Fiche d'exercices Logimaths | 1ère spécialité
Fiche d'exercices : Suites arithmétiques, suites géométriques
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Reconnaître⭐
Arithmétique, géométrique, ou ni l'une ni l'autre ? Donne la raison le cas échéant.
- 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; …
- 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; …
- 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; …
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. Écarts constants de 5 : arithmétique, r = 5.
2. Quotients constants de 3 : géométrique, q = 3.
3. Écarts 1, 2, 3 (ni constants), quotients variables : ni l'une ni l'autre.
2. Quotients constants de 3 : géométrique, q = 3.
3. Écarts 1, 2, 3 (ni constants), quotients variables : ni l'une ni l'autre.
Exercice 2 : Termes généraux⭐
- (u_n) arithmétique, u_0 = 4, r = 7. Exprime u_n puis calcule u_{20}.
- (v_n) géométrique, v_0 = 3, q = 2. Exprime v_n puis calcule v_8.
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. u_n = 4 + 7n et \begin{aligned}u_{20} &= 4 + 140 \\ &= 144\end{aligned}
2. v_n = 3 \times 2^n et \begin{aligned}v_8 &= 3 \times 256 \\ &= 768\end{aligned}
2. v_n = 3 \times 2^n et \begin{aligned}v_8 &= 3 \times 256 \\ &= 768\end{aligned}
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Retrouver la raison⭐⭐
- (u_n) est arithmétique avec u_3 = 11 et u_7 = 27. Trouve r puis u_0.
- (v_n) est géométrique à termes positifs avec v_2 = 12 et v_4 = 48. Trouve q puis v_0.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. De u_3 à u_7 : 4 pas pour + 16, donc r = 4 ; \begin{aligned}u_0 &= u_3 - 3r \\ &= 11 - 12 \\ &= -1\end{aligned}
2. v_4 = v_2 \times q^2 donne q^2 = 4, et q = 2 (termes positifs) ; \begin{aligned}v_0 &= \dfrac{v_2}{q^2} \\ &= 3\end{aligned}
2. v_4 = v_2 \times q^2 donne q^2 = 4, et q = 2 (termes positifs) ; \begin{aligned}v_0 &= \dfrac{v_2}{q^2} \\ &= 3\end{aligned}
Exercice 4 : Les sommes⭐⭐
Calcule :
- S = 1 + 2 + 3 + \dots + 60
- T = 5 + 8 + 11 + \dots + 62 (combien de termes ?)
- G = 1 + 3 + 9 + \dots + 3^6
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. \begin{aligned}S &= \dfrac{60 \times 61}{2} \\ &= 1830\end{aligned}
2. De 5 à 62 par pas de 3 : {\dfrac{62 - 5}{3} + 1 = 20} termes, donc \begin{aligned}T &= 20 \times \dfrac{5 + 62}{2} \\ &= 670\end{aligned}
3. \begin{aligned}G &= \dfrac{1 - 3^7}{1 - 3} \\ &= \dfrac{3^7 - 1}{2} \\ &= \dfrac{2186}{2} \\ &= 1093\end{aligned}
2. De 5 à 62 par pas de 3 : {\dfrac{62 - 5}{3} + 1 = 20} termes, donc \begin{aligned}T &= 20 \times \dfrac{5 + 62}{2} \\ &= 670\end{aligned}
3. \begin{aligned}G &= \dfrac{1 - 3^7}{1 - 3} \\ &= \dfrac{3^7 - 1}{2} \\ &= \dfrac{2186}{2} \\ &= 1093\end{aligned}
Exercice 5 : Modéliser des évolutions⭐⭐
Une forêt compte 3000 arbres. Deux scénarios : (A) on plante 150 arbres par an ; (B) le nombre d'arbres augmente de 4 % par an.
- Modélise chaque scénario par une suite (nature, raison, terme général).
- Compare le nombre d'arbres dans 5 ans (on donne 1{,}04^5 \approx 1{,}217).
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. (A) : arithmétique, r = 150, {a_n = 3000 + 150n}. (B) : géométrique, q = 1,04, {b_n = 3000 \times 1{,}04^n}.
2. a_5 = 3750 et b_5 \approx 3651 : le scénario A gagne encore… mais l'exponentielle finira par le dépasser (vers n = 12 : {a_{12} = 4800} et b_{12} \approx 4803).
2. a_5 = 3750 et b_5 \approx 3651 : le scénario A gagne encore… mais l'exponentielle finira par le dépasser (vers n = 12 : {a_{12} = 4800} et b_{12} \approx 4803).
Exercice 6 : L'épargne⭐⭐
On place 1000 € à 3 % d'intérêts composés par an (c_n = capital après n années).
- Justifie que (c_n) est géométrique et donne c_n.
- Calcule le capital après 10 ans (on donne 1{,}03^{10} \approx 1{,}344).
- Le capital a-t-il gagné plus ou moins que 10 × 3 % = 30 % ? Explique.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. Chaque année le capital est multiplié par 1,03 : géométrique, c_n = 1000 \times 1{,}03^n.
2. c_{10} \approx 1344 €.
3. Plus : 34,4 % au lieu de 30 %. Les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts (c'est la différence entre évolution relative composée et addition simple).
2. c_{10} \approx 1344 €.
3. Plus : 34,4 % au lieu de 30 %. Les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts (c'est la différence entre évolution relative composée et addition simple).
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Arithmético-géométrique (guidé)⭐⭐⭐
Soit u_0 = 10 et u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 6. On pose v_n = u_n - 12.
- Montre que (v_n) est géométrique de raison 0,5.
- Exprime v_n puis u_n en fonction de n.
- Vers quelle valeur u_n semble-t-elle se stabiliser ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. \begin{aligned}v_{n+1} &= u_{n+1} - 12 \\ &= 0{,}5\,u_n + 6 - 12 \\ &= 0{,}5(u_n - 12) \\ &= 0{,}5\,v_n\end{aligned} ✔
2. v_0 = -2 donc v_n = -2 \times 0{,}5^n et {u_n = 12 - 2 \times 0{,}5^n}.
3. 0{,}5^n s'écrase vers 0 : u_n se rapproche de 12 (la valeur d'équilibre : 0,5 × 12 + 6 = 12).
2. v_0 = -2 donc v_n = -2 \times 0{,}5^n et {u_n = 12 - 2 \times 0{,}5^n}.
3. 0{,}5^n s'écrase vers 0 : u_n se rapproche de 12 (la valeur d'équilibre : 0,5 × 12 + 6 = 12).
Exercice 8 : Synthèse type bac : le chantier⭐⭐⭐
Un puits coûte 50 € pour le premier mètre creusé, puis chaque mètre coûte 20 € de plus que le précédent.
- Modélise le coût du n-ième mètre par une suite (c_n) (avec c_1 = 50).
- Combien coûte le 15e mètre ?
- Quel est le coût TOTAL d'un puits de 15 mètres ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Arithmétique de raison 20 : {c_n = 50 + 20(n - 1)}.
2. \begin{aligned}c_{15} &= 50 + 20 \times 14 \\ &= 330\end{aligned} €.
3. 15 termes, du premier (50) au dernier (330) : \begin{aligned}S &= 15 \times \dfrac{50 + 330}{2} \\ &= 15 \times 190 \\ &= 2850\end{aligned} €.
2. \begin{aligned}c_{15} &= 50 + 20 \times 14 \\ &= 330\end{aligned} €.
3. 15 termes, du premier (50) au dernier (330) : \begin{aligned}S &= 15 \times \dfrac{50 + 330}{2} \\ &= 15 \times 190 \\ &= 2850\end{aligned} €.