Fiche de cours Logimaths

Fiche de cours : Fonctions polynômes de degré 2

Forme canonique, discriminant et signe (Terminale Technologique)

I. Forme canonique

Théorème Tout trinôme f(x)=ax^2+bx+c (a\neq0) s'écrit \quad f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta \quad avec \alpha=-\dfrac{b}{2a}, \beta=f(\alpha).

Propriété La courbe est une parabole de sommet S(\alpha;\beta), tournée vers le haut si a>0, vers le bas si a<0.

Orientation de la parabole selon le signe de a : vers le haut si a>0 (minimum en S), vers le bas si a<0 (maximum en S).

II. Discriminant et racines

Définition \Delta = b^2-4ac.

Théorème \Delta>0 : deux racines x_{1,2}=\dfrac{-b\mp\sqrt\Delta}{2a}. \Delta=0 : une racine double -\dfrac b{2a}. \Delta<0 : aucune racine réelle.

Exemple : x^2-5x+6=0 : \begin{aligned}\Delta &= 25-24 \\ &= 1\end{aligned} racines x_1=2, x_2=3.

III. Factorisation

Théorème Si \Delta\geqslant0, racines x_1,x_2 : {\quad ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)}.

IV. Signe du trinôme

Méthode Si \Delta>0 : signe de a à l'extérieur des racines, signe opposé entre les racines. Si \Delta\leqslant0 : signe constant de a (sauf éventuellement en la racine double).

V. Variations

Propriété Si a>0 : f décroissante sur ]-\infty\,;\alpha], croissante sur [\alpha\,;+\infty[, minimum \beta en \alpha. Si a<0 : inverse (maximum \beta en \alpha).

Exemple : f(x)=2x^2-8x+3 : \alpha=2, \begin{aligned}\beta &= f(2) \\ &= 8-16+3 \\ &= -5\end{aligned} : minimum -5 en x=2.

VI. Résoudre une équation du second degré

Méthode Calculer \Delta, puis appliquer les formules des racines selon son signe.

Exemple : x^2-3x-4=0 : \begin{aligned}\Delta &= 9+16 \\ &= 25\end{aligned} racines x_1=-1, x_2=4.

VII. Résoudre une inéquation du second degré

Méthode Dresser le tableau de signes de f à l'aide du signe de a et des racines, puis lire les intervalles solutions.

VIII. Somme et produit des racines

Propriété x_1+x_2=-\dfrac ba \qquad x_1x_2=\dfrac ca.

IX. Résolution graphique

Méthode Résoudre ax^2+bx+c=mx+p revient à chercher les abscisses des points d'intersection de la parabole et de la droite.

X. Application : trajectoire

Exemple : La hauteur d'un projectile est souvent modélisée par h(t)=-\dfrac12gt^2+v_0t+h_0, une fonction du second degré du temps.

XI. Trouver un trinôme connaissant son sommet

Méthode Si le sommet est S(\alpha;\beta) et a connu : f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta.

XII. Signe sans les racines (cas \Delta<0)

Propriété Si \Delta<0, f(x) garde le signe de a pour tout réel x.

XIII. Application : profit maximal

Exemple : \pi(x)=-2x^2+40x-150 : maximum au sommet, \alpha=10, \pi(10)=50.