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Fiche compétences Logimaths

Résoudre et étudier une équation du second degré

Discriminant, forme factorisée, forme canonique et changement de variable : le parcours complet pour maîtriser le second degré en contrôle ou en DST. Niveau 1ère.

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Un polynôme du second degré, c'est une expression de la forme f(x) = ax^2 + bx + c avec a \neq 0. Autour de lui gravitent plusieurs compétences classiques de contrôle : résoudre f(x)=0, factoriser f(x), trouver le sommet de sa parabole, ou résoudre une équation qui s'y ramène. Cette fiche découpe tout cela en 5 étapes progressives.

Un parcours en 5 étapes, du plus simple au plus costaud :

  1. 1 Je sais identifier a, b, c et calculer le discriminant Δ.
  2. 2 Je sais résoudre l'équation selon le signe de Δ.
  3. 3 Je sais écrire la forme factorisée à partir des racines.
  4. 4 Je sais trouver la forme canonique et le sommet de la parabole (et retrouver f à partir de son sommet).
  5. 5 Je sais résoudre une équation qui se ramène au second degré (changement de variable).

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Rappels indispensables

Polynôme du second degré : une expression f(x) = ax^2+bx+c, où a, b et c sont des nombres réels, avec la condition a \neq 0 (sinon ce n'est plus une équation du second degré).

Une solution (ou racine) de f(x)=0 est une valeur de x qui annule f. Toujours écrire l'équation sous la forme ax^2+bx+c=0 avant toute manipulation : c'est ce qui permet d'identifier a, b, c sans erreur de signe.

Étape 1 : Identifier a, b, c et calculer le discriminant Δ

On lit les coefficients directement sur la forme ax^2+bx+c=0 : a devant x^2, b devant x, c le terme constant : en n'oubliant jamais le signe qui précède.
Le discriminant se calcule ensuite avec la formule \Delta = b^2 - 4ac.
C'est son signe qui va piloter toute la résolution.

Exemple

Identifier a, b, c et calculer Δ pour {-2x^2+3x+5=0}.

a=-2
b=3
c=5
\Delta = b^2-4ac = 3^2 - 4\times(-2)\times5 = 9+40 = 49

👆 À toi de jouer

  1. Identifier a, b, c et calculer Δ pour x^2-6x+9=0.
    Voir la réponse
    a=1,\ b=-6,\ c=9
    \begin{aligned}\Delta &= (-6)^2-4\times1\times9 \\ &= 36-36 \\ &= 0\end{aligned}
  2. Identifier a, b, c et calculer Δ pour 3x^2+2x-5=0.
    Voir la réponse
    a=3,\ b=2,\ c=-5
    \begin{aligned}\Delta &= 2^2-4\times3\times(-5) \\ &= 4+60 \\ &= 64\end{aligned}

Étape 2 : Résoudre l'équation selon le signe de Δ

Trois cas possibles pour résoudre ax^2+bx+c=0 :

Δ > 0
deux solutions
x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}
x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
Δ = 0
une solution
x_0=\dfrac{-b}{2a}
Δ < 0
pas de solution réelle
y x deux racines y x une racine double y x pas de racine réelle
Le signe de Δ se lit sur le nombre de fois où la parabole coupe l'axe des abscisses.

Exemple

Résoudre {-2x^2+3x+5=0} (Δ = 49 calculé à l'étape 1).

Δ > 0 donc deux solutions. \begin{aligned}\sqrt{\Delta} &= \sqrt{49} \\ &= 7\end{aligned} :
x_1 = \dfrac{-3-7}{2\times(-2)} = \dfrac{-10}{-4} = \dfrac52
x_2 = \dfrac{-3+7}{2\times(-2)} = \dfrac{4}{-4} = -1
S = \left\{-1\ ;\ \dfrac52\right\}

👆 À toi de jouer

  1. Résoudre x^2+2x+1=0.
    Voir la réponse
    a=1,\ b=2,\ c=1
    \begin{aligned}\Delta &= 4-4 \\ &= 0\end{aligned}
    Une seule solution : \begin{aligned}x_0 &= \dfrac{-2}{2\times1} \\ &= -1\end{aligned}
    S=\{-1\}
  2. Résoudre x^2+x+1=0.
    Voir la réponse
    a=1,\ b=1,\ c=1
    \begin{aligned}\Delta &= 1-4 \\ &= -3 < 0\end{aligned}
    Pas de solution réelle : S=\varnothing

Étape 3 : Écrire la forme factorisée

Une fois les racines connues, {ax^2+bx+c} se réécrit sous forme factorisée : a(x-x_1)(x-x_2) si \Delta>0, ou {a(x-x_0)^2} si \Delta=0.
Si \Delta<0, il n'y a pas de racine réelle, donc pas de factorisation possible avec des réels.
Cette forme sert notamment à étudier le signe du polynôme.

Exemple

Factoriser -2x^2+3x+5 (racines x_1=-1 et x_2=\dfrac52, trouvées à l'étape 2).

-2x^2+3x+5 = -2\big(x-(-1)\big)\left(x-\dfrac52\right) = -2(x+1)\left(x-\dfrac52\right)
Vérification en développant : -2\left(x^2-\dfrac32x+x-\dfrac52\right) = -2x^2+3x+5 ✓

👆 À toi de jouer

  1. Factoriser x^2+2x+1 (racine double x_0=-1, étape 2).
    Voir la réponse
    a=1, racine double -1 :
    \begin{aligned}x^2+2x+1 &= 1\times\big(x-(-1)\big)^2 \\ &= (x+1)^2\end{aligned}
  2. Factoriser 3x^2+2x-5 (racines -\dfrac53 et 1, étape 1).
    Voir la réponse
    3x^2+2x-5 = 3\left(x+\dfrac53\right)(x-1)
    Astuce pour éviter la fraction : on fait entrer le 3 dans le premier facteur, {3\left(x+\dfrac53\right)=3x+5}, ce qui donne (3x+5)(x-1)

Étape 4 : Forme canonique et sommet de la parabole

Tout polynôme du second degré se met sous forme canonique {a(x-\alpha)^2+\beta}, avec \alpha = \dfrac{-b}{2a} et \beta = f(\alpha).
Le point S(\alpha\,;\,\beta) est le sommet de la parabole représentant f.
Le signe de a donne l'orientation : si a>0, la parabole est tournée vers le haut et \beta est un minimum ; si a<0, elle est tournée vers le bas et \beta est un maximum.

Exemple

Mettre f(x)=x^2-12x+5 sous forme canonique et donner le sommet.

\alpha = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-(-12)}{2\times1} = \dfrac{12}{2} = 6
\beta = f(6) = 6^2-12\times6+5 = 36-72+5 = -31
f(x) = (x-6)^2-31
Sommet S(6\,;\,-31). Comme {a=1>0}, f admet un minimum égal à -31 atteint en x=6.

Autre méthode pour calculer β : plutôt que de recalculer f(\alpha), on peut utiliser directement \beta = \dfrac{-\Delta}{4a} (avec {\Delta = b^2-4ac}, la même formule qu'à l'étape 1).
Vérification sur l'exemple ci-dessus : \begin{aligned}\Delta &= (-12)^2-4\times1\times5 \\ &= 144-20 \\ &= 124\end{aligned} donc \begin{aligned}\beta &= \dfrac{-124}{4\times1} \\ &= -31\end{aligned} On retrouve bien la même valeur.
Les deux méthodes sont équivalentes ; choisis celle que tu retiens le mieux (le calcul de f(\alpha) est souvent plus rapide si \Delta n'a pas déjà été calculé).

y x S(6 ; -31) 6 -31
Sommet S(6 ; -31) de la parabole d'équation f(x)=(x-6)²-31 (a=1>0, minimum).

👆 À toi de jouer

  1. Mettre g(x)=-2x^2+8x+1 sous forme canonique et donner le sommet.
    Voir la réponse
    \begin{aligned}\alpha &= \dfrac{-8}{2\times(-2)} \\ &= 2\end{aligned}
    \begin{aligned}\beta &= g(2) \\ &= -2\times4+16+1 \\ &= 9\end{aligned}
    g(x)=-2(x-2)^2+9
    Sommet S(2\,;\,9) ; comme {a=-2<0}, c'est un maximum
  2. Mettre h(x)=x^2-4x+7 sous forme canonique et donner le sommet.
    Voir la réponse
    \begin{aligned}\alpha &= \dfrac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}
    \begin{aligned}\beta &= h(2) \\ &= 4-8+7 \\ &= 3\end{aligned}
    h(x)=(x-2)^2+3
    Sommet S(2\,;\,3) ; comme {a=1>0}, c'est un minimum

Et dans l'autre sens ?

Un exercice classique donne directement le sommet S(\alpha\,;\,\beta) de la parabole (lu sur un graphique, ou dans l'énoncé) ainsi qu'un point par lequel elle passe, et demande de retrouver l'expression de f.
On part directement de la forme canonique f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta avec \alpha et \beta connus : il ne reste que a à déterminer, en écrivant que le point donné appartient à la courbe.

Exemple

La parabole représentant f a pour sommet S(-5\,;\,2) et passe par le point de coordonnées (-3\,;\,4). Déterminer f(x).

Sommet connu : f(x) = a(x+5)^2+2, il reste à trouver a.
Le point (-3\,;\,4) appartient à la courbe, donc f(-3)=4 :
a(-3+5)^2+2 = 4 \iff a\times2^2+2=4 \iff 4a=2 \iff a=\dfrac12
f(x) = \dfrac12(x+5)^2+2
y x S(-5 ; 2) -5 2 (-3 ; 4) -3
La courbe de f(x)=½(x+5)²+2 : sommet S(-5 ; 2) et le point (-3 ; 4) qui a servi à trouver a.

👆 À toi de jouer

  1. La parabole représentant g a pour sommet S(-2\,;\,0) et passe par le point de coordonnées (0\,;\,-4). Déterminer g(x).
    Voir la réponse
    Sommet connu : {g(x)=a(x+2)^2}
    Le point (0\,;\,-4) appartient à la courbe, donc g(0)=-4 :
    \begin{aligned}a(0+2)^2 = -4 &\iff 4a = -4 \\ &\iff a = -1 \end{aligned}
    g(x)=-(x+2)^2

Étape 5 : Résoudre une équation qui se ramène au second degré

Une équation bicarrée {ax^4+bx^2+c=0} se ramène au second degré en posant {X=x^2} : on obtient {aX^2+bX+c=0}, que l'on résout avec les méthodes des étapes précédentes.

Attention au retour à x : comme {X=x^2}, une solution X n'est valable que si X \geq 0 : sinon elle est rejetée, aucun réel au carré ne peut être négatif.
Pour chaque solution acceptée, on revient à x avec x=\sqrt X ou x=-\sqrt X.

Exemple

Résoudre 2x^4-2x^2-24=0.

On pose {X=x^2} : 2X^2-2X-24=0.
\Delta = (-2)^2-4\times2\times(-24) = 4+192 = 196 = 14^2
X_1 = \dfrac{2-14}{4} = -3 \quad \text{(rejeté, } X<0\text{)}
X_2 = \dfrac{2+14}{4} = 4 \quad \text{(accepté)}
Retour à x : x^2=4 donne x=-2 ou x=2.
S = \{-2\,;\,2\}

👆 À toi de jouer

  1. Résoudre x^4-5x^2+4=0.
    Voir la réponse
    On pose {X=x^2} : {X^2-5X+4=0}
    \begin{aligned}\Delta &= 25-16 \\ &= 9\end{aligned} \sqrt\Delta=3
    \begin{aligned}X_1 &= \dfrac{5-3}{2} \\ &= 1\end{aligned} et \begin{aligned}X_2 &= \dfrac{5+3}{2} \\ &= 4\end{aligned} toutes deux acceptées (positives)
    Retour à x : \begin{aligned}x^2 &= 1 \\ &\Rightarrow x = \pm1\end{aligned} et \begin{aligned}x^2 &= 4 \\ &\Rightarrow x = \pm2\end{aligned}
    S=\{-2\,;\,-1\,;\,1\,;\,2\}
  2. Résoudre x^4-2x^2-3=0.
    Voir la réponse
    On pose {X=x^2} : {X^2-2X-3=0}
    \begin{aligned}\Delta &= 4+12 \\ &= 16\end{aligned} \sqrt\Delta=4
    \begin{aligned}X_1 &= \dfrac{2-4}{2} \\ &= -1\end{aligned} (rejeté) et \begin{aligned}X_2 &= \dfrac{2+4}{2} \\ &= 3\end{aligned} (accepté)
    Retour à x : \begin{aligned}x^2 &= 3 \\ &\Rightarrow x = -\sqrt3\end{aligned} ou x=\sqrt3
    S=\{-\sqrt3\,;\,\sqrt3\}

👆 À toi de jouer : type devoir surveillé

  1. On considère f(x) = 2x^2 - 7x + 3. Résoudre f(x) = 0, puis donner la forme factorisée et la forme canonique de f.
    Voir la réponse
    a = 2, b = -7 et c = 3, donc \begin{aligned}\Delta &= (-7)^2 - 4 \times 2 \times 3 \\ &= 49 - 24 \\ &= 25 > 0\end{aligned} : deux racines. \begin{aligned}x_1 &= \dfrac{7 - 5}{4} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{7 + 5}{4} \\ &= 3\end{aligned} Forme factorisée : {f(x) = 2\left(x - \dfrac{1}{2}\right)(x - 3)}. Pour la forme canonique, \begin{aligned}\alpha &= -\dfrac{b}{2a} \\ &= \dfrac{7}{4}\end{aligned} et \begin{aligned}\beta &= f\left(\dfrac{7}{4}\right) \\ &= -\dfrac{25}{8}\end{aligned} d'où f(x) = 2\left(x - \dfrac{7}{4}\right)^2 - \dfrac{25}{8}. Le sommet de la parabole est S\left(\dfrac{7}{4}\,;\,-\dfrac{25}{8}\right).
  2. Résoudre dans \mathbb{R} l'équation {x^4 - 5x^2 + 4 = 0}.
    Voir la réponse
    L'équation n'est pas du second degré, mais elle s'y ramène : on pose X = x^2, avec X \geqslant 0. Elle devient X^2 - 5X + 4 = 0. \begin{aligned}\Delta &= 25 - 16 \\ &= 9 > 0\end{aligned} donc \begin{aligned}X_1 &= \dfrac{5 - 3}{2} \\ &= 1\end{aligned} et \begin{aligned}X_2 &= \dfrac{5 + 3}{2} \\ &= 4\end{aligned} Les deux sont positifs, donc les deux conviennent. x^2 = 1 donne x = -1 ou x = 1 ; x^2 = 4 donne x = -2 ou x = 2. Finalement S = \{-2\,;\,-1\,;\,1\,;\,2\}.
En enchaînant ces 5 étapes, tu sais résoudre, factoriser et étudier n'importe quel polynôme du second degré : la compétence transversale de tout le chapitre, qui revient dans quasiment tous les exercices de DST sur ce thème.
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Fiche compétences rédigée par Logimaths.