CRPE bac+3 : Groupement 2, session 2026

1.Montrer qu'il y a 7 sommes possibles, à préciser.

Chaque dé porte les nombres 1, 2, 3 et 4. En additionnant une face de chaque dé, la plus petite somme est 1+1 = 2 et la plus grande 4+4 = 8.
Toutes les valeurs intermédiaires sont atteintes (par exemple 3 = 1+2, {4 = 1+3}, 5 = 1+4, 6 = 2+4, 7 = 3+4).
Les sommes possibles sont donc 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8 : il y en a bien 7.

2.La probabilité d'obtenir une somme égale à 2 est-elle égale à \frac{1}{7} ?

Non. Les 7 sommes ne sont pas équiprobables : ce sont les 4\times4 = 16 couples de faces (dé 1, dé 2) qui le sont.
Une somme égale à 2 ne s'obtient que d'une seule façon, 1+1.
P = \dfrac{1}{16}, et non \dfrac{1}{7}.

3.L'événement « obtenir une somme égale à 5 » est-il plus probable que « obtenir une somme égale à 6 » ?

Une somme de 5 s'obtient de 4 façons : 1+4, 2+3, 3+2 et 4+1, d'où \begin{aligned}P(5) &= \dfrac{4}{16} \\ &= \dfrac{1}{4}\end{aligned}
Une somme de 6 s'obtient de 3 façons : 2+4, 3+3 et 4+2, d'où P(6) = \dfrac{3}{16}.
\dfrac{4}{16} > \dfrac{3}{16} : oui, la somme 5 est plus probable que la somme 6.

1.Nombre obtenu avec le programme A en choisissant -5 au départ.

-5+4 = -1, puis -1\times3 = -3, puis -3-11 = -14.
Le programme A donne -14.

2.Nombre choisi au départ pour obtenir -25 avec le programme B.

On remonte le programme B à l'envers : avant l'ajout de 5, le résultat valait -25-5 = -30 ; avant la multiplication par -4, le nombre de départ valait \dfrac{-30}{-4} = 7{,}5.
(Par équation : -4x+5 = -25 donne -4x = -30 puis x = 7{,}5.)
Il faut choisir 7,5 au départ.

3.On note x le nombre de départ. Montrer que le résultat du programme A est 3x+1.

En suivant les étapes du programme A :
x \longrightarrow x+4 \longrightarrow 3(x+4) = 3x+12 \longrightarrow 3x+12-11 = 3x+1.

4.aConstruire les représentations graphiques de f(x) = 3x+1 et {g(x) = -4x+5} (unité 1 cm).

Les deux fonctions sont affines : leurs représentations sont des droites.
Pour f : elle passe par (0\,;1) (ordonnée à l'origine 1) et (1\,;4) (coefficient directeur 3).
Pour g : elle passe par (0\,;5) et (1\,;1) (coefficient directeur -4).
On trace chaque droite en reliant ses deux points.

4.bDéterminer graphiquement, traits de construction apparents, l'antécédent de -3 par g.

On part de -3 sur l'axe des ordonnées, on trace l'horizontale jusqu'à la droite de g, puis la verticale jusqu'à l'axe des abscisses : on lit 2.
L'antécédent de -3 par g est 2, vérification : \begin{aligned}g(2) &= -4\times2+5 \\ &= -3\end{aligned}

4.cDéterminer algébriquement l'abscisse du point d'intersection des deux droites. Que représente cette valeur pour les programmes A et B ?

On résout f(x) = g(x) : {3x+1 = -4x+5}, d'où 3x+4x = 5-1, soit 7x = 4 et x = \dfrac{4}{7}.
L'abscisse du point d'intersection est \dfrac{4}{7}.
Comme f modélise le programme A et g le programme B, \dfrac{4}{7} est l'unique nombre de départ pour lequel les deux programmes renvoient le même résultat (qui vaut f\left(\frac{4}{7}\right) = \frac{19}{7}).

1.Justifier que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

D'après la figure, l'objet [DE] et l'écran [BC] sont tous deux perpendiculaires au sol (AB) : (DE)\perp(AB) et (BC)\perp(AB).
Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles : (BC) et (DE) sont parallèles.

2.En déduire la longueur AD à laquelle l'objet doit être placé de la source lumineuse.

Dans le triangle ABC : D appartient à [AB], E appartient à [AC] et (DE) \parallel (BC).
D'après le théorème de Thalès : \begin{aligned}\dfrac{AD}{AB} &= \dfrac{AE}{AC} \\ &= \dfrac{DE}{BC}\end{aligned}
\dfrac{AD}{9} = \dfrac{0{,}2}{1{,}2}, d'où \begin{aligned}AD &= \dfrac{9\times0{,}2}{1{,}2} \\ &= \dfrac{1{,}8}{1{,}2} \\ &= 1{,}5\end{aligned}
L'objet doit être placé à 1,5 m de la source lumineuse.

3.Par quel nombre multiplier l'aire de la plaque rectangulaire pour obtenir l'aire de l'ombre projetée ?

Le passage de l'objet à l'ombre est un agrandissement de rapport \begin{aligned}k &= \dfrac{BC}{DE} \\ &= \dfrac{1{,}2}{0{,}2} \\ &= 6\end{aligned}
Dans un agrandissement de rapport k, les longueurs sont multipliées par k et les aires par k^2.
L'aire est donc multipliée par 6^2 = 36.
(Contrôle : la plaque de 20 cm sur 10 cm, soit 200 cm^{2}, donne une ombre de 120 cm sur 60 cm, soit 7200 cm^{2} {= 36\times200}.)

A.1Calculer le nombre moyen de médailles d'or par pays, arrondi au dixième.

On multiplie chaque nombre de médailles par son nombre de pays, puis on additionne :
23\times1+12\times2+9\times3+4\times4+5+6+8+9+10+2\times12+13+14+15+16+18+20+2\times40 = 328 médailles en tout.
Moyenne = \dfrac{328}{63} \approx 5,2 médailles d'or par pays.

A.2Le Canada a obtenu 9 médailles d'or. Ce nombre est-il supérieur à la médiane de la série ?

La série compte 63 valeurs, un nombre impair : la médiane est la valeur centrale, c'est-à-dire la 32^{e} valeur de la série rangée dans l'ordre croissant.
En cumulant les effectifs : 23 pays ont 1 médaille, et 23+12 = 35 pays ont au plus 2 médailles.
Comme {23 < 32 \leq 35}, la 32^{e} valeur vaut 2 : la médiane est 2.
9 > 2 : oui, avec 9 médailles d'or le Canada dépasse la médiane de la série.

B.La médaille pèse 529 g et l'or pur représente 1,13 % de sa masse. Calculer la masse d'or pur, à l'unité près.

Masse d'or {= 529\times\dfrac{1{,}13}{100} = 529\times0{,}0113 = 5{,}9777} g.
Arrondie à l'unité : 6 g d'or pur par médaille.

C.Le script Scratch de Nina ne construit pas l'hexagone régulier demandé. Indiquer la correction à faire dans la boucle.

Dans la boucle « répéter 6 fois », remplacer « tourner de 120 degrés » par « tourner de 60 degrés » : à chaque sommet, le stylo doit pivoter de l'angle extérieur de l'hexagone régulier, qui vaut \dfrac{360}{6} = 60^{\circ} (et non de l'angle intérieur de 120^{\circ}).

Affirmation 1 : \frac{22}{25} est un nombre décimal.

VRAIE. \begin{aligned}\dfrac{22}{25} &= \dfrac{22\times4}{25\times4} \\ &= \dfrac{88}{100} \\ &= 0{,}88\end{aligned} Son écriture décimale est finie.
(De façon générale, une fraction dont le dénominateur ne contient que des facteurs 2 et 5, ici 25 = 5^2, est un nombre décimal.)

Affirmation 2 : après une augmentation de 50 % puis une baisse de 40 %, le prix d'un pull a subi une augmentation de 10 %.

FAUSSE. Les pourcentages successifs ne s'additionnent pas : on passe par les coefficients multiplicateurs.
Augmenter de 50\,\% revient à multiplier par 1,5 ; baisser de 40\,\% revient à multiplier par 0,6.
Coefficient global : 1{,}5\times0{,}6 = 0{,}9, soit une baisse de 10 % et non une hausse.
(Exemple : un pull à 100 € passe à 150 €, puis à 150\times0{,}6 = 90 €.)

Affirmation 3 : le nombre de dizaines de 6727 est 112 fois plus grand que son nombre de milliers.

VRAIE. Le nombre de dizaines de 6727 est 672 (car 6727 = 672\times10+7) et son nombre de milliers est 6 (car {6727 = 6\times1000+727}).
Or 672 = 112\times6 : le rapport vaut bien 112.
(Attention à ne pas confondre le nombre de dizaines, 672, avec le chiffre des dizaines, 2.)

Affirmation 4 : ajouter 13 dixièmes à 25,606 donne 25,736.

FAUSSE. 13 dixièmes valent \dfrac{13}{10} = 1{,}3 (et non 0,13, qui serait 13 centièmes).
25{,}606+1{,}3 = 26{,}906, qui est différent de 25,736.

Affirmation 5 : il existe au moins un entier dont le chiffre des unités est supérieur ou égal à 4, le chiffre des dizaines supérieur ou égal à 3, et dont le produit de ces deux chiffres est égal au nombre de centaines.

VRAIE. L'affirmation est existentielle : un exemple explicite suffit.
Prenons 1234 : chiffre des unités 4 (bien \geq4), chiffre des dizaines 3 (bien \geq3), produit 3\times4 = 12, et le nombre de centaines de 1234 est 12 (car {1234 = 12\times100+34}).
Les trois critères sont vérifiés : 1234 convient (3056 ou 8199 conviennent aussi).

Affirmation 6 : le triangle ABC (AB = 24 cm, BC = 18 cm, AC = 30 cm) n'est pas rectangle.

FAUSSE. Le plus grand côté est [AC]. D'une part \begin{aligned}AC^2 &= 30^2 \\ &= 900\end{aligned} d'autre part \begin{aligned}AB^2+BC^2 &= 24^2+18^2 \\ &= 576+324 \\ &= 900\end{aligned}
Comme AC^2 = AB^2+BC^2, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
L'affirmation « n'est pas rectangle » est donc fausse.