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Fiche d'exercices Logimaths

Fonctions polynômes de degré 2

Forme canonique et sommet de la parabole : Niveau 1ère Techno.

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Exercice 1 : Forme canonique ⭐ Facile

On donne f(x) = x^2-4x+3.
  1. Calculer \alpha = -\dfrac{b}{2a} et \beta=f(\alpha).
  2. En déduire la forme canonique {f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta}.
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a)\begin{aligned}\alpha &= -\dfrac{-4}{2}\\ &= 2\end{aligned}.   \begin{aligned}\beta &= f(2)\\ &= 4-8+3\\ &= \mathbf{-1}\end{aligned}
b)f(x) = \mathbf{(x-2)^2-1}

Exercice 2 : Sommet et extremum d'une parabole ⭐ Facile

On donne g(x) = -2x^2+8x-5.
  1. Calculer les coordonnées du sommet S de la parabole représentant g.
  2. Le sommet est-il un maximum ou un minimum ? Justifier à l'aide du signe de a.
Voir la correction
a)\begin{aligned}\alpha &= -\dfrac{8}{2\times(-2)}\\ &= 2\end{aligned}.   \begin{aligned}\beta &= g(2)\\ &= -8+16-5\\ &= 3\end{aligned}. Sommet S\mathbf{(2\,;3)}
b)a=-2<0 : la parabole est tournée vers le bas, le sommet correspond à un maximum (valant 3, atteint en x=2).

Exercice 3 : Résoudre une équation du second degré ⭐ Facile

  1. Résoudre x^2-3x-4=0.
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a)\begin{aligned}\Delta &= 9+16\\ &= 25\end{aligned} : x=\mathbf{-1} ou x=\mathbf4

Exercice 4 : Calculer une image ⭐ Facile

Soit f(x) = x^2 - 4. Calculer f(3).
Voir la correction
\begin{aligned}f(3) &= 9 - 4\\ &= \mathbf{5}\end{aligned}

Exercice 5 : Sommet de la parabole de base ⭐ Facile

Donner le sommet de la parabole f(x) = x^2.
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Le sommet est \mathbf{(0\,;\,0)}

Exercice 6 : Résoudre une inéquation du second degré ⭐⭐ Intermédiaire

  1. Résoudre x^2-3x-4\leqslant0.
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a)Racines -1 et 4, a=1>0 : négatif entre les racines. \mathcal S=\mathbf{[-1\,;4]}

Exercice 7 : Somme et produit des racines ⭐⭐ Intermédiaire

On donne x^2-7x+12=0.
  1. Donner la somme et le produit des racines sans les calculer.
Voir la correction
a)Somme =\mathbf7, produit =\mathbf{12}

Exercice 8 : Résolution graphique ⭐⭐ Intermédiaire

  1. Résoudre x^2-2x=3.
Voir la correction
a)x^2-2x-3=0 : \begin{aligned}\Delta &= 4+12\\ &= 16\end{aligned}, x=\mathbf{-1} ou x=\mathbf3

Exercice 9 : Application : trajectoire ⭐⭐ Intermédiaire

On donne h(t)=-5t^2+20t+2 (hauteur d'un projectile).
  1. Trouver le temps où la hauteur est maximale.
  2. Calculer cette hauteur maximale.
Voir la correction
a)\begin{aligned}t &= -\dfrac{20}{2\times(-5)}\\ &= \mathbf2\end{aligned}
b)\begin{aligned}h(2) &= -20+40+2\\ &= \mathbf{22}\end{aligned}

Exercice 10 : Plusieurs images ⭐⭐ Intermédiaire

Soit f(x) = x^2 - 2x - 3. Calculer f(0), f(1) et f(-1).
Voir la correction
f(0) = -3 ; \begin{aligned}f(1) &= 1 - 2 - 3\\ &= -4\end{aligned} ; \begin{aligned}f(-1) &= 1 + 2 - 3\\ &= \mathbf{0}\end{aligned}

Exercice 11 : Racines ⭐⭐ Intermédiaire

Résoudre x^2 - 2x - 3 = 0.
Voir la correction
\begin{aligned}\Delta &= 4 + 12\\ &= 16\end{aligned}, \sqrt{\Delta} = 4. x = \dfrac{2 \pm 4}{2}, donc \mathbf{x = 3 \text{ ou } x = -1}

Exercice 12 : Trouver un trinôme connaissant son sommet ⭐⭐⭐ Difficile

  1. Donner {f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta} pour un sommet (3,-2) et a=2.
Voir la correction
a)f(x) = \mathbf{2(x-3)^2-2}

Exercice 13 : Signe sans les racines ⭐⭐⭐ Difficile

  1. Étudier le signe de f(x)=x^2+x+1.
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a)\begin{aligned}\Delta &= 1-4\\ &= -3<0\end{aligned} et a=1>0 : f(x)>0 pour tout réel x

Exercice 14 : Application : profit maximal ⭐⭐⭐ Difficile

On donne \pi(x)=-3x^2+60x-200.
  1. Trouver la quantité qui maximise le profit et le profit maximal.
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a)\alpha=10, \begin{aligned}\pi(10) &= -300+600-200\\ &= \mathbf{100}\end{aligned}

Exercice 15 : Coordonnées du sommet ⭐⭐⭐ Difficile

Déterminer le sommet de f(x) = x^2 - 2x - 3.
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Abscisse : \begin{aligned}x &= -\dfrac{b}{2a}\\ &= \dfrac{2}{2}\\ &= 1\end{aligned} ; f(1) = -4. Sommet \mathbf{(1\,;\,-4)}

Exercice 16 : Signe du trinôme ⭐⭐⭐ Difficile

Étudier le signe de f(x) = x^2 - 2x - 3.
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Racines -1 et 3 ; comme a > 0, f(x) < 0 sur \mathbf{\,]-1\,;\,3[} et positif à l'extérieur.

Exercice 17 : Forme canonique ⭐⭐⭐⭐ Expert

Écrire f(x) = x^2 - 2x - 3 sous forme canonique.
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\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= (x-1)^2 - 1 - 3\\ &= \mathbf{(x-1)^2 - 4}\end{aligned} (on retrouve le sommet (1\,;\,-4)).

Exercice 18 : Inéquation ⭐⭐⭐⭐ Expert

Résoudre x^2 - 2x - 3 \geqslant 0.
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Le trinôme (avec a > 0) est positif à l'extérieur des racines -1 et 3
Ensemble : \mathbf{\,]-\infty\,;\,-1] \cup [3\,;\,+\infty[}

Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.