Fiche de cours Logimaths

Fiche de cours : Fonctions affines

Coefficient directeur, variations et résolution (ESM)

I. Définition

Définition Une fonction affine est une fonction de la forme f(x)=mx+p (m,p réels fixés). Si p=0, on parle de fonction linéaire.

II. Coefficient directeur et ordonnée à l'origine

Propriété m est le coefficient directeur (ou pente) : il indique de combien varie f(x) quand x augmente de 1. p=f(0) est l'ordonnée à l'origine.

Théorème Pour deux points A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) de la droite (x_A\neq x_B) : \quad m = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}

III. Sens de variation

Propriété f est croissante si m>0, décroissante si m<0, constante si m=0.

IV. Représentation graphique

Propriété La courbe représentative d'une fonction affine est une droite. Il suffit de deux points pour la tracer (souvent x=0 et une autre valeur pratique).

Exemple : f(x)=2x-3 : f(0)=-3 et f(2)=1, ce qui donne les points (0;-3) et (2;1) pour tracer la droite.

Droite représentative de f(x)=2x-3 : elle passe par A(0;-3) et B(2;1). Quand x augmente de 1, f(x) augmente de 2 (coefficient directeur m=2).

🎛️ Atelier : la droite manipulable

Deux curseurs, deux gestes très différents : m fait pivoter la droite autour du point (0\,;p), p la fait monter ou descendre sans toucher à sa pente. Le triangle bleu est le triangle de pente : on avance de 1, on monte de m.

m 1,5 p 2

Le triangle de pente se répète à l'identique tout au long de la droite : où que l'on parte, avancer de 1 fait toujours varier la hauteur de m. C'est cela, un taux de variation constant.

🎮 Entraîne-toi : lire m et p sur la droite

p se lit là où la droite coupe l'axe des ordonnées ; m se lit en avançant de 1 à partir de ce point.

m = p =

V. Résoudre une équation ou inéquation affine

Méthode \begin{aligned}f(x) = k &\iff mx+p = k \\ &\iff x = \dfrac{k-p}{m} \end{aligned} (si m\neq0).
Pour une inéquation mx+p \leqslant k : isoler x comme pour une équation, en inversant le sens si l'on divise par un nombre négatif.

Exemple : \begin{aligned}-2x+5 \leqslant 1 &\iff -2x \leqslant -4 \\ &\iff x \geqslant 2 \end{aligned}

VI. Fonction affine et proportionnalité

Remarque : Si p=0, f(x)=mx est une fonction linéaire : elle traduit une situation de proportionnalité.

🎛️ Atelier : linéaire ou affine ?

La fonction linéaire n'est pas une autre famille : c'est le cas p = 0 de la fonction affine. Règle le curseur p et regarde la droite rose glisser jusqu'à venir se coller sur la droite verte, celle qui passe par l'origine.

m 2 p 3

y = et y =

Le quotient \dfrac{f(x)}{x} n'est constant que si la droite passe par l'origine : c'est exactement le cas {p = 0}, celui de la proportionnalité.

VII. Intersection de deux droites

Méthode Pour trouver l'intersection de {y=m_1x+p_1} et y=m_2x+p_2, résoudre m_1x+p_1=m_2x+p_2.

VIII. Signe d'une fonction affine

Propriété f(x)=mx+p (m\neq0) s'annule en x_0=-\dfrac pm ; elle est du signe de m après x_0, du signe de -m avant.

🎛️ Atelier : le signe d'une fonction affine

Règle m et p, puis promène le point M sur l'axe des abscisses (au doigt ou à la souris) : la case correspondante du tableau de signes s'allume. La droite ne change de signe qu'à un seul endroit : là où elle traverse l'axe.

m 2 p −3

Une seule chose à retenir : après la racine, f est du signe de m. Avant, c'est le signe contraire. Le tableau ne fait que recopier ce que la droite montre déjà.

🎮 Entraîne-toi : résoudre une inéquation affine

Cherche d'abord la racine, puis regarde le signe de m pour savoir de quel côté se placer.

🎮 Entraîne-toi : la racine d'une fonction affine

On résout mx + p = 0, donc x = −p : m.

IX. Modéliser par une fonction affine

Méthode Repérer un coût fixe (ordonnée à l'origine p) et un coût variable par unité (coefficient directeur m) pour écrire f(x)=mx+p.

X. Comparer deux tarifs

Exemple : Tarif A : 20+2x. Tarif B : 5x. Égalité : \begin{aligned}20+2x = 5x &\iff x = \dfrac{20}3 \\ &\approx 6{,}67\end{aligned} Au-delà de 7 unités, le tarif B est plus avantageux.

XI. Fonction affine et tableur

Méthode Dans un tableur, une fonction affine se calcule avec une formule du type =m*A1+p, recopiée vers le bas pour obtenir une série de valeurs.

XII. Interprétation du coefficient directeur

Remarque : Le coefficient directeur m s'interprète comme un taux de variation constant : par exemple, un coût qui augmente de m euros par unité produite.

XIII. Application : conversion d'unités

Exemple : La conversion Celsius-Fahrenheit {F=1{,}8C+32} est une fonction affine de coefficient directeur 1{,}8 et d'ordonnée à l'origine 32.