Fiche de cours Logimaths | 1ère spécialité
Fiche de cours : Généralités sur les suites
Des nombres en file indienne : les définir, les calculer, savoir s'ils montent
I. Qu'est-ce qu'une suite ?
Suite numérique
Une suite (u_n) associe à chaque entier naturel n un nombre réel u_n (le terme d'indice n, ou de rang n).
⚠️ La numérotation commence souvent à 0 : u_0 est alors le premier terme, et u_{10} est le ONZIÈME.
Une suite modélise une évolution étape par étape : population chaque année, capital chaque mois, hauteur de rebond à chaque impact…
⚠️ La numérotation commence souvent à 0 : u_0 est alors le premier terme, et u_{10} est le ONZIÈME.
Une suite modélise une évolution étape par étape : population chaque année, capital chaque mois, hauteur de rebond à chaque impact…
Les deux façons d'engendrer une suite
- Forme explicite : u_n = f(n). On calcule N'IMPORTE QUEL terme directement : si u_n = n^2 + 1, alors u_{10} = 101 sans rien d'autre ;
- Par récurrence : on donne le premier terme et une relation u_{n+1} = f(u_n). Chaque terme se déduit du précédent : pour u₁₀, il faut calculer les dix termes d'avant (ou programmer une boucle Python).
🎮 Entraîne-toi : explicite ou récurrence ?
Le terme dépend-il de n directement, ou du terme précédent ?
II. Calculer des termes
Les deux gestes de calcul
- Explicite : on remplace n : pour {u_n = 3n^2 - 5}, \begin{aligned}u_4 &= 3 \times 16 - 5 \\ &= 43\end{aligned}
- récurrence : on enchaîne : pour {u_0 = 2} et u_{n+1} = 3u_n - 1 : u_1 = 5, puis u_2 = 14.
🧮 À la calculatrice : NumWorks, Casio et TI pas à pas
Ta calculatrice affiche la table des termes d'une suite, dans les deux formes. Vérifie avec elle que u_4 = 43 pour {u_n = 3n^2 - 5}, et que u_2 = 14 pour {u_0 = 2}, u_{n+1} = 3u_n - 1.
NumWorks (l'appli Suites)
- touche 🏠, appli Suites, ajoute une suite : forme explicite u(n) = 3n^2 - 5, ou forme récurrente u(n+1) = 3u(n) - 1 avec u(0) = 2 ;
- onglet Tableau : la colonne des termes s'affiche, fais défiler jusqu'au rang voulu.
Casio Graph 35+E II (même chemin sur Graph 90+E)
- MENU, ouvre Récurrence ; F3 TYPE : forme an = (explicite, avec n) ou an+1 = (récurrente, avec an) ;
- F5 SET : Start 0, End 10 (et a0 = 2 en forme récurrente), puis F6 TABLE.
TI-83 Premium CE (la TI standard au lycée, commandes en français)
- mode : passe le type de tracé sur SUITE ;
- touche f(x) : nMin = 0, puis u(n) = 3n^2 - 5 (la touche X,T,θ,n tape n), ou u(n) = 3 × u(n-1) - 1 avec u(nMin) = 2 (u s'obtient par 2nde 7) ;
- 2nde graphe (table) : la table des termes.
🎮 Entraîne-toi : la forme explicite
Remplace n par la valeur demandée, puis calcule.
🎮 Entraîne-toi : la récurrence
Applique la relation deux fois de suite, terme après terme.
III. Le sens de variation
Suites croissantes, décroissantes
(u_n) est croissante si u_{n+1} \geq u_n pour tout n (chaque terme dépasse le précédent), décroissante si u_{n+1} \leq u_n, constante si tous les termes sont égaux.
⚠️ Certaines suites ne sont ni l'un ni l'autre : u_n = (-1)^n oscille.
⚠️ Certaines suites ne sont ni l'un ni l'autre : u_n = (-1)^n oscille.
Les trois méthodes pour étudier les variations
- Le signe de la différence {u_{n+1} - u_n} (la méthode universelle) : pour u_n = n^2, u_{n+1} - u_n = 2n + 1 > 0 : croissante ;
- le quotient \dfrac{u_{n+1}}{u_n} comparé à 1, si TOUS les termes sont strictement positifs (pratique pour les produits et puissances) ;
- la fonction associée : si u_n = f(n) avec f croissante sur [0\,;\,+\infty[, alors (u_n) est croissante (attention : valable dans ce sens-là seulement).
👆 ▶ À toi : u(n) = 5n − n². Calcule u(n+1) − u(n) et conclus sur les variations. Vérifie
\begin{aligned}u_{n+1} - u_n &= 5(n+1) - (n+1)^2 - 5n + n^2 \\ &= 4 - 2n\end{aligned} Positif pour n ≤ 2, négatif ensuite : la suite monte puis descend (maximum en n = 2 ou 3, avec \begin{aligned}u_2 &= u_3 \\ &= 6\end{aligned}) : ni croissante ni décroissante.
🎮 Entraîne-toi : croissante ou décroissante ?
Compare u(n+1) et u(n) : différence, quotient ou bon sens.
IV. Représenter une suite : un nuage de points
La règle, en une phrase
On représente une suite dans un repère en plaçant les points de coordonnées (n\,;\,u_n), pour n = 0, 1, 2, 3, \dots
Ce sont des points isolés, et rien d'autre : on ne les relie pas, et on ne trace pas de courbe. Une suite n'a de valeur qu'aux rangs entiers : u_{2{,}5} n'existe pas.
Ce sont des points isolés, et rien d'autre : on ne les relie pas, et on ne trace pas de courbe. Une suite n'a de valeur qu'aux rangs entiers : u_{2{,}5} n'existe pas.
⚠️ Les points alignés ne font pas une droite
Pour u_n = 12 - 1{,}5n, les points sont alignés : c'est vrai, et c'est la signature d'une suite arithmétique. Mais la réponse « la représentation est une droite » est fausse : la représentation est une suite de points alignés. La droite, c'est la fonction f(x) = 12 - 1{,}5x, qui est un autre objet.
Lire les variations sur le nuage
- les points montent de gauche à droite → suite croissante ;
- ils descendent → suite décroissante ;
- ils montent puis descendent (ou sautent d'un côté à l'autre) → la suite n'est ni croissante ni décroissante : on dit qu'elle n'est pas monotone.
V. Modéliser avec une suite
Du problème à la relation
La question à se poser : « comment passe-t-on d'une étape à la suivante ? »
- « augmente de 200 chaque année » : u_{n+1} = u_n + 200 ;
- « augmente de 3 % chaque année » : u_{n+1} = 1{,}03\,u_n ;
- « perd 10 % puis reçoit 50 » : {u_{n+1} = 0{,}9\,u_n + 50} (l'ordre des opérations suit l'énoncé).
⚠️ En Python, la boucle remplace la récurrence
u = 2 puis for k in range(10): u = 3*u - 1 calcule u_{10} pour u_{n+1} = 3u_n - 1 : la variable u « écrase » sa valeur à chaque tour, exactement comme la suite avance d'un terme. Compte bien le nombre de tours : range(10) applique la relation 10 fois, de u₀ à u₁₀.