Détermine l'équation de la tangente au point d'abscisse 3.
En quel point la courbe admet-elle une tangente horizontale ?
Existe-t-il un point où la tangente a pour coefficient directeur 6 ?
👆▶ Correction de l'exercice 4
1.f'(x) = 2x - 4 : f'(3) = 2 et f(3) = -2 : \begin{aligned}y &= 2(x - 3) - 2 \\ &= 2x - 8\end{aligned} 2.f'(x) = 0 en x = 2 : point (2 ; −3), le sommet. 3.2x - 4 = 6 donne x = 5 : oui, au point (5 ; 6).
Exercice 5 : Tableau de variations⭐⭐
Soit f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 sur ℝ.
Calcule f'(x) et factorise-la.
Étudie le signe de f′ et dresse le tableau de variations.
Précise les extremums locaux.
👆▶ Correction de l'exercice 5
1.\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12x + 9 \\ &= 3(x - 1)(x - 3)\end{aligned} 2. Positive à l'extérieur des racines : f croît sur ]-\infty\,;\,1], décroît sur [1 ; 3], recroît sur [3\,;\,+\infty[. 3. Maximum local f(1) = 6, minimum local f(3) = 2.
Voilà le tableau attendu dans la copie : les deux étages, colonnes alignées. Touche un signe de la ligne f′ pour voir la flèche qu'il commande.
Exercice 6 : Le piège de x³⭐⭐
Soit f(x) = x^3 + 1.
Calcule f'(x) et vérifie que f'(0) = 0.
f admet-elle un extremum en 0 ? Justifie avec le signe de f′.
👆▶ Correction de l'exercice 6
1.f'(x) = 3x^2 et f'(0) = 0 ✔. 2.Non : 3x^2 \geq 0 partout, f′ ne change pas de signe : f est croissante sur ℝ, la tangente horizontale en 0 est juste traversée.
Le 0 est bien présent dans la ligne de f′, mais les deux intervalles portent le même + : la flèche traverse la colonne au lieu de tourner. Aucun extremum. Le double tableau le montre là où une phrase le laisse passer.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Optimisation : l'enclos⭐⭐⭐
Avec 60 m de grillage, on construit un enclos rectangulaire adossé à un mur (le mur remplace un des grands côtés). On note x la largeur.
Exprime la longueur puis l'aire A(x) en fonction de x.
Étudie A′ et détermine la largeur qui rend l'aire maximale.
Quelle est l'aire maximale ?
👆▶ Correction de l'exercice 7
1. Longueur = 60 − 2x, donc \begin{aligned}A(x) &= x(60 - 2x) \\ &= 60x - 2x^2\end{aligned} pour 0 < x < 30. 2.A'(x) = 60 - 4x, nulle en x = 15, positive avant, négative après : maximum en x = 15 m. 3.\begin{aligned}A(15) &= 15 \times 30 \\ &= 450\end{aligned} m² (l'enclos optimal est deux fois plus long que large).
Le sommet de la flèche est la réponse au problème : l'aire maximale vaut 450 m², atteinte pour une largeur de 15 m. Aux deux bornes l'aire est nulle (l'enclos est plat).
Exercice 8 : Synthèse type bac : le coût moyen⭐⭐⭐
Le coût de production de x objets (x > 0, en centaines) est C(x) = x^2 + 4 (en milliers d'euros). Le coût moyen par centaine est \begin{aligned}M(x) &= \dfrac{C(x)}{x} \\ &= x + \dfrac{4}{x}\end{aligned}
Calcule M'(x) et montre que M'(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2}.
Étudie le signe de M′ sur ]0\,;\,+\infty[ et dresse le tableau.
Quelle production minimise le coût moyen, et que vaut-il alors ?
👆▶ Correction de l'exercice 8
1.\begin{aligned}M'(x) &= 1 - \dfrac{4}{x^2} \\ &= \dfrac{x^2 - 4}{x^2}\end{aligned} ✔ 2. Du signe de x^2 - 4 = (x-2)(x+2) sur ]0\,;\,+\infty[ : négatif avant 2, positif après : M décroît puis croît. 3. Minimum en x = 2 (200 objets), avec \begin{aligned}M(2) &= 2 + 2 \\ &= 4\end{aligned} milliers d'euros par centaine : produire trop peu ou trop fait grimper le coût unitaire.
La double barre en 0 dit que 0 est exclu : on y écrit la limite +\infty, pas une valeur. Le dénominateur x^2 ne porte que des + : c'est x^2-4 qui décide du signe. Le creux de la flèche donne la réponse : coût moyen minimal 4, pour x = 2.
