Fiche d'exercices Logimaths
Généralités sur les fonctions
Tableau de variations et ensemble de définition : Niveau 1ère Techno.
Exercice 1 : Lire un tableau de variations ⭐ Facile
Une fonction f est décroissante sur [-3\,;1] puis croissante sur [1\,;4], avec f(-3)=5, f(1)=-2 et f(4)=6.
- Donner le minimum de f sur [-3\,;4].
- Comparer f(-3) et f(4).
- En déduire l'image de l'intervalle [-3\,;4] par f.
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a)Minimum = \mathbf{-2}, atteint en x=1
b)f(-3)=5 et f(4)=6 : f(-3) < f(4)
c)La valeur la plus grande prise par f est 6 (en x=4) et la plus petite est -2 : l'image de [-3\,;4] est \mathbf{[-2\,;6]}
Exercice 2 : Ensemble de définition et images ⭐ Facile
On donne g(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}.
- Déterminer l'ensemble de définition de g.
- Calculer g(0).
- Calculer g(5).
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a)Il faut x-3\neq0, soit x\neq3 : D_g = \mathbf{\mathbb R\setminus\{3\}}
b)\begin{aligned}g(0) &= \dfrac{1}{-3}\\ &= \mathbf{-\dfrac13}\end{aligned}
c)\begin{aligned}g(5) &= \dfrac{11}{2}\\ &= \mathbf{5{,}5}\end{aligned}
Exercice 3 : Tableau de valeurs ⭐ Facile
On donne f(x)=x^2-1.
- Compléter le tableau de valeurs pour x=-2,-1,0,1,2.
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a)f(-2)=3, f(-1)=0, f(0)=-1, f(1)=0, f(2)=\mathbf3
Exercice 4 : Image ⭐ Facile
Soit f(x) = 3x - 1. Calculer f(2).
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\begin{aligned}f(2) &= 6 - 1\\ &= \mathbf{5}\end{aligned}
Exercice 5 : Image (fonction carré) ⭐ Facile
Soit f(x) = x^2 + 2. Calculer f(-2).
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\begin{aligned}f(-2) &= 4 + 2\\ &= \mathbf{6}\end{aligned}
Exercice 6 : Résoudre {f(x)=k} à l'aide d'un tableau ⭐⭐ Intermédiaire
On donne f(1)=3, f(2)=5, f(3)=7, {f(4)=4}.
- Donner la valeur de x telle que f(x)=5.
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a)x=\mathbf2
Exercice 7 : Résoudre {f(x)>k} à l'aide d'un tableau ⭐⭐ Intermédiaire
On reprend le tableau précédent.
- Donner les valeurs de x pour lesquelles f(x)>4.
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a)x=\mathbf2 et x=\mathbf3 (car f(2)=5>4 et {f(3)=7>4}).
Exercice 8 : Comparer deux fonctions ⭐⭐ Intermédiaire
On donne f(x)=x+2 et g(x)=x^2.
- Résoudre f(x)=g(x).
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a)x^2-x-2=0 : \begin{aligned}\Delta &= 1+8\\ &= 9\end{aligned}, x=\mathbf{-1} ou x=\mathbf2
Exercice 9 : Fonction bornée ⭐⭐ Intermédiaire
- La fonction f(x)=\sin(x) est-elle bornée ? Donner un majorant et un minorant.
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a)Oui, f est bornée : majorant \mathbf1, minorant \mathbf{-1}
Exercice 10 : Fonction périodique ⭐⭐ Intermédiaire
La fonction \cos a pour période 2\pi.
- Calculer \cos\left(2\pi+\dfrac\pi3\right).
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a)\begin{aligned}\cos\left(2\pi+\dfrac\pi3\right) &= \cos\left(\dfrac\pi3\right)\\ &= \mathbf{0{,}5}\end{aligned}
Exercice 11 : Antécédent ⭐⭐ Intermédiaire
Déterminer l'antécédent de 7 par {f(x) = 2x + 1}.
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\begin{aligned}2x + 1 &= 7 \\ &\Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow \mathbf{x = 3}\end{aligned}
Exercice 12 : Ensemble de définition ⭐⭐ Intermédiaire
Déterminer l'ensemble de définition de f(x) = \dfrac{1}{x - 2}.
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Le dénominateur s'annule en 2 : \mathbf{D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}}
Exercice 13 : Composée de deux fonctions ⭐⭐⭐ Difficile
On donne f(x)=x+3 et g(x)=x^2.
- Calculer g(f(2)).
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a)f(2)=5, g(5)=\mathbf{25}
Exercice 14 : Fonction affine par morceaux ⭐⭐⭐ Difficile
On donne f(x)=x si x\leqslant3, f(x)=3 si x>3.
- Calculer f(1) et f(5).
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a)f(1)=\mathbf1 et f(5)=\mathbf3
Exercice 15 : Antécédents (fonction carré) ⭐⭐⭐ Difficile
Soit f(x) = x^2 - 9. Déterminer les antécédents de 0.
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\begin{aligned}x^2 - 9 &= 0 \\ &\Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow \mathbf{x = -3 \text{ ou } x = 3}\end{aligned}
Exercice 16 : Égalité de deux fonctions ⭐⭐⭐ Difficile
Résoudre f(x) = g(x) avec {f(x) = 2x + 1} et g(x) = x + 4.
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\begin{aligned}2x + 1 &= x + 4 \\ &\Rightarrow x = 3\end{aligned} Les courbes se coupent en \mathbf{x = 3}
Exercice 17 : Fonction racine ⭐⭐⭐⭐ Expert
Soit f(x) = \sqrt{x + 3}. Déterminer D_f puis calculer f(1).
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On a besoin de x + 3 \geqslant 0 : D_f = [-3\,;\,+\infty[
\begin{aligned}f(1) &= \sqrt{4}\\ &= \mathbf{2}\end{aligned}
Exercice 18 : Équation produit et signe ⭐⭐⭐⭐ Expert
Soit f(x) = (x-1)(x+2). Résoudre f(x) = 0 puis donner le signe de f.
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f(x) = 0 \Rightarrow \mathbf{x = 1 \text{ ou } x = -2}
Trinôme développé x^2 + x - 2 (a > 0) : négatif sur ]-2\,;\,1[, positif à l'extérieur.
Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.