Second degré

Exercice 1 : Résoudre une équation du second degré ⭐ Facile

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1. Calculer le discriminant \Delta de f.
2. En déduire les racines de f.

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a)\begin{aligned}\Delta &= (-5)^2-4\times2\times2\\ &= 25-16\\ &= \mathbf{9}\end{aligned}

b)\Delta>0 : deux racines \begin{aligned}x_1 &= \dfrac{5-3}{4}\\ &= \mathbf{0{,}5}\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{5+3}{4}\\ &= \mathbf{2}\end{aligned}

Exercice 2 : Étudier le signe d'un trinôme ⭐ Facile

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1. Calculer le discriminant de g et ses racines.
2. Dresser le tableau de signes de g (attention au signe de a).
3. En déduire l'ensemble des solutions de g(x) \geqslant 0.

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a)\begin{aligned}\Delta &= 4^2-4\times(-1)\times(-3)\\ &= 16-12\\ &= 4\end{aligned}. Racines : \begin{aligned}x_1 &= \dfrac{-4+2}{-2}\\ &= 1\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{-4-2}{-2}\\ &= \mathbf{3}\end{aligned}

b)Ici a=-1<0 : g est négative à l'extérieur des racines et positive entre les racines. g(x)<0 sur ]-\infty\,;1[\cup]3\,;+\infty[, g(x)>0 sur ]1\,;3[

c)\mathcal S = \mathbf{[1\,;3]} (racines incluses car inégalité large).

Exercice 3 : Tableau de variations ⭐ Facile

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1. Calculer \alpha et \beta (sommet de la parabole).
2. Donner le sens de variation de f.

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a)\begin{aligned}\alpha &= -\dfrac{-6}{2}\\ &= 3\end{aligned}, \begin{aligned}\beta &= f(3)\\ &= 9-18+5\\ &= \mathbf{-4}\end{aligned}

b)f est décroissante sur ]-\infty\,;3], croissante sur [3\,;+\infty[, minimum -4 en x=3

Exercice 4 : Résoudre (Δ > 0) ⭐ Facile

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\begin{aligned}\Delta &= 49 - 40\\ &= 9 > 0\end{aligned}, \sqrt{\Delta} = 3. x = \dfrac{7 \pm 3}{2}, donc \mathbf{x = 2 \text{ ou } x = 5}

Exercice 5 : Équation sans terme en x ⭐ Facile

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x^2 = 9 \Rightarrow \mathbf{x = -3 \text{ ou } x = 3}

Exercice 6 : Trouver un trinôme connaissant ses racines ⭐⭐ Intermédiaire

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1. Trouver le trinôme de racines -1 et 4, de coefficient dominant 2, sous forme développée.

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a)\begin{aligned}f(x) &= 2(x+1)(x-4)\\ &= 2(x^2-3x-4)\\ &= \mathbf{2x^2-6x-8}\end{aligned}

Exercice 7 : Résolution graphique ⭐⭐ Intermédiaire

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1. Résoudre x^2-2x-3=x+1.

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a)x^2-3x-4=0 : \begin{aligned}\Delta &= 9+16\\ &= 25\end{aligned}, x=\dfrac{3\pm5}2, soit x=\mathbf{-1} ou x=\mathbf4

Exercice 8 : Inéquation avec \Delta<0 ⭐⭐ Intermédiaire

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1. Résoudre x^2+2x+5>0.

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a)\begin{aligned}\Delta &= 4-20\\ &= -16<0\end{aligned} et a=1>0 : f(x)>0 pour tout réel x. \mathcal S=\mathbb R

Exercice 9 : Optimiser une aire ⭐⭐ Intermédiaire

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1. Exprimer l'aire A(x).
2. Trouver x qui maximise l'aire, et cette aire maximale.

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a)Largeur =20-x, donc \begin{aligned}A(x) &= x(20-x)\\ &= \mathbf{-x^2+20x}\end{aligned}

b)Sommet en x=10 (carré), A(10)=\mathbf{100}

Exercice 10 : Coefficient a ≠ 1 ⭐⭐ Intermédiaire

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\begin{aligned}\Delta &= 9 + 16\\ &= 25\end{aligned}, \sqrt{\Delta} = 5. x = \dfrac{-3 \pm 5}{4}, donc \mathbf{x = \tfrac{1}{2} \text{ ou } x = -2}

Exercice 11 : Racine double ⭐⭐ Intermédiaire

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\begin{aligned}\Delta &= 36 - 36\\ &= 0\end{aligned} : racine double \begin{aligned}x &= \dfrac{6}{2}\\ &= \mathbf{3}\end{aligned} (et x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2).

Exercice 12 : Équation bicarrée ⭐⭐⭐ Difficile

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1. Poser X=x^2 et résoudre {x^4-13x^2+36=0} en X.
2. En déduire les solutions en x.

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a)X^2-13X+36=0 : \begin{aligned}\Delta &= 169-144\\ &= 25\end{aligned}, X=\dfrac{13\pm5}2, soit X=9 ou X=\mathbf4

b)\begin{aligned}x^2 &= 9 \\ &\Rightarrow x = \pm3\end{aligned} \begin{aligned}x^2 &= 4 \\ &\Rightarrow x = \pm2\end{aligned} \mathcal S=\{-3,-2,2,3\}

Exercice 13 : Position d'une parabole par rapport à une droite ⭐⭐⭐ Difficile

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1. Calculer f(x)-(2x-5) pour {f(x)=x^2-4x+3}, et factoriser.
2. En déduire la position relative de la parabole et de la droite y=2x-5.

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a)\begin{aligned}f(x)-(2x-5) &= x^2-6x+8\\ &= \mathbf{(x-2)(x-4)}\end{aligned}

b)Positif hors de [2\,;4] (parabole au-dessus de la droite), négatif sur ]2\,;4[ (parabole en dessous).

Exercice 14 : Signe du trinôme ⭐⭐⭐ Difficile

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Racines : \begin{aligned}\Delta &= 1 + 24\\ &= 25\end{aligned}, x = \dfrac{1 \pm 5}{2} soit -2 et 3

Comme a = 1 > 0 : f(x) > 0 à l'extérieur des racines, f(x) < 0 sur \mathbf{\,]-2\,;\,3[}

Exercice 15 : Forme canonique ⭐⭐⭐ Difficile

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\begin{aligned}x^2 - 4x + 1 &= (x-2)^2 - 4 + 1\\ &= \mathbf{(x-2)^2 - 3}\end{aligned}

Exercice 16 : Discuter selon un paramètre ⭐⭐⭐⭐ Expert

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1. Discuter, selon les valeurs de m, le nombre de solutions de x^2-4x+m=0.

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a)\Delta=16-4m : deux solutions si m<4, une solution double si m=4, aucune solution réelle si m>4

Exercice 17 : Somme et produit des racines ⭐⭐⭐⭐ Expert

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S = 5, P = 6 : on cherche deux nombres de somme 5 et produit 6.

Ce sont \mathbf{2 \text{ et } 3} (car 2 + 3 = 5 et 2 \times 3 = 6).

Exercice 18 : Inéquation du second degré ⭐⭐⭐⭐ Expert

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Racines -2 et 3 ; le trinôme (avec a > 0) est négatif ou nul entre les racines.

Ensemble des solutions : \mathbf{[-2\,;\,3]}