CRPE bac+3 : Sujet zéro (exemple officiel)

1.Ranger dans l'ordre croissant : 1,5 ; \frac{8}{4} ; \frac{3}{4} ; 0,7 ; 1 ; \frac{4}{3} ; 1,33 ; 1+\frac{3}{100}.

On convertit chaque écriture en écriture décimale : \dfrac{8}{4} = 2 ; \dfrac{3}{4} = 0{,}75 ; {\dfrac{4}{3} = 1{,}3333\ldots} ; 1+\dfrac{3}{100} = 1{,}03.
Attention au piège du classement : 1{,}33 < \dfrac{4}{3}, car {\dfrac{4}{3} = 1{,}3333\ldots} dépasse 1,33.
{0{,}7 < \dfrac{3}{4} < 1 < 1+\dfrac{3}{100} < 1{,}33 < \dfrac{4}{3} < 1{,}5 < \dfrac{8}{4}}.

2.aOn choisit un nombre au hasard (chacun a la même probabilité). Probabilité que ce soit un entier ?

Les 8 nombres sont équiprobables. Deux d'entre eux sont des entiers : 1 et \dfrac{8}{4} = 2.
P = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}.

2.bProbabilité que le nombre choisi soit un nombre décimal ?

Un nombre décimal a une écriture à virgule finie. C'est le cas de tous sauf \dfrac{4}{3} = 1{,}333\ldots, dont l'écriture est illimitée.
(Les entiers 1 et 2 sont aussi des décimaux : les entiers font partie des décimaux.)
P = \dfrac{7}{8}.

Miseen équation préalable.

Pour n visites de classe dans l'année : formule A, 45n ; formule B, 90+25{,}50n ; formule C, 300 € quel que soit n.

1.aUne école de quatre classes : chaque classe effectue une visite. Quelle formule est la plus avantageuse ?

Pour n = 4 : A donne 45\times4 = 180 € ; B donne \begin{aligned}90+25{,}5\times4 &= 90+102 \\ &= 192\end{aligned} € ; C donne 300 €.
{180 < 192 < 300} : la formule A est la plus avantageuse.

1.bChaque classe effectue deux visites. Quelle formule est la plus avantageuse ?

Pour n = 8 : A donne 45\times8 = 360 € ; B donne \begin{aligned}90+25{,}5\times8 &= 90+204 \\ &= 294\end{aligned} € ; C donne 300 €.
{294 < 300 < 360} : la formule B est la plus avantageuse.

2.À partir de combien de visites la formule C est-elle plus économique que la formule B ?

On résout 300 < 90+25{,}5n, soit {210 < 25{,}5n}, d'où n > \dfrac{210}{25{,}5} \approx 8{,}2.
Le nombre de visites étant entier : la formule C devient plus économique que la B à partir de 9 visites de classe.

3.Déterminer graphiquement à partir de combien de visites la formule B est plus économique que la formule A.

Sur le graphique, la droite de la formule B (ordonnée à l'origine 90) passe en dessous de celle de la formule A (droite passant par l'origine) entre la 4^{e} et la 5^{e} visite.
La formule B est plus économique que la A à partir de la cinquième visite de classe.
(Contrôle par le calcul : {45n > 90+25{,}5n} équivaut à 19{,}5n > 90, soit {n > 4{,}6}.)

4.L'école (4 classes, 2 visites par classe) choisit la formule la plus avantageuse et reçoit une subvention de 15 % du prix. Quel montant prévoir ?

D'après la question 1.b, la formule la plus avantageuse pour 8 visites est la B, à 294 €.
La subvention couvre 15\,\% du prix : l'école n'en paye que 85\,\%.
294\times0{,}85 = 249,90 €.

1.Déterminer l'aire du carré (côté 8 cm).

Aire = 8^2 = 64 cm^{2}.

2.Déterminer la valeur exacte de l'aire grisée, en cm^{2}.

Les deux demi-cercles ont pour diamètre un côté du carré (8 cm), donc un rayon de 4 cm.
À eux deux, ils forment un disque complet de rayon 4 : aire {= \pi\times4^2 = 16\pi} cm^{2}.
Aire grisée = aire du carré - aire des deux demi-cercles = 64-16\pi cm^{2} (soit environ 13,7 cm^{2}).

3.aReproduction au sol à l'échelle 125 : 1. Côté du nouveau carré, en mètres.

Chaque longueur est multipliée par 125 : 8\times125 = 1000 cm = 10 m.

3.bDiagonale du nouveau carré, en mètres, arrondie au centimètre.

Dans un carré de côté c, la diagonale vaut c\sqrt{2}, théorème de Pythagore : \begin{aligned}d^2 &= c^2+c^2 \\ &= 2c^2\end{aligned}
d = 10\sqrt{2} \approx 14,14 m.

4.Peindre la zone grisée en deux couches (rendement 7 m^{2}/L, pots de 750 mL) : combien de pots prévoir ?

Aire grisée au sol : les aires sont multipliées par 125^2, donc {(64-16\pi)\times125^2} cm^{2} = (100-25\pi) m^{2} \approx 21{,}46 m^{2}.
Deux couches : surface à couvrir {= 2\times(100-25\pi) = (200-50\pi)} m^{2} \approx 42{,}92 m^{2}.
Volume de peinture : \dfrac{42{,}92}{7} \approx 6{,}13 L.
Nombre de pots de 0,75 L : \dfrac{6{,}13}{0{,}75} \approx 8{,}2, donc 9 pots de peinture.

1.Compléter le tableau (160 élèves, 55 % de filles ; la moitié des filles et les trois quarts des garçons utilisent les jeux).

Filles : 0{,}55\times160 = 88 ; garçons : {160-88 = 72}.
Filles utilisatrices : \dfrac{88}{2} = 44 ; garçons utilisateurs : \dfrac{3}{4}\times72 = 54.
Ligne « Utilisent les jeux de cour » : 44, 54, 98. Ligne « N'utilisent pas » : 44, 18, 62. Ligne « Total » : 88, 72, 160.

2.Calculer le pourcentage d'élèves qui utilisent les jeux de cour.

\dfrac{98}{160} = 0{,}6125 = 61,25 %.

3.Parmi les utilisateurs des jeux de cour, quel est le pourcentage de filles (arrondi à l'unité) ?

La population de référence change : on rapporte les 44 filles utilisatrices aux 98 utilisateurs, pas aux 160 élèves.
\dfrac{44}{98} \approx 0{,}449, soit environ 45 %.

Question 1 : Scratch, « mettre a à 4 » puis « mettre b à (a + 2) ».

Réponse B : la première instruction affecte 4 à a, la seconde calcule {a+2 = 6} et l'affecte à b. À l'issue : 4 est affecté à a, 6 est affecté à b.

Question 2 : Scratch, « mettre a à 2 » puis répéter 4 fois « mettre a à (a + 3) ».

Réponse C : a prend successivement les valeurs 2 \to 5 \to 8 \to 11 \to 14. À l'issue, 14 est affecté à a.

Question 3 : un pavé droit subit une réduction de rapport 0,4. Son volume est :

Réponse A : dans une réduction de rapport k, les volumes sont multipliés par k^3. Le volume est multiplié par 0{,}4^3.

Question 4 : volume en litres d'un réservoir pavé droit de 1,5 m sur 1,5 m sur 2 m.

Réponse B : \begin{aligned}V &= 1{,}5\times1{,}5\times2 \\ &= 4{,}5\end{aligned} m^{3}.
Or 1 m^{3} = 1000 L, donc V = 4 500 L.