CRPE bac+3 : Groupement 3, session 2026

1.Affirmation 1 : lorsque l'on divise un nombre décimal par 10, on ne peut pas obtenir un nombre entier.

FAUSSE. Contre-exemple : 120 est un nombre décimal (tout entier en est un), et \dfrac{120}{10} = 12 est un entier.
(Autre exemple sans passer par un entier de départ : 32{,}0 est décimal et 320 : 10 = 32.)

1.Affirmation 2 : il n'y a pas de nombre décimal entre \frac{99\,999}{100\,000} et 1.

FAUSSE. \dfrac{99\,999}{100\,000} = 0{,}99999, et le nombre décimal 0{,}999995 est strictement compris entre 0{,}99999 et 1.
Entre deux nombres décimaux distincts, on peut toujours intercaler un autre décimal : il suffit d'ajouter une décimale.

1.Affirmation 3 : un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires et de même longueur est un carré.

FAUSSE. Il manque une condition : les diagonales d'un carré se coupent aussi en leur MILIEU.
Contre-exemple : un cerf-volant dont les deux diagonales mesurent 4 cm et sont perpendiculaires, mais où l'une ne coupe pas l'autre en son milieu, n'est pas un carré (ses côtés ne sont pas tous égaux).

1.Affirmation 4 : on lance deux dés cubiques équilibrés (faces 1 à 6). La probabilité que le produit des deux résultats soit égal à 12 est \frac{1}{9}.

VRAIE. Les deux dés étant équilibrés, les 6\times6 = 36 couples de résultats sont équiprobables.
Le produit vaut 12 pour 4 couples : (2\,;6), (3\,;4), (4\,;3) et (6\,;2).
\begin{aligned}P &= \dfrac{4}{36} \\ &= \dfrac{1}{9}\end{aligned}

2.aQCM : temps mis par la lumière du Soleil pour nous parvenir (vitesse 3\times10^5 km/s, distance 150 millions de km).

Réponse C : \begin{aligned}t &= \dfrac{d}{v} \\ &= \dfrac{150\times10^6}{3\times10^5} \\ &= 50\times10 \\ &= 500\end{aligned} s.
(Soit 8 minutes et 20 secondes.)

2.bQCM : la formule « =7*A1 - 3*A2*A2 » de la cellule A3 est étirée vers la droite. Nombre obtenu en B3 ?

Réponse C : étirée vers la droite, la formule devient « =7*B1 - 3*B2*B2 », soit avec B1 = 4 et B2 = -2 :
\begin{aligned}7\times4-3\times(-2)\times(-2) &= 28-12 \\ &= 16\end{aligned}

2.cQCM : ABC rectangle en B, AC = 13 cm, BC = 5 cm. Longueur AB ?

Réponse A : d'après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en B, AC^2 = AB^2+BC^2.
\begin{aligned}AB^2 &= 13^2-5^2 \\ &= 169-25 \\ &= 144\end{aligned} d'où AB = 12 cm.

2.dQCM : série 51 ; 70 ; 81 ; 13 ; 63 ; 57 ; 99. Quelle affirmation est vraie ?

Réponse D (« la médiane de cette série est 63 »).
Série rangée : 13 ; 51 ; 57 ; 63 ; 70 ; 81 ; 99. Avec 7 valeurs, la médiane est la 4^{e} : 63.
Les autres propositions sont fausses : l'étendue vaut 99-13 = 86 (et non 99) et la moyenne vaut \dfrac{434}{7} = 62 (et non 63).

1.Quantités pour six personnes, méthode explicitée.

La recette est donnée pour 4 personnes ; pour 6 personnes, les quantités sont proportionnelles : on multiplie tout par \dfrac{6}{4} = 1{,}5.
(Autre méthode : ajouter à la recette sa moitié, puisque 6 = 4+2.)
Farine : 250\times1{,}5 = 375 g ; œufs : 2\times1{,}5 = 3 œufs ; lait : 60\times1{,}5 = 90 cl ; beurre : 25\times1{,}5 = 37,5 g ; sucre : 1,5 cuillère à soupe.

2.Quelle fraction d'une plaquette de 250 g de beurre pour la recette pour quatre personnes (fraction irréductible) ?

La recette utilise 25 g sur 250 g : \dfrac{25}{250} = \dfrac{1}{10} de plaquette.

3.Avec 5 kg de farine et 3 douzaines d'œufs, peut-il faire des crêpes aux 70 élèves de l'école ?

Farine : 5 kg = 5000 g = 20\times250 g, de quoi faire 20 fois la recette, soit des crêpes pour 20\times4 = 80 personnes.
Œufs : 3 douzaines = 36 œufs = 18\times2, de quoi faire 18 fois la recette, soit {18\times4 = 72} personnes.
L'ingrédient limitant, les œufs, couvre 72 personnes : 72 \geq 70, donc oui, l'enseignant peut proposer des crêpes aux 70 élèves.

4.La quantité de lait passe de 60 cl à 50 cl. De quel pourcentage a-t-elle diminué (valeur approchée) ?

Variation : \begin{aligned}\dfrac{50-60}{60} &= \dfrac{-10}{60} \\ &= -\dfrac{1}{6} \\ &\approx -0{,}167\end{aligned}
La quantité de lait a diminué d'environ 17 % (16,7 %).

5.L'énigme : je suis un nombre décimal ; mon chiffre des centièmes est égal à mon nombre de centaines ; mon produit par 10 a pour chiffre des unités 4 et pour chiffre des dizaines 7 ; mon quotient par 10 a pour chiffre des millièmes 2 et pour chiffre des unités 3.

On traduit chaque indice sur le nombre cherché N :
produit par 10 : son chiffre des unités (4) est le chiffre des dixièmes de N, son chiffre des dizaines (7) est le chiffre des unités de N ;
quotient par 10 : son chiffre des millièmes (2) est le chiffre des centièmes de N, son chiffre des unités (3) est le chiffre des dizaines de N.
N s'écrit donc « …37,42 », et son chiffre des centièmes (2) doit être égal à son nombre de centaines : N est entre 200 et 300.
La réponse gagnante est 237,42. (Contrôles : 237{,}42\times10 = 2374{,}2 ; 237{,}42:10 = 23{,}742 ; nombre de centaines : 2.)

1.Aire totale du parterre rectangulaire, en m^{2}.

Aire = 8\times6 = 48 m^{2}.

2.Aire de la surface à ensemencer, arrondie au dixième.

Le bassin circulaire a un diamètre de 3 m, donc un rayon de 1,5 m.
Aire du bassin = \pi\times1{,}5^2 = 2{,}25\pi \approx 7{,}07 m^{2}.
Aire à ensemencer = 48-2{,}25\pi \approx 40,9 m^{2}.

3.Un sac de graines couvre 15 m^{2}. Combien de sacs au minimum ?

\dfrac{40{,}9}{15} \approx 2{,}7 : deux sacs ne suffisent pas.
Il faut prévoir au minimum 3 sacs.

4.Dimensions, en centimètres, du rectangle sur un plan à l'échelle \frac{1}{50}.

À l'échelle \dfrac{1}{50}, chaque longueur réelle est divisée par 50.
Longueur : 8 m = 800 cm, soit 800:50 = 16 cm sur le plan.
Largeur : 6 m = 600 cm, soit 600:50 = 12 cm sur le plan.

1.Mesure de l'angle du secteur « Vélo » d'un diagramme circulaire.

L'angle est proportionnel à l'effectif : 240 élèves correspondent à 360^{\circ}.
Angle « Vélo » = \dfrac{36}{240}\times360 = 54^{\circ}.

2.Probabilité qu'un élève choisi au hasard ne vienne pas en transports en commun.

\begin{aligned}P(\text{transports en commun}) &= \dfrac{72}{240} \\ &= 0{,}3\end{aligned}
P = 1-0{,}3 = 0{,}7 = \dfrac{7}{10} (soit les {120+36+12 = 168} élèves sur 240 qui utilisent un autre moyen).

3.De combien l'effectif des cyclistes doit-il augmenter pour que 20 % des enfants viennent à vélo ?

On veut que les cyclistes représentent 20\,\% de 240, soit 0{,}2\times240 = 48 élèves.
Ils sont aujourd'hui 36 : il faut que 48-36 = 12 élèves de plus optent pour le vélo.

1.aRésultat du programme A (soustraire 2, puis élever au carré) en partant de \frac{1}{3}, calculs détaillés.

\begin{aligned}\dfrac{1}{3}-2 &= \dfrac{1}{3}-\dfrac{6}{3} \\ &= -\dfrac{5}{3}\end{aligned}
\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2 = \dfrac{25}{9} : le programme A donne \dfrac{25}{9}.

1.bProposer un nombre de départ pour lequel le résultat du programme A est 9.

On cherche x tel que (x-2)^2 = 9 : le nombre x-2 vaut 3 ou -3.
D'où x = 5 ou x = -1 : 5 convient (et -1 aussi).
Vérification : \begin{aligned}(5-2)^2 &= 3^2 \\ &= 9\end{aligned}

2.aExprimer f(x), résultat du programme B (multiplier par 3, soustraire 4, multiplier par le nombre de départ).

f(x) = (3x-4)\times x = 3x^2-4x.

2.bDéterminer tous les nombres de départ pour lesquels le programme B renvoie zéro.

On résout f(x) = 0, c'est-à-dire {x(3x-4) = 0}.
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : {x = 0} ou {3x-4 = 0}.
Le programme B renvoie zéro pour {x = 0} ou x = \dfrac{4}{3}.

2.cPour quel(s) nombre(s) de départ les programmes A et B donnent-ils le même résultat ?

On résout (x-2)^2 = 3x^2-4x, soit {x^2-4x+4 = 3x^2-4x}.
Les termes -4x se simplifient : {x^2+4 = 3x^2}, d'où 2x^2 = 4 puis x^2 = 2.
Deux nombres ont 2 pour carré : \sqrt{2} et -\sqrt{2}.
Les programmes A et B donnent le même résultat pour x = \sqrt{2} ou {x = -\sqrt{2}}.