et interpréter la réponse.

L'effectif des benjamins est {1+5+1+1+1+2+1+1=13} (nombre impair).
La médiane est donc la \dfrac{13+1}{2} = 7^{\text{e}} valeur de la série ordonnée.
Effectifs cumulés croissants : 1 (jusqu'à 1 900 m), 6 (jusqu'à 2 100 m), 7 (jusqu'à 2 300 m)...
La 7^{\text{e}} valeur est donc 2 300 m : au moins la moitié des benjamins ont parcouru 2 300 m ou moins, et au moins la moitié en ont parcouru 2 300 m ou plus.

1.bCalculer la distance moyenne parcourue par l'ensemble de la catégorie (benjamins et benjamines), arrondie au mètre.

Somme des distances des benjamins : 1\,900\times1+2\,100\times5+2\,300\times1+2\,500\times1+2\,700\times1+2\,900\times2+3\,100\times1+3\,200\times1 = 32\,000.
Somme des distances des benjamines : 2\,100\times2+2\,300\times3+2\,500\times2+2\,700\times3+2\,900\times2+3\,100\times2 = 36\,200.
Effectif total : 13+14=27 enfants.
Moyenne = \dfrac{32\,000+36\,200}{27} = \dfrac{68\,200}{27} \approx 2 526 m.

1.cDéterminer la proportion des enfants ayant un indice de forme « bon » ou « très bon », en pourcentage arrondi à l'unité.

Chez les garçons (seuils 2 400–3 000 m pour « bon », plus de 3 000 m pour « très bon ») : les distances 2 500, 2 700, 2 900 (deux fois), 3 100 et 3 200 conviennent, soit {1+1+2+1+1=6} garçons.
Chez les filles (seuils 2 200–2 800 m pour « bon », plus de 2 800 m pour « très bon ») : les distances 2 300 (trois fois), 2 500 (deux fois), 2 700 (trois fois), 2 900 (deux fois) et 3 100 (deux fois) conviennent, soit {3+2+3+2+2=12} filles.
Proportion = \dfrac{6+12}{27} = \dfrac{18}{27} = \dfrac{2}{3} \approx 67 %.

2.aL'intégralité des benjamines et benjamins du club a-t-elle effectué ce second test ?

L'effectif du second test est {2+1+4+3+4+6+5+2 = 27}, ce qui correspond exactement à l'effectif total du premier test (27 enfants).
Oui, l'intégralité des enfants du club a bien effectué ce second test.

2.bCalculer l'étendue de cette seconde série de résultats.

Étendue = 3\,200-1\,900 = 1 300 m (toutes les distances de 1 900 m à 3 200 m sont représentées avec un effectif non nul).

2.cCalculer le taux d'évolution de la distance moyenne parcourue entre les deux tests, en pourcentage arrondi au dixième.

Taux d'évolution {= \dfrac{2\,693-2\,526}{2\,526} = \dfrac{167}{2\,526} \approx 0{,}066}
Soit environ 6,6 % d'augmentation.

3.aQuelle est la VO2 max d'un enfant ayant parcouru 2 800 m ?

D=2\,800 m =2{,}8 km.
VO_{2}\text{max} = 22{,}351\times2{,}8-11{,}288 = 62{,}5828-11{,}288 \approx 51,29 mL/min/kg.

3.bQuelle distance faut-il parcourir pour obtenir une VO2 max égale à 47 mL/min/kg (arrondie au mètre) ?

On résout 22{,}351\times D-11{,}288 = 47, soit 22{,}351\times D = 58{,}288.
\begin{aligned}D &= \dfrac{58{,}288}{22{,}351} \\ &\approx 2{,}608\end{aligned} km.
Il faut donc parcourir environ 2 608 m.

1.Tracer le motif obtenu par Apolline si elle appuie sur le drapeau (échelle : 1 cm pour 10 pixels).

En partant vers la droite (orientation 90^{\circ}) et en suivant le script d'Apolline, le stylo trace, dans l'ordre : 1 cm vers la droite, 3 cm vers le haut, 2 cm vers la gauche, 1 cm vers le bas, 1 cm vers la droite, puis 2 cm vers le bas.
Cette dernière étape ramène exactement au point de départ : la figure obtenue est donc une ligne brisée fermée, en forme de crochet, occupant une largeur de 2 cm et une hauteur de 3 cm.
Cette figure ne correspond pas au motif souhaité (voir question suivante) : le décrochement vers la gauche s'y produit après 2 cm de montée sur la partie supérieure, et non au milieu de la colonne verticale.

2.Quel élève a un script permettant d'obtenir le motif souhaité ?

En reproduisant pas à pas chacun des trois scripts à partir de l'orientation 90^{\circ}, seul le script de Sakhina reproduit exactement le motif cible (une colonne verticale de 3 cm avec un décrochement d'1 cm vers la gauche exactement à mi-hauteur).
Le script d'Apolline place son décrochement au mauvais endroit (la figure obtenue est fermée, alors que le motif cible ne l'est pas).
Le script de Kylian ne fait tourner le stylo que dans un seul sens : il repasse deux fois sur les mêmes segments au lieu de produire le décrochement attendu.
C'est Sakhina qui a un script permettant d'obtenir le motif souhaité.

3.Quelle est la nature de la transformation du plan qui permet de passer à la fois du motif 1 au motif 2, du motif 2 au motif 3 et du motif 3 au motif 4 ? Préciser les éléments caractéristiques de cette transformation.

Les quatre motifs sont des figures superposables, disposées consécutivement tout autour du point A (marqué d'une croix sur la figure), chacune occupant un quart de tour par rapport à la précédente.
Il s'agit de la rotation de centre A et d'angle 90^{\circ}, dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre).

1.Sur 100 lancers simulés, le dé A gagne 54 fois. Peut-on affirmer que le dé A a une probabilité de 54 % de gagner contre le dé B ? Justifier.

Non, on ne peut pas l'affirmer.
54 % est ici une fréquence observée sur un échantillon de 100 lancers, et non la probabilité théorique exacte.
Si l'on simulait à nouveau 100 lancers, on obtiendrait très probablement une fréquence différente : c'est le phénomène de fluctuation d'échantillonnage.

2.aÀ l'aide d'un tableau à double entrée, décrire l'ensemble des issues et identifier, pour chaque issue, le dé gagnant.

2.bMontrer que la probabilité que le dé B l'emporte sur le dé A est 5/9.

Sur les 6\times6=36 issues équiprobables, le dé B l'emporte dans les cas suivants : valeur 2 du dé A (2 faces) contre 3, 4 ou 8 du dé B (6 faces), soit 2\times6=12 issues ; valeur 6 ou 7 du dé A (4 faces) contre 8 du dé B (2 faces), soit {4\times2=8} issues.
Nombre total d'issues favorables au dé B : 12+8=20.
P(\text{B gagne}) = \dfrac{20}{36} = \dfrac{5}{9}.

1.Affirmation 1 : la fonction f : x \mapsto -\dfrac{7}{3}x est une fonction affine.

Une fonction affine s'écrit sous la forme f(x) = mx+p.
Ici f(x) = -\dfrac{7}{3}x est bien de cette forme, avec m=-\dfrac{7}{3} et p=0 : c'est une fonction linéaire, donc un cas particulier de fonction affine.
Vrai.

2.Affirmation 2 : le prix d'un objet est passé de 28 € à 56 €. Son prix a donc augmenté de 200 %.

Taux d'évolution = \dfrac{56-28}{28} = \dfrac{28}{28} = 1, soit une augmentation de 100 % (le prix a doublé), et non 200 %.
Faux.

3.Affirmation 3 : pour tout nombre x, l'expression A=(2x+3)(x-5)-2x^{2} est égale à l'expression B=-3(x-5)-4x.

On développe séparément chaque expression.
\begin{aligned}A &= (2x+3)(x-5)-2x^{2} \\ &= 2x^{2}-10x+3x-15-2x^{2} \\ &= -7x-15\end{aligned}
\begin{aligned}B &= -3(x-5)-4x \\ &= -3x+15-4x \\ &= -7x+15\end{aligned}
Comme -7x-15 \neq -7x+15 (par exemple pour x=0 : A=-15 et B=15), on a A \neq B.
Faux.

4.Affirmation 4 : tout carré est un losange.

Un carré est un parallélogramme dont les quatre côtés ont la même longueur, ce qui est précisément la caractérisation d'un losange.
Vrai (la réciproque, elle, est fausse : un losange n'est pas nécessairement un carré).

5.Affirmation 5 : soient a et b deux nombres décimaux non nuls. Le quotient de a par b est un nombre décimal.

Contre-exemple : a=1 et b=3 sont des nombres décimaux non nuls, mais {\dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{3}} n'est pas un nombre décimal (son écriture décimale est illimitée).
Faux.

6.Affirmation 6 : il existe deux nombres décimaux non nuls a et b tels que le quotient de a par b est un nombre décimal.

Il suffit de trouver un exemple : avec a=1 et b=2 (tous deux décimaux non nuls), \begin{aligned}\dfrac{a}{b} &= \dfrac{1}{2} \\ &= 0{,}5\end{aligned} qui est bien un nombre décimal.
Vrai.