CRPE : Groupement 2, session 2025

Affirmation 1 : \dfrac{35}{7} n'est pas un nombre décimal.

\dfrac{35}{7} = 5, qui est un entier.
Tout nombre entier est un nombre décimal (il s'écrit avec une partie décimale nulle, ici 5=5,0) : \dfrac{35}{7} est donc bien un nombre décimal.
Faux.

Affirmation 2 : 22,9 est un nombre rationnel.

22{,}9 = \dfrac{229}{10}, qui est le quotient de deux entiers : 22{,}9 est donc un nombre rationnel. Vrai.

Affirmation 3 : la somme de sept nombres entiers consécutifs est un multiple de 7.

Notons n, n+1, n+2, n+3, n+4, {n+5}, n+6 sept entiers consécutifs, avec n entier.
Leur somme vaut \begin{aligned}n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)+(n+6) &= 7n+21 \\ &= 7(n+3)\end{aligned}
Comme n+3 est un entier, cette somme est bien un multiple de 7.
Vrai.

Affirmation 4 : 496 est un nombre parfait.

496 = 2^{4}\times31, dont les diviseurs sont 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 et 496.
Les diviseurs positifs stricts de 496 (tous sauf lui-même) sont donc 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 et 248.
Leur somme vaut 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496.
Vrai, 496 est bien un nombre parfait.

Affirmation 5 : quel que soit le nombre réel positif x, la racine carrée de x est inférieure ou égale à x.

Contre-exemple : pour x=\dfrac{1}{4} (nombre réel positif), \begin{aligned}\sqrt{x} &= \sqrt{\dfrac{1}{4}} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}
Or \dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{4} : la racine carrée de x n'est donc pas inférieure ou égale à x pour cette valeur.
Faux.

Affirmation 6 : tout rectangle a pour axes de symétrie ses diagonales.

Un rectangle qui n'est pas un carré n'admet pas ses diagonales comme axes de symétrie : ses seuls axes de symétrie sont les deux médiatrices de ses côtés (passant par les milieux des côtés opposés).
Cette propriété est en revanche vraie pour un losange et pour un carré, mais pas pour un rectangle quelconque.
Faux.

1.La transformation du lait en crème entraîne une réduction du volume. Montrer que cette réduction est de 87,5 %.

Le passage de 8 L de lait à 1 L de crème correspond à un taux d'évolution de \begin{aligned}t &= \dfrac{1-8}{8} \\ &= \dfrac{-7}{8} \\ &= -0{,}875\end{aligned} soit une réduction de 87,5 %.

2.Déterminer la masse de beurre, en kilogrammes, que peut espérer fabriquer Claire chaque jour, si elle utilise la totalité du lait produit par ses vaches.

Chaque jour, les 248 vaches produisent 248\times30 = 7\,440 L de lait.
Ce volume de lait permet d'obtenir \dfrac{7\,440}{8} = 930 L de crème fraîche (réduction de 87{,}5\,\% vue à la question précédente).
Cette crème permet à son tour de fabriquer \dfrac{930}{3} = 310 kg de beurre par jour.

3.aDéterminer le volume d'une plaquette de beurre. On exprimera le résultat en cm^{3}.

V = 10\times6{,}5\times3{,}5 = 227,5 cm^{3}.

3.bComparer la masse volumique du beurre avec celle du lait.

\begin{aligned}\rho_{\text{beurre}} &= \dfrac{m}{V} \\ &= \dfrac{0{,}25}{0{,}2275} \\ &\approx 1{,}10\end{aligned} kg/L, en convertissant 227{,}5 cm^{3} {=0{,}2275} L (car 1 dm^{3} =1 L) et 250 g {=0{,}25} kg.
Comme la masse volumique du lait est de 1{,}03 kg/L, on a 1{,}10 > 1{,}03 : la masse volumique du beurre est supérieure à celle du lait (d'après ces données).

4.aMontrer qu'il est possible d'emballer une plaquette de beurre dans le papier alimentaire choisi par Claire.

4.bOn note A l'aire totale de la surface du pavé droit représentant la plaquette de beurre. Calculer A en cm^{2}.

Les deux faces supérieure et inférieure ont chacune une aire 10\times6{,}5=65 cm^{2}.
Les deux petites faces latérales ont chacune une aire 3{,}5\times6{,}5=22{,}75 cm^{2}.
Les deux grandes faces latérales ont chacune une aire 10\times3{,}5=35 cm^{2}.
Aire totale : A = 2\times65+2\times22{,}75+2\times35 = 130+45{,}5+70 = 245,5 cm^{2}.

4.cClaire pense que l'aire A représente au moins 60 % de l'aire de la feuille de papier alimentaire. A-t-elle raison ?

L'aire de la feuille de papier alimentaire est 23\times20=460 cm^{2}.
\begin{aligned}\dfrac{A}{460} &= \dfrac{245{,}5}{460} \\ &\approx 0{,}534\end{aligned} soit environ 53 % de l'aire de la feuille.
Comme 53\,\%<60\,\%, Claire n'a pas raison : l'aire A ne représente pas au moins 60 % de l'aire de la feuille.

5.aProposer une formule qui peut être saisie dans la cellule B9 pour obtenir le nombre total de plaquettes de beurre vendues en mars 2025.

=SOMME(B3:B8).

5.bProposer une formule qui peut être saisie dans la cellule C3 puis recopiée vers le bas pour compléter la colonne C.

=B3*2,5 (nombre de plaquettes vendues multiplié par le prix unitaire de 2{,}5 €), formule à recopier vers le bas.

Préalable : modéliser les événements de l'exercice.

Pour chaque saut, les trois événements « toucher la planche », « dépasser la planche » et « réussir le saut » sont équiprobables : chacun a pour probabilité \dfrac{1}{3}.
« Mordre » correspond à « toucher la planche » ou « dépasser la planche » (deux issues incompatibles), donc \begin{aligned}P(\text{mordre}) &= \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3} \\ &= \dfrac{2}{3}\end{aligned} et P(\text{réussir}) = \dfrac{1}{3}.
Les deux sauts de Jean-Baptiste sont indépendants.

1.Déterminer la probabilité que Jean-Baptiste réussisse chacun de ses deux sauts.

Les deux sauts étant indépendants, P(\text{réussir les deux}) = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}.

2.Déterminer la probabilité qu'il « morde » au premier saut et qu'il réussisse le second saut.

P(\text{mordre puis réussir}) = \dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{9}.

3.Déterminer la probabilité qu'il « morde » exactement une fois.

Jean-Baptiste peut mordre exactement une fois soit au premier saut (et réussir le second), soit au second saut (et avoir réussi le premier).
\begin{aligned}P(\text{mordre puis réussir}) &= \dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{3} \\ &= \dfrac{2}{9}\end{aligned} et \begin{aligned}P(\text{réussir puis mordre}) &= \dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3} \\ &= \dfrac{2}{9}\end{aligned}
D'où la probabilité recherchée : \dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{9} = \dfrac{4}{9}.

4.Déterminer la probabilité qu'il « morde » au moins une fois lors de ses deux sauts.

L'événement « mordre au moins une fois » est le contraire de l'événement « réussir les deux sauts » (question 1).
P(\text{mordre au moins une fois}) = 1-\dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}.

1.Première possibilité : déterminer la longueur du segment [IP], arrondie au mètre.

Comme (IA)\perp(IJ) et (JB)\perp(IJ), les droites (IA) et (JB) sont parallèles (toutes deux perpendiculaires à la même droite (IJ)).
Les points A, P, B sont alignés et les points I, P, J sont alignés : on est dans une configuration de Thalès dite « en papillon ».
Or, d'après le théorème de Thalès,
\begin{aligned}\dfrac{PI}{PJ} &= \dfrac{PA}{PB} \\ &= \dfrac{IA}{JB} \\ &= \dfrac{30}{46} \\ &= \dfrac{15}{23}\end{aligned}
Comme \begin{aligned}PI+PJ &= IJ \\ &= 120\end{aligned} en notant x=PI (donc PJ=120-x) :
\dfrac{x}{120-x} = \dfrac{30}{46}, soit \begin{aligned}46x &= 30(120-x) \\ &= 3\,600-30x\end{aligned} d'où 76x=3\,600
\begin{aligned}x &= \dfrac{3\,600}{76} \\ &\approx 47{,}37\end{aligned}
La longueur du segment [IP], arrondie au mètre, est donc d'environ 47 m.

2.aDéterminer AP^{2} et PB^{2} en fonction de x.

Dans le triangle API, rectangle en I, d'après le théorème de Pythagore :
AP^{2} = AI^{2}+IP^{2} = 30^{2}+x^{2} = 900+x^{2}
Dans le triangle PJB, rectangle en J, d'après le théorème de Pythagore :
PB^{2} = JB^{2}+PJ^{2} = 46^{2}+(120-x)^{2} = 2\,116+(120-x)^{2} = x^{2}-240x+16\,516.

2.bEn déduire que la longueur du segment [IP], arrondie au mètre, est égale à 65 m.

On veut AP=PB, ce qui équivaut à AP^{2}=PB^{2} :
900+x^{2} = x^{2}-240x+16\,516
\begin{aligned}240x &= 16\,516-900 \\ &= 15\,616\end{aligned}
\begin{aligned}x &= \dfrac{15\,616}{240} \\ &= \dfrac{976}{15} \\ &\approx 65{,}07\end{aligned}
La longueur du segment [IP], arrondie au mètre, est donc bien égale à 65 m.

3.aAlice suit le chemin [AP] puis [PB] à 4,5 km/h. Combien de temps met-elle, en minutes et secondes arrondies à la seconde ?

Par définition du point P dans cette configuration, AP=PB : le trajet [AP] puis [PB] mesure donc 2\times AP.
\begin{aligned}AP^{2} &= 900+x^{2} \\ &\approx 900+\left(\dfrac{976}{15}\right)^{2} \\ &\approx 900+4\,233{,}7 \\ &= 5\,133{,}7\end{aligned} donc AP\approx71{,}65 m.
Le trajet total mesure donc 2\times AP \approx 143,3 m.
La vitesse d'Alice est 4{,}5 km/h {= \dfrac{4\,500}{3\,600} = 1{,}25} m/s.
Le temps mis est \begin{aligned}t &= \dfrac{d}{v} \\ &\approx \dfrac{143{,}3}{1{,}25} \\ &\approx 114{,}6\end{aligned} s \approx115 s, soit environ 1 min 55 s.

3.bBob suit le chemin [BP] puis [PA] en 57 s. Déterminer sa vitesse en km/h, arrondie à l'unité.

Le trajet [BP] puis [PA] a la même longueur totale que celui d'Alice, soit environ 143{,}3 m, parcourue en 57 s.
\begin{aligned}v &= \dfrac{d}{t} \\ &\approx \dfrac{143{,}3}{57} \\ &\approx 2{,}51\end{aligned} m/s = 2{,}51\times3{,}6 \approx 9 km/h.

1.Pour a=40, tracer la figure obtenue à l'écran (échelle 1 cm pour 10 pas), aux instruments.

2.Indiquer l'orientation du lutin à la fin du programme.

Le lutin part orienté à 90 (vers la droite), puis tourne deux fois de suite de 135^{\circ} vers la gauche (sens antihoraire, qui diminue la valeur de la direction) : {90-135-135 = -180}, soit 180 (modulo 360^{\circ}).
Le lutin est orienté à 180^{\circ}, c'est-à-dire vers le bas.

3.Associer, sans justifier, chaque programme à la figure correspondante.

Programme A \rightarrow Figure 3.
Programme B \rightarrow Figure 1.
Programme C \rightarrow Figure 4.

3.(suite) Rationale (non demandée par l'énoncé, ajoutée par Logimaths pour la vérification).

Le Programme A ajoute, après chaque triangle, un virage de 90^{\circ} puis une avancée de (a+10) pas : la direction revient à 90 à chaque tour, donc les 4 triangles (de même taille) sont alignés côte à côte, séparés par un petit espace de 10 pas : c'est bien la figure des triangles identiques et espacés (Figure 3).
Le Programme B ne comporte aucune remise à niveau de direction après le triangle : chaque triangle se referme exactement sur le même point de départ, mais la direction finale a tourné de 90^{\circ} de plus à chaque passage dans la boucle. Les 4 triangles partagent donc le même sommet et sont tournés successivement de 90^{\circ} les uns par rapport aux autres, formant un losange à quatre pointes (Figure 1).
Le Programme C ajoute 10 à la valeur de a à chaque tour, sans aucune avancée ni virage supplémentaire : chaque triangle repart du même point, dans la même orientation, mais avec des côtés de plus en plus longs. Les 4 triangles sont donc emboîtés autour du même sommet, de tailles croissantes et de même orientation (Figure 4).
La Figure 2 (triangles de tailles croissantes mais accolés sans aucun espace) ne correspond à aucun des trois programmes : c'est le distracteur de cette question.