Fiche d'exercices Logimaths
Loi de Bernoulli
Loi, espérance et variance : Niveau 1ère Techno.
Exercice 1 : Loi, espérance et variance ⭐ Facile
Une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p=0{,}3.
- Donner la loi de probabilité de X (valeurs possibles et probabilités).
- Calculer E(X).
- Calculer V(X) (rappel : V(X)=p(1-p)).
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a)P(X=1)=0{,}3 et P(X=0)=0{,}7
b)\begin{aligned}E(X) &= p\\ &= \mathbf{0{,}3}\end{aligned}
c)\begin{aligned}V(X) &= 0{,}3\times0{,}7\\ &= \mathbf{0{,}21}\end{aligned}
Exercice 2 : Vérifier la formule de l'espérance ⭐ Facile
Une expérience de Bernoulli a pour probabilité de succès p=0{,}65.
- Donner P(X=1) et P(X=0).
- Calculer E(X) à l'aide de la définition E(X)=1\times P(X=1)+0\times P(X=0).
- Vérifier que E(X)=p.
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a)P(X=1)=0{,}65 et P(X=0)=0{,}35
b)\begin{aligned}E(X) &= 1\times0{,}65+0\times0{,}35\\ &= \mathbf{0{,}65}\end{aligned}
c)\begin{aligned}E(X) &= 0{,}65\\ &= p\end{aligned} ✓ : on retrouve bien la formule E(X)=p pour une loi de Bernoulli.
Exercice 3 : Arbre d'une épreuve de Bernoulli ⭐ Facile
- Décrire l'arbre d'une épreuve de Bernoulli de paramètre p=0{,}4.
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a)Un arbre à deux branches : succès (probabilité 0{,}4) et échec (probabilité 0{,}6).
Exercice 4 : Reconnaître une situation de Bernoulli ⭐ Facile
- Lancer un dé et regarder si on obtient un 6 est-il une épreuve de Bernoulli ? Justifier.
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a)Oui : il n'y a que deux issues possibles (« obtenir un 6 »\ ou « ne pas l'obtenir »).
Exercice 5 : Épreuve de Bernoulli ⭐ Facile
Une épreuve de Bernoulli a une probabilité de succès {p = 0{,}3}. Donner P(\text{succès}) et P(\text{échec}).
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P(\text{succès}) = 0{,}3 ; \begin{aligned}P(\text{échec}) &= 1 - 0{,}3\\ &= \mathbf{0{,}7}\end{aligned}
Exercice 6 : Espérance d'une Bernoulli ⭐ Facile
Soit X une loi de Bernoulli de paramètre {p = 0{,}3}. Calculer E(X).
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Pour une Bernoulli, \begin{aligned}E(X) &= p\\ &= \mathbf{0{,}3}\end{aligned}
Exercice 7 : Contrôle qualité ⭐⭐ Intermédiaire
Une pièce produite est défectueuse avec probabilité 0{,}05.
- Donner la loi de X=1 si défectueuse, 0 sinon.
- Calculer E(X).
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a)X suit la loi de Bernoulli \mathcal B(0{,}05)
b)E(X)=\mathbf{0{,}05}
Exercice 8 : Écart-type détaillé ⭐⭐ Intermédiaire
On donne p=0{,}4.
- Calculer V(X) et \sigma(X).
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a)\begin{aligned}V(X) &= 0{,}4\times0{,}6\\ &= 0{,}24\end{aligned}, \begin{aligned}\sigma(X) &= \sqrt{0{,}24} \\ &\approx \mathbf{0{,}49}\end{aligned}
Exercice 9 : Bernoulli et proportion ⭐⭐ Intermédiaire
Dans une population, 30\,\% des personnes sont vaccinées.
- Tirer une personne au hasard et regarder si elle est vaccinée suit quelle loi ?
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a)La loi de Bernoulli \mathcal B(0{,}3)
Exercice 10 : Application : sondage ⭐⭐ Intermédiaire
Un sondage donne p=0{,}55 de réponses « oui ».
- Calculer E(X) et V(X).
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a)E(X)=\mathbf{0{,}55} et \begin{aligned}V(X) &= 0{,}55\times0{,}45\\ &= \mathbf{0{,}2475}\end{aligned}
Exercice 11 : Distinguer Bernoulli et binomiale ⭐⭐ Intermédiaire
On répète 10 fois une épreuve de Bernoulli de paramètre 0{,}3 et on compte les succès.
- Quelle loi suit le nombre de succès ?
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a)La loi binomiale \mathcal B(10\,;0{,}3)
Exercice 12 : Variance d'une Bernoulli ⭐⭐ Intermédiaire
Avec la même variable (p = 0{,}3), calculer V(X).
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\begin{aligned}V(X) &= p(1-p)\\ &= 0{,}3 \times 0{,}7\\ &= \mathbf{0{,}21}\end{aligned}
Exercice 13 : Répétitions indépendantes ⭐⭐ Intermédiaire
On répète 3 fois, de façon indépendante, une épreuve de succès p = 0{,}5. Probabilité d'obtenir 3 succès ?
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\begin{aligned}P &= 0{,}5^3\\ &= \mathbf{\dfrac{1}{8}}\end{aligned}
Exercice 14 : Variance maximale ⭐⭐⭐ Difficile
- Pour quelle valeur de p la variance p(1-p) est-elle maximale ? Donner cette variance.
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a)Pour p=\mathbf{0{,}5}, variance maximale =\mathbf{0{,}25}
Exercice 15 : Loi binomiale (P(X=2)) ⭐⭐⭐ Difficile
Soit X une loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 0{,}5. Calculer P(X = 2).
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\begin{aligned}P(X=2) &= \binom{4}{2} (0{,}5)^2 (0{,}5)^2\\ &= 6 \times (0{,}5)^4\\ &= \dfrac{6}{16}\\ &= \mathbf{\dfrac{3}{8}}\end{aligned}
Exercice 16 : Aucun succès ⭐⭐⭐ Difficile
Soit X binomiale n = 5, p = 0{,}2. Calculer P(X = 0).
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\begin{aligned}P(X=0) &= (0{,}8)^5\\ &= \mathbf{0{,}32768}\end{aligned}
Exercice 17 : Binomiale P(X=2) avec p ≠ 0,5 ⭐⭐⭐⭐ Expert
Soit X binomiale n = 3, p = 0{,}4. Calculer P(X = 2).
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\begin{aligned}P(X=2) &= \binom{3}{2}(0{,}4)^2(0{,}6)^1\\ &= 3 \times 0{,}16 \times 0{,}6\\ &= \mathbf{0{,}288}\end{aligned}
Exercice 18 : Espérance et variance binomiales ⭐⭐⭐⭐ Expert
Soit X binomiale n = 10, {p = 0{,}3}. Calculer E(X) et V(X).
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\begin{aligned}E(X) &= np\\ &= 10 \times 0{,}3\\ &= 3\end{aligned}
\begin{aligned}V(X) &= np(1-p)\\ &= 10 \times 0{,}3 \times 0{,}7\\ &= \mathbf{2{,}1}\end{aligned}
Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.