Fiche d'exercices Logimaths
Primitives
Primitive d'un polynôme et condition initiale : Niveau 1ère Techno.
Exercice 1 : Primitive d'un polynôme ⭐ Facile
- Rappeler une primitive de x^n (pour n entier positif).
- Donner une primitive de {f(x) = 3x^2-4x+5} sur \mathbb R.
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a)Une primitive de x^n est \dfrac{x^{n+1}}{n+1}
b)F(x) = \mathbf{x^3-2x^2+5x} (à une constante additive près).
Exercice 2 : Primitive vérifiant une condition initiale ⭐ Facile
On donne g(x) = \dfrac{2}{x^2} sur ]0\,;+\infty[.
- Donner la primitive générale G(x) de g sur ]0\,;+\infty[.
- Déterminer la constante C telle que G(1)=3.
Voir la correction
a)g(x)=2x^{-2}, une primitive de x^{-2} est -x^{-1} : G(x) = \mathbf{-\dfrac2x+C}
b)\begin{aligned}G(1) &= -2+C \\ &= 3 \\ &\Rightarrow C = \mathbf{5}\end{aligned} Donc G(x) = -\dfrac2x+5
Exercice 3 : Primitive d'une somme ⭐ Facile
On donne f(x)=x^2+2x.
- Donner une primitive de f en utilisant les primitives de x^2 et de 2x séparément.
Voir la correction
a)F(x) = \mathbf{\dfrac{x^3}3+x^2}
Exercice 4 : Erreur classique ⭐ Facile
Un élève affirme qu'une primitive de {f(x)=2x} est F(x)=2 (la dérivée de 2x).
- Expliquer l'erreur et donner la primitive correcte.
Voir la correction
a)L'élève confond primitive et dérivée : une primitive de 2x est \mathbf{x^2} (on vérifie (x^2)'=2x).
Exercice 5 : Primitive d'une constante ⭐ Facile
Déterminer une primitive de f(x) = 2.
Voir la correction
F(x) = \mathbf{2x + C}
Exercice 6 : Primitive de x ⭐ Facile
Déterminer une primitive de f(x) = x.
Voir la correction
F(x) = \mathbf{\dfrac{x^2}{2} + C}
Exercice 7 : Primitive de k\times f ⭐⭐ Intermédiaire
On sait qu'une primitive de x^2 est \dfrac{x^3}3.
- Donner une primitive de 5x^2.
Voir la correction
a)\mathbf{\dfrac{5x^3}3}
Exercice 8 : Primitive de e^x ⭐⭐ Intermédiaire
- Donner une primitive de 3e^x.
Voir la correction
a)\mathbf{3e^x}
Exercice 9 : Primitive et variations ⭐⭐ Intermédiaire
On donne f(x)=2x+4, positive sur [-2\,;+\infty[.
- Que peut-on dire d'une primitive F de f sur cet intervalle ?
Voir la correction
a)F est croissante sur [-2\,;+\infty[, car \begin{aligned}F' &= f \\ &\geqslant 0\end{aligned}
Exercice 10 : Trouver une primitive par identification ⭐⭐ Intermédiaire
- Trouver une primitive de f(x)=6x^2+4 sous la forme F(x)=ax^3+bx.
Voir la correction
a)\begin{aligned}F'(x) &= 3ax^2+b \\ &= 6x^2+4 \\ &\Rightarrow a = \mathbf2\end{aligned} b=\mathbf4
Exercice 11 : Primitive de 3x² ⭐⭐ Intermédiaire
Déterminer une primitive de f(x) = 3x^2.
Voir la correction
\begin{aligned}F(x) &= 3 \times \dfrac{x^3}{3} + C\\ &= \mathbf{x^3 + C}\end{aligned}
Exercice 12 : Primitive d'un polynôme ⭐⭐ Intermédiaire
Déterminer une primitive de f(x) = 2x + 3.
Voir la correction
F(x) = \mathbf{x^2 + 3x + C}
Exercice 13 : Primitive et cinématique ⭐⭐⭐ Difficile
La vitesse d'un mobile est v(t)=3t^2, avec x(0)=1.
- Donner x(t).
Voir la correction
a)x(t) = \mathbf{t^3+1}
Exercice 14 : Application : calcul complet ⭐⭐⭐ Difficile
- Trouver la primitive F de {f(x)=3x^2-2x+4} vérifiant F(1)=5.
Voir la correction
a)F(x)=x^3-x^2+4x+k. \begin{aligned}F(1) &= 1-1+4+k \\ &= 4+k \\ &= 5 \\ &\Rightarrow k = 1\end{aligned} D'où F(x) = \mathbf{x^3-x^2+4x+1}
Exercice 15 : Primitive d'un trinôme ⭐⭐⭐ Difficile
Déterminer une primitive de {f(x) = x^2 - 4x + 1}.
Voir la correction
F(x) = \mathbf{\dfrac{x^3}{3} - 2x^2 + x + C}
Exercice 16 : Primitive de 1/x² ⭐⭐⭐ Difficile
Déterminer une primitive de f(x) = \dfrac{1}{x^2} sur ]0\,;\,+\infty[.
Voir la correction
f(x) = x^{-2}, donc \begin{aligned}F(x) &= \dfrac{x^{-1}}{-1} + C\\ &= \mathbf{-\dfrac{1}{x} + C}\end{aligned}
Exercice 17 : Primitive de l'exponentielle avec condition ⭐⭐⭐⭐ Expert
Déterminer la primitive F de f(x) = e^x telle que F(0) = 3.
Voir la correction
F(x) = e^x + C ; \begin{aligned}F(0) &= 1 + C \\ &= 3 \\ &\Rightarrow C = 2\end{aligned}
F(x) = \mathbf{e^x + 2}
Exercice 18 : Primitive avec condition initiale ⭐⭐⭐⭐ Expert
Déterminer la primitive F de f(x) = 2x telle que F(1) = 3.
Voir la correction
F(x) = x^2 + C ; \begin{aligned}F(1) &= 1 + C \\ &= 3 \\ &\Rightarrow C = 2\end{aligned}
F(x) = \mathbf{x^2 + 2}
Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.