Fiche de cours Logimaths
Fiche de cours : Géométrie dans l'espace (STD2A)
Solides, sections et perspective cavalière
I. Perspective cavalière : dessiner l'espace sur une feuille
Définition
La perspective cavalière est une projection sur un plan parallèlement à une droite. Autrement dit : on « pousse » chaque point du solide sur la feuille en suivant toujours la même direction. Ce n'est pas une photo, il n'y a aucun point de fuite.
Méthode
Pour dessiner en perspective cavalière, on fixe deux réglages une fois pour toutes :
- l'angle de fuite \alpha (souvent 30^\circ, 45^\circ ou 60^\circ) : la direction dans laquelle partent les arêtes de profondeur ;
- le coefficient de réduction k (souvent \dfrac12 ou 0{,}7) : les longueurs de profondeur sont dessinées k fois plus courtes.
Propriété (ce qui survit à la projection)
| Conservé ✅ | Non conservé ❌ |
|---|---|
|
le parallélisme (deux droites parallèles restent parallèles) les milieux (le milieu d'un segment reste le milieu de son image) les contacts (une tangente reste tangente) les rapports de longueurs sur une même droite (ou sur deux droites parallèles) |
les longueurs (une arête de profondeur est raccourcie) les angles (un angle droit de profondeur n'est plus droit sur le dessin) les aires la nature de certaines figures (un carré devient un parallélogramme, un cercle une ellipse) |
Remarque : c'est parce que les milieux et les contacts sont conservés qu'on peut construire une figure exacte à la règle sur le dessin, alors même que les longueurs y sont fausses.
II. Dessiner un cercle en perspective
Méthode (à connaître par cœur)
L'image d'un cercle par une projection parallèle est une ellipse. Pour la tracer proprement :
- Tracer le carré circonscrit au cercle, puis le dessiner en perspective : il devient un parallélogramme.
- Placer les milieux des quatre côtés du parallélogramme (les milieux se conservent).
- Tracer l'ellipse tangente aux quatre côtés en ces quatre points (les contacts se conservent).
Remarque : la même construction sert dans l'autre sens en design : pour dessiner un cylindre vu de biais, on commence par le parallélogramme, jamais par l'ellipse à main levée.
III. Les solides usuels et leurs arêtes cachées
Remarque : fais varier la hauteur du point de vue sur le cylindre. Le disque du dessus s'aplatit en ellipse de plus en plus fine, puis en simple segment quand l'œil arrive dans le plan du disque. Un cercle n'est « rond » sur le dessin que s'il est parallèle à la feuille.
Propriété
avec \mathcal{B} l'aire de la base, h la hauteur et g la génératrice du cône.
| Solide | Volume | Aire |
|---|---|---|
| Pavé droit | L\times l\times h | 2(L\ell+Lh+\ell h) |
| Prisme droit | \mathcal{B}\times h | 2\mathcal{B}+P_{\text{base}}\times h |
| Cylindre | \pi r^2 h | 2\pi r h+2\pi r^2 |
| Cône | \dfrac13\pi r^2 h | \pi r g+\pi r^2 |
| Pyramide | \dfrac13\times\mathcal{B}\times h | base + faces latérales |
| Sphère (boule) | \dfrac43\pi r^3 | 4\pi r^2 |
🎮 À toi de jouer : le bon volume, la bonne formule
Les nombres sont choisis pour tomber juste. Écris la valeur exacte du coefficient devant \pi quand on te le demande.
IV. Patrons : le solide mis à plat
Définition
Un patron d'un solide est une figure plane qui, pliée le long de ses arêtes, reconstitue exactement le solide, sans recouvrement ni trou.
Propriété
Puisque le pliage ne fait ni disparaître ni apparaître de surface, l'aire du patron est égale à l'aire totale du solide. C'est la façon la plus sûre de calculer une aire latérale : on la met à plat.
Formule
- Cylindre : le rectangle a pour largeur le périmètre du disque, donc aire latérale = 2\pi r\times h.
- Cône : l'arc du secteur a pour longueur 2\pi r et le rayon du secteur est la génératrice g, donc aire latérale = \pi r g.
Remarque : la sphère est la grande exception. Aucune surface sphérique ne se met à plat sans se déformer : c'est tout le problème des cartes de géographie, et la raison pour laquelle un ballon est cousu en morceaux.
V. Sections planes d'un cube et d'un cylindre
Définition
La section plane d'un solide est la figure obtenue en le coupant par un plan : c'est exactement ce qu'on voit sur la tranche.
Propriété
- Un plan parallèle à une face du cube donne un carré identique à cette face.
- Un plan parallèle à une arête donne un rectangle.
- Un plan oblique peut donner un triangle, un quadrilatère, un pentagone ou même un hexagone régulier (au milieu du cube).
- Cylindre de révolution : plan parallèle à la base \Rightarrow cercle de même rayon ; plan contenant l'axe \Rightarrow rectangle ; plan oblique \Rightarrow ellipse.
Méthode (construire une section de cube)
- Placer les points donnés sur les arêtes.
- Deux points d'une même face se relient directement : la section coupe cette face selon un segment.
- Deux faces parallèles sont coupées selon deux segments parallèles : c'est la règle qui débloque presque toutes les constructions.
- Continuer de face en face jusqu'à refermer le polygone.
🎮 À toi de jouer : quelle est la nature de la section ?
Un solide, un plan : dis ce qu'on voit sur la tranche.
VI. Solides de révolution
Définition
Un solide de révolution est engendré par une figure plane qui tourne d'un tour complet autour d'un axe. Toutes ses sections par un plan perpendiculaire à l'axe sont des disques.
VII. Le tiers du cône et de la pyramide
Formule
V_{\text{cône}}=\dfrac13\pi r^2 h et V_{\text{pyramide}}=\dfrac13\times\mathcal{B}\times h.
Dans les deux cas, la pointe fait perdre exactement deux tiers du volume du solide droit de même base et de même hauteur.
Piège
h est la hauteur (la distance du sommet au plan de base), jamais la génératrice ni l'arête latérale. Sur un cône, g^2 = r^2 + h^2 par le théorème de Pythagore : on passe de l'une à l'autre, on ne les confond pas.
VIII. Agrandissement et réduction : k, k^2, k^3
Théorème
Dans un agrandissement (ou une réduction) de rapport k>0 :
- les longueurs sont multipliées par k ;
- les aires sont multipliées par k^2 ;
- les volumes sont multipliés par k^3 ;
- les angles sont inchangés (la forme est conservée).
Exemple : une maquette à l'échelle 1/20 d'un objet a des longueurs 20 fois plus petites, une surface à peindre 20^2 = 400 fois plus petite et un volume de matière {20^3 = 8\,000} fois plus petit. C'est pour cela qu'une maquette coûte si peu de matière et pourtant presque autant de temps : le temps suit les surfaces, pas les volumes.
Propriété (section d'un cône ou d'une pyramide)
Une section parallèle à la base, à la hauteur h' comptée depuis le sommet, donne une réduction de rapport {k=\dfrac{h'}{h}} du solide entier. À mi-hauteur, k=\dfrac12 : l'aire de la section vaut \dfrac14 de celle de la base et le petit cône a \dfrac18 du volume total.
🎮 À toi de jouer : k, k^2 ou k^3 ?
La seule question à se poser : est-ce une longueur, une aire ou un volume ?
IX. Repérage dans l'espace
Définition
Dans un repère orthonormal de l'espace (O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k), un point est repéré par un triplet de coordonnées (x\,;y\,;z).
Formule (distance)
Dans un repère orthonormal, pour A(x_A\,;y_A\,;z_A) et B(x_B\,;y_B\,;z_B) :
AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}.
Remarque : cette formule n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore appliqué deux fois : une première fois dans le plan du sol pour obtenir la diagonale \sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}, une seconde fois dans le plan vertical qui contient cette diagonale et la hauteur.
X. Vues orthogonales et dessin technique
Définition
Les vues orthogonales (de face, de dessus, de profil) représentent un objet par projection perpendiculaire sur trois plans deux à deux perpendiculaires. Chaque vue est en vraie grandeur, mais elle perd une dimension : c'est la convention du dessin technique et de l'architecture.
XI. Volume d'un solide composé
Méthode
Pour un solide composé, on découpe par la pensée en solides usuels, on calcule chaque volume séparément, puis on additionne (assemblage) ou on soustrait (partie évidée, perçage, encoche).
Exemple : un vase formé d'un cylindre de rayon 5 cm et de hauteur 12 cm surmonté d'un cône de même rayon et de hauteur 6 cm :
V=\pi\times 5^2\times 12+\dfrac13\times\pi\times 5^2\times 6=300\pi+50\pi=350\pi\ \text{cm}^3\approx 1\,100\ \text{cm}^3.
On garde 350\pi comme valeur exacte et on n'arrondit qu'à la toute fin.
V=\pi\times 5^2\times 12+\dfrac13\times\pi\times 5^2\times 6=300\pi+50\pi=350\pi\ \text{cm}^3\approx 1\,100\ \text{cm}^3.
On garde 350\pi comme valeur exacte et on n'arrondit qu'à la toute fin.
XII. Les pièges du chapitre
À ne pas rater
- Perspective cavalière n'est pas perspective à point de fuite. En cavalière les parallèles restent parallèles ; dans une perspective conique (celle du dessin d'observation) elles convergent vers un point de fuite. Les deux servent en design, elles ne se mélangent pas.
- Ne jamais mesurer une longueur sur un dessin en perspective : les fuyantes sont raccourcies. Il faut passer par la vraie grandeur.
- Un angle droit de l'espace n'est pas droit sur le dessin, et un angle droit sur le dessin ne l'est pas forcément dans l'espace.
- Aire ⇢ k^2, volume ⇢ k^3. Doubler les dimensions multiplie le volume par 8, pas par 2.
- Hauteur ≠ génératrice pour le cône, hauteur ≠ arête latérale pour la pyramide.
- Unités : 1\ \text{m}^3=1\,000\ \text{dm}^3=1\,000\ \text{L} et 1\ \text{L}=1\ \text{dm}^3=1\,000\ \text{cm}^3. Une conversion de volume se fait par paquets de 1 000, pas de 10.