Fiche de cours Logimaths

Fiche de cours : Généralités sur les fonctions

Vocabulaire, variations, parité (Terminale Technologique)

I. Définition et vocabulaire

Définition Une fonction f associe à un réel x (antécédent) au plus un réel f(x) (image). L'ensemble de définition D_f regroupe les réels pour lesquels f(x) existe.

Exemple : f(x)=\sqrt{x-1} est définie pour x \geqslant 1 : D_f = [1\,;+\infty[.

II. Courbe représentative

Définition La courbe représentative \mathcal C_f est l'ensemble des points (x\,;f(x)) pour x \in D_f.

Méthode Lecture graphique : pour lire f(a), partir de a en abscisse et lire l'ordonnée du point de la courbe. Pour résoudre f(x)=k, tracer y=k et lire les abscisses des intersections.

III. Sens de variation et extremum

Définition f est croissante sur I si {a \leqslant b \Rightarrow f(a) \leqslant f(b)} ; décroissante si {a \leqslant b \Rightarrow f(a) \geqslant f(b)}.

Propriété Le tableau de variations résume, avec des flèches, le comportement de f sur des intervalles successifs, en indiquant les valeurs aux bornes (maximum/minimum locaux).

IV. Parité

Définition f est paire si f(-x)=f(x) pour tout x (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées). f est impaire si f(-x)=-f(x) (courbe symétrique par rapport à l'origine).

Exemple : x\mapsto x^2 est paire ; x\mapsto x^3 est impaire.

V. Fonctions de référence

Propriété Fonction carré (x^2, parabole), fonction inverse (1/x, hyperbole), fonction racine carrée (\sqrt x), fonction affine (mx+p, droite) : voir la fiche dédiée pour le détail de leurs variations.

VI. Résoudre f(x)=k graphiquement

Méthode Tracer y=k et lire les abscisses des points d'intersection avec \mathcal C_f.

Pour résoudre f(x)=k, on trace la droite y=k et on lit les abscisses x_1 et x_2 des points d'intersection avec \mathcal C_f.

VII. Résoudre f(x)>k graphiquement

Méthode Repérer les portions de \mathcal C_f situées au-dessus de la droite y=k.

VIII. Comparer deux fonctions graphiquement

Méthode Repérer où \mathcal C_f est au-dessus ou en dessous de \mathcal C_g ; les points d'intersection séparent les zones.

IX. Fonction majorée, minorée, bornée

Définition f est majorée par M sur I si f(x)\leqslant M pour tout x\in I ; minorée par m si f(x)\geqslant m ; bornée si les deux.

X. Fonction périodique (introduction)

Définition f est périodique de période T si {f(x+T)=f(x)} pour tout x.

XI. Composée de deux fonctions

Définition La composée g\circ f associe à x le nombre g(f(x)).

Exemple : f(x)=x+1, g(x)=x^2 : \begin{aligned}g(f(2)) &= g(3) \\ &= 9\end{aligned}

XII. Tableau de valeurs et courbe

Méthode Un tableau de valeurs donne une première approximation de la courbe ; plus les valeurs sont nombreuses et rapprochées, plus le tracé est précis.

XIII. Fonction affine par morceaux

Exemple : f(x)=x si x\leqslant2, f(x)=2 si x>2 : une fonction constante au-delà de 2.