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Fiche d'exercices Logimaths

Géométrie dans l'espace (STD2A)

Volumes de pavé droit et de cylindre : Niveau 1ère Techno.

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Exercice 1 : Volume d'un packaging ⭐ Facile

Un packaging a la forme d'un pavé droit de dimensions 12 cm \times 8 cm \times 5 cm.
12 cm 5 cm 8 cm
Le packaging en perspective cavalière. Les arêtes cachées sont en pointillés.
  1. Rappeler la formule du volume d'un pavé droit.
  2. Calculer le volume de ce packaging.
Voir la correction
a)V = \text{longueur}\times\text{largeur}\times\text{hauteur}
b)\begin{aligned}V &= 12\times8\times5\\ &= \mathbf{480}\end{aligned} cm^3

Exercice 2 : Volume d'un cylindre ⭐ Facile

Un contenant cylindrique a un rayon de base 3 cm et une hauteur de 10 cm. On prend {\pi\approx3{,}14}.
r = 3 h = 10
Le rayon se mesure du centre au bord du disque, la hauteur le long de l'axe. La moitié arrière du disque du bas est cachée : elle est en pointillés.
  1. Rappeler la formule du volume d'un cylindre.
  2. Calculer le volume de ce cylindre.
Voir la correction
a)V = \pi\times r^2\times h
b)\begin{aligned}V &= 3{,}14\times3^2\times10\\ &= 3{,}14\times9\times10\\ &= \mathbf{282{,}6}\end{aligned} cm^3

Exercice 3 : Aire d'une sphère ⭐ Facile

  1. Calculer l'aire d'une sphère de rayon 5 cm ({\pi\approx3{,}14}).
Voir la correction
a)\begin{aligned}\mathcal A &= 4\times3{,}14\times25\\ &= \mathbf{314}\end{aligned} cm^2

Exercice 4 : Volume d'un cube ⭐ Facile

Calculer le volume d'un cube d'arête 4 cm.
Voir la correction
\begin{aligned}V &= 4^3\\ &= \mathbf{64 \text{ cm}^3}\end{aligned}

Exercice 5 : Volume d'un pavé ⭐ Facile

Calculer le volume d'un pavé droit de dimensions 2 × 3 × 5 cm.
Voir la correction
\begin{aligned}V &= 2 \times 3 \times 5\\ &= \mathbf{30 \text{ cm}^3}\end{aligned}

Exercice 6 : Réduction dans une pyramide ⭐⭐ Intermédiaire

Une pyramide de volume 240 cm^3 est coupée à mi-hauteur par un plan parallèle à la base.
h/2 h/2 volume total : 240 cm³
La petite pyramide du haut est une réduction de rapport k=\dfrac12 de la grande : ses longueurs sont divisées par 2, ses aires par 4 et son volume par 8.
  1. Calculer le volume de la petite pyramide obtenue au sommet.
Voir la correction
a)Rapport des volumes \begin{aligned} &= \left(\dfrac12\right)^3\\ &= \dfrac18\end{aligned} : 240\times\dfrac18=\mathbf{30} cm^3

Exercice 7 : Solide de révolution ⭐⭐ Intermédiaire

Un rectangle tourne autour d'un de ses côtés.
  1. Quel solide obtient-on ?
Voir la correction
a)Un cylindre.

Exercice 8 : Repérage dans l'espace ⭐⭐ Intermédiaire

  1. Donner les coordonnées du point M obtenu en déplaçant O(0;0;0) de 3 selon x, 2 selon y, -1 selon z.
Voir la correction
a)M\mathbf{(3;2;-1)}

Exercice 9 : Volume d'un solide composé ⭐⭐ Intermédiaire

Un objet est composé d'un cube d'arête 4 cm et d'une pyramide de même base et de hauteur 3 cm.
arête 4 cm h = 3 cm
La pyramide et le cube ont la même base carrée : le côté de 4 cm sert deux fois. On additionne les deux volumes.
  1. Calculer le volume total.
Voir la correction
a)Cube =64 cm^3 ; pyramide \begin{aligned} &= \dfrac13\times16\times3\\ &= 16\end{aligned} cm^3 ; total =\mathbf{80} cm^3

Exercice 10 : Volume d'un objet design ⭐⭐ Intermédiaire

Un vase cylindrique (rayon 3, hauteur 10) est surmonté d'un cône (même rayon, hauteur 4). On prend {\pi\approx3{,}14}.
10 4 r = 3
Deux solides empilés, même rayon mais hauteurs différentes. Volume total = volume du cylindre + volume du cône (et le cône garde son tiers).
  1. Calculer le volume total.
Voir la correction
a)Cylindre \begin{aligned} &= 3{,}14\times9\times10\\ &= 282{,}6\end{aligned} ; cône \begin{aligned} &= \dfrac13\times3{,}14\times9\times4\\ &= 37{,}68\end{aligned} ; total \approx\mathbf{320{,}28} cm^3

Exercice 11 : Développement d'un cylindre ⭐⭐ Intermédiaire

Un cylindre a un rayon de 2 cm et une hauteur de 5 cm.
  1. Donner les dimensions du rectangle formant la surface latérale développée.
Voir la correction
a)Largeur \begin{aligned} &= 2\pi r\\ &= 4\pi\approx\mathbf{12{,}56}\end{aligned} cm, hauteur =\mathbf5 cm.

Exercice 12 : Volume d'un cylindre ⭐⭐ Intermédiaire

Calculer le volume d'un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 10 cm.
Voir la correction
\begin{aligned}V &= \pi r^2 h\\ &= \pi \times 9 \times 10\\ &= 90\pi \approx \mathbf{282{,}7 \text{ cm}^3}\end{aligned}

Exercice 13 : Volume d'une sphère ⭐⭐ Intermédiaire

Calculer le volume d'une sphère de rayon 3 cm.
r = 3
L'équateur est un cercle vu de biais : on le dessine en ellipse, sa moitié arrière en pointillés. Volume de la boule \dfrac43\pi r^3, aire de la sphère 4\pi r^2.
Voir la correction
\begin{aligned}V &= \dfrac{4}{3}\pi r^3\\ &= \dfrac{4}{3}\pi \times 27\\ &= 36\pi \approx \mathbf{113{,}1 \text{ cm}^3}\end{aligned}

Exercice 14 : Point de fuite ⭐⭐⭐ Difficile

  1. Dans une perspective à point de fuite, que représentent les lignes parallèles convergentes ?
perspective cavalière les fuyantes restent parallèles perspective conique horizon F elles convergent vers F
Deux façons de dessiner le même cube. En perspective cavalière les fuyantes restent parallèles (c'est une projection parallèle) ; en perspective conique elles se rejoignent en un point de fuite F posé sur la ligne d'horizon, ce qui donne l'effet de profondeur.
Voir la correction
a)Elles donnent un effet de profondeur (recul vers l'horizon), plus réaliste que la perspective cavalière.

Exercice 15 : Volume d'un cône ⭐⭐⭐ Difficile

Calculer le volume d'un cône de rayon 3 cm et de hauteur 4 cm.
r = 3 h = 4 g
Attention : h est la hauteur (le segment vertical, perpendiculaire à la base), pas la génératrice g qui longe la surface. Ici \begin{aligned}g &= \sqrt{3^2+4^2} \\ &= 5\end{aligned} cm.
Voir la correction
\begin{aligned}V &= \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\\ &= \dfrac{1}{3}\pi \times 9 \times 4\\ &= 12\pi \approx \mathbf{37{,}7 \text{ cm}^3}\end{aligned}

Exercice 16 : Volume d'une pyramide ⭐⭐⭐ Difficile

Calculer le volume d'une pyramide à base carrée de côté 6 cm et de hauteur 10 cm.
h = 10 côté 6 cm
La hauteur part du sommet et tombe perpendiculairement sur la base : c'est elle qui entre dans la formule, pas l'arête latérale.
Voir la correction
Aire de base \begin{aligned} &= 6^2\\ &= 36\end{aligned}. \begin{aligned}V &= \dfrac{1}{3} \times 36 \times 10\\ &= \mathbf{120 \text{ cm}^3}\end{aligned}

Exercice 17 : Aire d'une sphère ⭐⭐⭐⭐ Expert

Calculer l'aire d'une sphère de rayon 5 cm.
Voir la correction
\begin{aligned}A &= 4\pi r^2\\ &= 4\pi \times 25\\ &= 100\pi \approx \mathbf{314{,}2 \text{ cm}^2}\end{aligned}

Exercice 18 : Effet d'un agrandissement ⭐⭐⭐⭐ Expert

Si on double toutes les dimensions d'un solide, par combien est multiplié son volume ?
Voir la correction
Le volume dépend du cube des longueurs : 2^3 = 8
Le volume est multiplié par \mathbf{8} (ex. : un cube d'arête 1 puis 2 : 1 \to 8).

Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.