Fiche de cours Logimaths

Fiche de cours : Géométrie plane (STD2A)

Transformations du plan pour le design

I. Transformations du plan

Définition Une translation de vecteur \vec u associe à M le point M' tel que \overrightarrow{MM'}=\vec u. Une symétrie centrale de centre O associe à M le symétrique M' tel que O soit le milieu de [MM']. Une symétrie axiale associe à M son symétrique par rapport à un axe.

II. Rotation

Définition La rotation de centre O et d'angle \theta associe à M le point M' tel que {OM'=OM} et l'angle (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{OM'})=\theta.

III. Homothétie

Définition L'homothétie de centre O et de rapport k associe à M le point M' tel que \overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}.

Homothétie de centre O et de rapport k=2 : le triangle image A'B'C' est deux fois plus grand que ABC, dans le même sens, et O, chaque point et son image sont alignés.

Propriété Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par |k| et les aires par k^2. Elle conserve les angles et le parallélisme.

IV. Repérage et changement de repère

Méthode Pour un projet de design, choisir un repère adapté (souvent orthonormé) permet de traduire une figure en coordonnées et d'appliquer facilement les transformations (formules analytiques de translation, rotation, homothétie).

V. Applications au dessin technique

Remarque : Ces transformations sont à la base de nombreux outils de conception graphique : mise à l'échelle (homothétie), motifs répétés (translation), symétries décoratives (symétrie axiale/centrale), rotations dans les logos et pavages.

VI. Composée de deux transformations

Définition La composée de deux transformations s'obtient en appliquant l'une puis l'autre successivement.

VII. Symétrie axiale : coordonnées

Propriété Le symétrique de M(x;y) par rapport à l'axe des abscisses est M'(x;-y) ; par rapport à l'axe des ordonnées, M'(-x;y).

VIII. Frises et pavages

Remarque : Une frise répète un motif par translations successives ; un pavage recouvre le plan par répétition d'un motif (translations, rotations, symétries).

nombre de répétitions : 6

Le motif bleu est le motif élémentaire : toutes les autres copies s'en déduisent par la ou les transformations choisies. Lire une frise, c'est faire le chemin inverse : retrouver ce motif et la transformation qui l'a répété.

IX. Similitude (introduction)

Définition Une similitude est une transformation qui multiplie toutes les longueurs par un même rapport k>0 (généralise l'homothétie) tout en conservant les angles.

X. Conservation des angles et des rapports

Propriété Les transformations usuelles (translation, rotation, symétrie) conservent les longueurs et les angles ; l'homothétie conserve les angles mais multiplie les longueurs par |k|.

XI. Construction d'un logo

Exemple : Un logo peut se construire par une rotation d'angle \dfrac{2\pi}n répétée n fois autour d'un centre, créant une figure à symétrie d'ordre n.

XII. Changement d'échelle

Méthode Changer d'échelle revient à appliquer une homothétie de rapport égal au facteur d'échelle choisi.

XIII. Application : mise à l'échelle d'un plan

Exemple : Un plan à l'échelle 1/100 signifie que 1 cm sur le plan représente 100 cm (soit 1 m) dans la réalité : c'est une homothétie de rapport 100.

XIV. Polygones réguliers

Définition Un polygone régulier à n côtés est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles la même mesure. Ses sommets sont sur un même cercle, le cercle circonscrit, de centre O et de rayon R.

Propriété Le polygone régulier à n côtés est la réunion de n triangles isocèles superposables, tous images du premier par une rotation de centre O. Ce triangle est le motif élémentaire du polygone.

angle au centre : \dfrac{360^{\circ}}{n}
angle intérieur : \dfrac{(n-2)\times 180^{\circ}}{n}
côté : c = 2R\sin\left(\dfrac{180^{\circ}}{n}\right), apothème : a = R\cos\left(\dfrac{180^{\circ}}{n}\right)
périmètre : P = n\,c, aire : \mathcal{A} = \dfrac{P\times a}{2}

nombre de côtés n : 6

rayon R : 4 cm

angle au centre		angle intérieur
côté c		apothème a
périmètre P		aire

Le triangle bleu est le motif élémentaire. Chaque copie s'obtient en le faisant tourner autour de O d'un angle égal à l'angle au centre. L'apothème est la distance de O au milieu d'un côté : c'est la hauteur du motif, et c'est elle qui donne l'aire.