CRPE bac+3 : Groupement 1, session 2026

1.Recopier et compléter le tableau à double entrée (école de 300 élèves).

On traduit d'abord les trois informations de l'énoncé en effectifs :
40\,\% des 300 élèves pratiquent un sport : 0{,}4\times300 = 120 élèves, donc {300-120 = 180} ne pratiquent pas de sport.
75 élèves pratiquent un instrument, donc 300-75 = 225 n'en pratiquent pas.
Parmi les 75 musiciens, 60\,\% pratiquent aussi un sport : 0{,}6\times75 = 45 élèves.
Le reste du tableau se complète par différences : sport sans instrument 120-45=75 ; instrument sans sport 75-45=30 ; ni l'un ni l'autre {180-30=150}.
Ligne « Pratiquent un sport » : 45, 75, 120. Ligne « Ne pratiquent pas un sport » : 30, 150, 180. Ligne « Effectif total » : 75, 225, 300.
Contrôle : chaque ligne et chaque colonne retombe bien sur son total.

2.On choisit un élève au hasard. Calculer la probabilité qu'il pratique au moins l'une de ces deux activités.

Les élèves qui pratiquent au moins une activité sont tous sauf ceux qui n'en pratiquent aucune, soit {300-150 = 150} élèves.
(On retrouve ce nombre avec {120+75-45 = 150} : en ajoutant sportifs et musiciens, les 45 qui font les deux sont comptés deux fois.)
P = \dfrac{150}{300} = \dfrac{1}{2}.

3.On choisit un élève qui pratique un sport. Probabilité qu'il pratique aussi un instrument (fraction irréductible).

On ne choisit plus parmi les 300 élèves mais parmi les 120 sportifs, dont 45 pratiquent un instrument.
P = \dfrac{45}{120} = \dfrac{3\times15}{8\times15} = \dfrac{3}{8} (simplification par 15).

1.Décrire comment on passe du motif d'une étape au motif de l'étape suivante.

D'une étape à la suivante, le motif gagne 3 carreaux : on ajoute un carreau à chacune des trois lignes du motif (les effectifs successifs sont 1, 4, 7, 10).

2.En déduire le nombre de carreaux du motif de l'étape 5 et celui de l'étape 20.

Étape 5 : 10+3 = 13 carreaux.
Étape 20 : à partir de l'étape 1 (1 carreau), on a ajouté 3 carreaux {20-1 = 19} fois, d'où 1+3\times19 = 1+57 = 58 carreaux.

3.Quelle formule, à étirer vers le bas, entrer en cellule B3 pour automatiser le calcul ?

=B2+3 (chaque cellule vaut celle du dessus augmentée de 3).

4.Exprimer, en fonction de n, le nombre de carreaux du motif de l'étape n.

De l'étape 1 à l'étape n, on ajoute n-1 fois 3 carreaux au carreau initial :
1+3(n-1) = 1+3n-3 = {3n-2} carreaux.
Contrôle : n=4 donne 3\times4-2 = 10, conforme à la figure.

5.Le motif est-il composé d'exactement 100 carreaux à l'une de ses étapes ? D'exactement 2000 carreaux ?

Pour 100 carreaux, on résout {3n-2 = 100}, soit 3n = 102 puis n = 34 : oui, à l'étape 34.
Pour 2000 carreaux, 3n-2 = 2000 donne 3n = 2002. Or 2002 n'est pas divisible par 3 (la somme de ses chiffres, 2+0+0+2 = 4, n'est pas un multiple de 3) : n ne serait pas entier.
Non : aucune étape ne compte exactement 2000 carreaux.

1.aJustifier que l'angle \widehat{DOC} mesure 72^{\circ}.

Le pentagone ABCDE est régulier et inscrit dans le cercle de centre O : ses 5 sommets découpent le cercle en 5 arcs de même longueur, donc les 5 angles au centre sont égaux.
\widehat{DOC} = \dfrac{360}{5} = 72^{\circ}.

1.bIndiquer la nature du triangle OCD.

OD et OC sont deux rayons du cercle, donc OD = OC : le triangle OCD est isocèle en O.

1.cDéterminer la mesure de l'angle \widehat{DCB}.

Dans le triangle OCD, isocèle en O, les angles à la base sont égaux et la somme des angles vaut 180^{\circ} :
\begin{aligned}\widehat{OCD} &= \dfrac{180-72}{2} \\ &= 54^{\circ}\end{aligned}
Par la même démarche dans le triangle OCB (isocèle en O, angle au centre 72^{\circ}) : \widehat{OCB} = 54^{\circ}.
\widehat{DCB} = \widehat{DCO}+\widehat{OCB} = 54+54 = 108^{\circ}.

1.dDéterminer la somme des angles de ce pentagone.

Le pentagone étant régulier, ses 5 angles ont tous la même mesure que \widehat{DCB}, soit 108^{\circ}.
Somme = 5\times108 = 540^{\circ}.

2.aDonner la nature des triangles JKL et LMN.

Dans le pentagone JKLMN : \begin{aligned}JK &= KL \\ &= 10\end{aligned} cm et \widehat{JKL} = 90^{\circ}, donc JKL est rectangle isocèle en K.
De même \begin{aligned}LM &= MN \\ &= 10\end{aligned} cm et \widehat{LMN} = 90^{\circ}, donc LMN est rectangle isocèle en M.

2.bEn déduire que \begin{aligned}JL &= LN \\ &= \sqrt{200}\end{aligned} cm.

Le triangle JKL est rectangle en K : d'après le théorème de Pythagore,
\begin{aligned}JL^2 &= JK^2+KL^2 \\ &= 10^2+10^2 \\ &= 100+100 \\ &= 200\end{aligned} donc JL = \sqrt{200} cm.
Le même calcul dans le triangle LMN, rectangle en M avec \begin{aligned}LM &= MN \\ &= 10\end{aligned} cm, donne LN = \sqrt{200} cm.
\begin{aligned}JL &= LN \\ &= \sqrt{200}\end{aligned} cm (soit 10\sqrt{2} \approx 14{,}1 cm).

1.X s'écrit avec quatre chiffres tous différents de 0, son nombre de dizaines est 12 et le chiffre de ses unités est le triple du chiffre de ses dixièmes. Affirmation 1 : il y a exactement deux valeurs possibles pour X.

FAUSSE. Le nombre de dizaines de X est 12 : X est compris entre 120 et 130 (non atteint), il s'écrit donc 12u{,}d avec u son chiffre des unités et d celui des dixièmes, tous deux non nuls.
La condition u = 3d avec u et d chiffres non nuls laisse trois possibilités : d=1 et u=3 ; d=2 et u=6 ; d=3 et u=9.
Il y a donc trois valeurs possibles : X = 123{,}1, X = 126{,}2 ou X = 129{,}3, et non deux.

2.Affirmation 2 : si un nombre entier est à la fois multiple de 4 et de 10, il est nécessairement multiple de 40.

FAUSSE. Contre-exemple : \begin{aligned}20 &= 4\times5 \\ &= 10\times2\end{aligned} est multiple de 4 et de 10, mais 20 n'est pas un multiple de 40.
Les multiples communs de 4 et 10 sont les multiples de leur PPCM, qui vaut 20 et non 4\times10 = 40.

3.Offre 1 : pour 1 produit acheté, le deuxième à moitié prix. Offre 2 : pour 1 produit acheté, 50 % de produit en plus offert. Affirmation 3 : ces deux promotions sont équivalentes.

FAUSSE. Comparons le prix ramené à une même quantité de produit, pour un prix de base p :
Offre 1 : on paye p+0{,}5p = 1{,}5p pour 2 produits, soit 0{,}75p par produit (25\,\% de réduction).
Offre 2 : on paye p pour 1,5 produit, soit \begin{aligned}\dfrac{p}{1{,}5} &= \dfrac{2p}{3} \\ &\approx 0{,}67p\end{aligned} par produit (environ 33\,\% de réduction).
Les deux promotions ne sont pas équivalentes : l'offre 2 est plus avantageuse.

4.Affirmation 4 : le quotient d'un nombre décimal par 4 est un nombre décimal.

VRAIE. Un nombre décimal s'écrit {d = \dfrac{a}{10^n}} avec a entier.
Alors \begin{aligned}\dfrac{d}{4} &= \dfrac{a}{4\times10^n} \\ &= \dfrac{25\times a}{100\times10^n} \\ &= \dfrac{25a}{10^{n+2}}\end{aligned} C'est encore un quotient d'entier par une puissance de 10, donc un nombre décimal.
(Concrètement : diviser par 4, c'est multiplier par 0,25, et l'écriture décimale reste finie.)

Lecture préalable de l'axe.

Entre O (abscisse 0) et U (abscisse 1), l'axe compte 8 intervalles de même longueur : chaque graduation vaut donc \dfrac{1}{8}.

1.Déterminer les abscisses a et b des points A et B.

A est situé 4 graduations après O : a = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} = 0,5.
B est situé 3 graduations après U : b = 1+\dfrac{3}{8} = \dfrac{11}{8} = 1,375.

2.aDéterminer l'abscisse du milieu du segment [OA].

Milieu de [OA] : \dfrac{0+0{,}5}{2} = 0,25.

2.bDéterminer l'abscisse du milieu du segment [OB].

Milieu de [OB] : \dfrac{0+\frac{11}{8}}{2} = \dfrac{11}{16} = 0,6875.

3.Les points C (c = 0{,}45) et D (d = \frac{4}{3}) appartiennent-ils au segment [AB] ? Proposer une démarche sans calculatrice.

Un point appartient à [AB] si et seulement si son abscisse est comprise entre a = \dfrac{1}{2} et b = \dfrac{11}{8}.
Pour C : on compare c = 0{,}45 et a = 0{,}5 en centièmes : 45 centièmes < 50 centièmes, donc c < a.
C n'appartient pas au segment [AB] (il est situé avant A).
Pour D : d = \dfrac{4}{3} est supérieur à 1, donc à a. Reste à le comparer à b = \dfrac{11}{8} : on met au même dénominateur 24 : \dfrac{4}{3} = \dfrac{32}{24} et \dfrac{11}{8} = \dfrac{33}{24}.
\dfrac{32}{24} < \dfrac{33}{24}, donc {a < d < b} : D appartient au segment [AB].