CRPE : Groupement 1, session 2026

A.1Formule en D2 (à étirer jusqu'en D7) donnant le montant d'une ligne de visiteurs.

=B2*C2 (nombre de visiteurs multiplié par le prix unitaire), formule à étirer de D2 jusqu'en D7.

A.2Formule en D8 donnant le montant total avant réduction.

=SOMME(D2:D7).

A.3Formule en D9 donnant le montant total après réduction de 15 %.

=D8*0,85.

B.1Exprimer en fonction de n le coût total de la visite pour n élèves accompagnés de 4 adultes.

Le prix d'un élève est 8{,}50 € et celui d'un adulte est 16 €.
Le coût total est {8{,}5n + 4\times16 = 8{,}5n+64} (en euros).

B.2L'école a payé 378,50 € au musée. Combien d'élèves ont participé ?

On résout 8{,}5n+64 = 378{,}50.
\begin{aligned}8{,}5n &= 378{,}50-64 \\ &= 314{,}50\end{aligned}
\begin{aligned}n &= \dfrac{314{,}50}{8{,}5} \\ &= 37\end{aligned}
37 élèves ont participé à la sortie.

C.1Calculer la vitesse moyenne de l'autocar, arrondie à l'unité.

Le trajet de 85 km est parcouru en 1 h 10 min, soit 1+\dfrac{10}{60}=\dfrac{7}{6} heure.
\begin{aligned}v &= \dfrac{85}{\frac{7}{6}} \\ &= \dfrac{85\times6}{7} \\ &= \dfrac{510}{7} \\ &\approx 72{,}86\end{aligned} km/h.
La vitesse moyenne est d'environ 73 km/h.

C.2Calculer le coût total du transport pour le voyage aller-retour (carburant et péage à la charge du client).

Distance totale aller-retour : {2\times85 = 170} km.
Carburant consommé : {170\times\dfrac{30}{100} = 51} litres, soit un coût de {51\times1{,}60 = 81{,}60} €.
Péage : le trajet aller-retour compte 2 passages, soit 2\times13{,}90 = 27{,}80 €.
Forfait journalier de mise à disposition du bus avec chauffeur : 150 €.
Coût total : 81{,}60+27{,}80+150 = 259{,}40 €.

Dénombrement préalable : combien de tickets sont gagnants ?

Le nombre de lots est {1+2+5+20+50 = 78} : il y a donc 78 tickets gagnants sur les 500, et 500-78=422 tickets perdants.

A.1Probabilité de gagner un lot de 50 €.

Il y a 2 lots de 50 €, donc P = \dfrac{2}{500} = \dfrac{1}{250}.

A.2Probabilité de gagner un lot de valeur strictement supérieure à la mise de départ (2 €).

Les lots de valeur strictement supérieure à 2 € sont ceux de 100 €, 50 €, 10 € et 5 € (tous sauf les lots de 2 € eux-mêmes) : 1+2+5+20=28 lots.
P = \dfrac{28}{500} = \dfrac{7}{125}.

A.3Probabilité que le ticket tiré porte la mention « Perdu ».

P = \dfrac{422}{500} = \dfrac{211}{250}.

B.1Calculer le nombre moyen de tickets vendus par élève, arrondi à l'unité.

Effectif total : {10+4+8+14+12+3 = 51} élèves.
Somme des tickets vendus : \begin{aligned}4\times10+6\times4+7\times8+10\times14+15\times12+20\times3 &= 40+24+56+140+180+60 \\ &= 500\end{aligned}
Moyenne = \dfrac{500}{51} \approx 9{,}80, soit environ 10 tickets.

B.2.aEn explicitant la démarche, déterminer la médiane.

Il y a n=51 valeurs (nombre impair) : la médiane est la \dfrac{51+1}{2} = 26^{\text{e}} valeur de la série ordonnée.
Effectifs cumulés croissants : 10 (jusqu'à 4 tickets), 14 (jusqu'à 6), 22 (jusqu'à 7), 36 (jusqu'à 10), 48 (jusqu'à 15), 51 (jusqu'à 20).
La 26^{\text{e}} valeur se situe dans le groupe « 10 tickets » (rangs 23 à 36) : la médiane est 10 tickets.

B.2.bInterpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

Au moins la moitié des élèves ont vendu 10 tickets ou moins, et au moins la moitié en ont vendu 10 ou plus.

1.Montrer que BC = 60 mètres.

Le triangle ABC est rectangle en B, donc d'après le théorème de Pythagore :
AC^{2} = AB^{2}+BC^{2}
\begin{aligned}BC^{2} &= AC^{2}-AB^{2} \\ &= 65^{2}-25^{2} \\ &= 4225-625 \\ &= 3600\end{aligned}
BC = \sqrt{3600} = 60 mètres.

2.Montrer que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

Les points B, A, E sont alignés et les points C, A, D sont alignés, avec A entre B et E d'une part, et A entre C et D d'autre part : les droites (BC) et (DE) sont donc dans une configuration de Thalès dite « en papillon ».
Or, d'après la réciproque du théorème de Thalès,
\begin{aligned}\dfrac{AB}{AE} &= \dfrac{25}{15} \\ &= \dfrac{5}{3}\end{aligned} et \begin{aligned}\dfrac{AC}{AD} &= \dfrac{65}{39} \\ &= \dfrac{5}{3}\end{aligned}
Comme \dfrac{AB}{AE} = \dfrac{AC}{AD}, les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

3.Calculer la longueur totale du parcours EBCDE.

\begin{aligned}EB &= EA+AB \\ &= 15+25 \\ &= 40\end{aligned} m et \begin{aligned}CD &= CA+AD \\ &= 65+39 \\ &= 104\end{aligned} m.
D'après le théorème de Thalès (les droites (BC) et (DE) étant parallèles) : \begin{aligned}\dfrac{DE}{BC} &= \dfrac{AE}{AB} \\ &= \dfrac{15}{25} \\ &= \dfrac{3}{5}\end{aligned}
\begin{aligned}DE &= BC\times\dfrac{3}{5} \\ &= 60\times\dfrac{3}{5} \\ &= 36\end{aligned} m.
Longueur totale : EB+BC+CD+DE = 40+60+104+36 = 240 mètres.

4.aVérifier que le volume de sable nécessaire pour un plot est de 6,45 dm^{3}.

Volume du cône (rayon r=10 cm =1 dm, hauteur h=415 mm =4{,}15 dm) :
\begin{aligned}V_{\text{cône}} &= \dfrac{1}{3}\times\pi\times r^{2}\times h \\ &= \dfrac{1}{3}\times\pi\times1^{2}\times4{,}15 \\ &\approx 4{,}35\end{aligned} dm^{3}.
Volume du socle, pavé droit à base carrée de côté 245 mm =2{,}45 dm et de hauteur 450-415=35 mm =0{,}35 dm :
\begin{aligned}V_{\text{socle}} &= 2{,}45\times2{,}45\times0{,}35 \\ &\approx 2{,}10\end{aligned} dm^{3}.
Volume total : 4{,}35+2{,}10 = 6,45 dm^{3} (arrondi au centième), conforme à l'énoncé.

4.bDéterminer la masse de sable nécessaire pour remplir un plot, arrondie au dixième de kilogramme.

Une densité de 1{,}6 tonne par mètre cube équivaut à 1{,}6 kg par dm^{3}.
Masse = 6{,}45\times1{,}6 = 10{,}32 kg, soit environ 10,3 kg.

Affirmation 1 : Tout nombre divisible par 4 est divisible par 12.

Faux. Contre-exemple : 8 est divisible par 4 mais pas par 12.

Affirmation 2 : Pour tout nombre réel x, 24x^{2}-9 = (3x+1)(8x-5)-(-7x+4).

On développe le membre de droite :
(3x+1)(8x-5)-(-7x+4) = 24x^{2}-15x+8x-5+7x-4
= 24x^{2}+(-15x+8x+7x)+(-5-4) = 24x^{2}-9.
Vrai.

Affirmation 3 : Si a est un multiple de b et b est un multiple de c (c non nul), alors \dfrac{a}{c} est un nombre entier.

Comme a est un multiple de b, il existe un entier k tel que a=bk.
Comme b est un multiple de c, il existe un entier m tel que b=cm.
Donc a = cmk, d'où \dfrac{a}{c} = mk, qui est bien un nombre entier.
Vrai.

Affirmation 4 : Le nombre \dfrac{3500}{56\times10^{19}} est un nombre décimal.

\dfrac{3500}{56} = \dfrac{125}{2} (en simplifiant par 28), donc \dfrac{3500}{56\times10^{19}} = \dfrac{125}{2\times10^{19}}.
Or 10^{19} = 2^{19}\times5^{19} et 125=5^{3}, donc ce nombre s'écrit \dfrac{5^{3}}{2^{20}\times5^{19}} = \dfrac{1}{2^{20}\times5^{16}}.
Le dénominateur de cette fraction irréductible ne contient que les facteurs premiers 2 et 5 : ce nombre admet donc une écriture décimale finie.
Vrai, ce nombre est bien un nombre décimal.

Affirmation 5 : Un prix subit trois augmentations successives de 20 %. Ce prix a subi une augmentation globale de 72,8 %.

Trois augmentations successives de 20\,\% correspondent à une multiplication par 1{,}2^{3}.
1{,}2^{3} = 1{,}728, soit une augmentation globale de 72,8 %.
Vrai.

1.Déterminer la valeur, en degré, de la mesure de l'angle \alpha.

ABCD (le parallélogramme) a des angles consécutifs supplémentaires.
\alpha = 180-30 = 150^{\circ}.

2.Donner l'ordre des quatre étiquettes à insérer dans le script, en précisant la valeur manquante de l'étiquette C.

2.(suite) Justifier la valeur manquante de l'étiquette C.

Pour un parallélogramme, le stylo tourne à chaque sommet de l'angle extérieur, soit 180^{\circ} moins l'angle intérieur. Un des virages vaut {180-150=30^{\circ}} (déjà donné, étiquette D) ; l'autre vaut 180-30= 150^{\circ} (étiquette C).

3.Sans justifier, associer chacun des deux programmes à la figure qu'il permet d'obtenir.

Programme 1 \rightarrow Figure A.
Programme 2 \rightarrow Figure C.

3.(suite) Rationale (non demandée par l'énoncé, ajoutée par Logimaths pour la vérification).

Le Programme 1 positionne le stylo en écriture une seule fois avant la boucle et ne le relève qu'à la toute fin : chaque motif est retracé depuis le même point de départ (qui reste alors le centre de la figure), ce qui correspond aux figures A/B.
Le Programme 2 relève et repose le stylo à *chaque* répétition, et ajoute un « avancer de 40 pas » avant le motif sans jamais revenir au point de départ : la figure obtenue dérive donc progressivement loin de ce point de départ, qui n'est plus son centre : ce qui correspond aux figures C/D.
Entre A et B (12 répétitions à 30^{\circ} dans les deux scripts), la Figure A correspond au nombre de répétitions effectivement indiqué dans le script (12) ; la Figure B, plus dense, correspondrait à un nombre de répétitions différent. Entre C et D, la Figure C présente l'ouverture/le manque de raccord typique d'une dérive cumulative, tandis que la Figure D est une boucle fermée régulière.