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Fiche de cours Logimaths | 1ère spécialité

Fiche de cours : Géométrie repérée

Droites et cercles en équations : directeurs, normaux, centres et rayons

← Retour à la page 1ère 📄 La fiche d'exercices

I. La droite et ses deux vecteurs

ax + by + c = 0 : directeur et normal Toute droite du plan a une équation cartésienne ax + by + c = 0 (a, b non tous deux nuls), et on lit directement :
  • un vecteur directeur : \vec{u}(-b\,;\,a) (il longe la droite) ;
  • un vecteur normal : \vec{n}(a\,;\,b) (il lui est perpendiculaire).
Cohérence : \begin{aligned}\vec{u} \cdot \vec{n} &= -ba + ab \\ &= 0\end{aligned} ✔. Exemple : 3x − 2y + 5 = 0 a pour directeur (2 ; 3) et pour normal (3 ; −2).
📐 Atelier : le vecteur directeur « suit » la droite
Trois façons de jouer avec la même droite :
• attrape la pointe de u : la droite pivote autour de A et l'équation se réécrit toute seule ;
• attrape le point A : la droite se translate, et seul le nombre c change ;
• règle a et b avec les boutons : cette fois c'est l'équation qui commande, et c'est le vecteur qui pivote.
a b
Pourquoi le directeur est (−b ; a) : la démonstration en trois lignes Soit A(x_A\,;y_A) un point de la droite d d'équation {ax+by+c=0}. Un point M(x\,;y) appartient à d si et seulement si \overrightarrow{AM} est colinéaire à un vecteur directeur \vec u(\alpha\,;\beta), c'est-à-dire si le déterminant est nul :
(x-x_A)\beta-(y-y_A)\alpha=0
En développant : {\beta x-\alpha y-(\beta x_A-\alpha y_A)=0}. On reconnaît la forme {ax+by+c=0} avec a=\beta et b=-\alpha, donc \alpha=-b et \beta=a : le vecteur directeur est bien \vec u(-b\,;a).
Le cas que tout le monde rate : la droite verticale Une droite d'équation x=k (par exemple 2x-6=0, soit x=3) a b=0. On ne peut donc pas isoler y : elle n'a pas de coefficient directeur. Mais elle a bien un vecteur directeur : \vec u(-b\,;a)=\vec u(0\,;a), qui pointe droit vers le haut.
C'est exactement pour cette raison que l'équation cartésienne et le vecteur directeur sont préférés à y=mx+p : ils marchent pour toutes les droites, sans exception. Appuie sur « Droite verticale » dans l'atelier ci-dessus pour le voir.
🎮 À toi de jouer : le coefficient directeur
On isole y : by=-ax-c, donc m=-\dfrac ab. Reste à repérer le cas où c'est impossible.
🎮 À toi de jouer : d'un point et d'un directeur vers l'équation
Le directeur donne a et b, puis le point donne c.
Trouver l'équation d'une droite Droite passant par A(1 ; 4) de vecteur normal \vec{n}(2\,;\,-3) : M(x ; y) est dessus ⟺ \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 ⟺ 2(x - 1) - 3(y - 4) = 0 ⟺ 2x - 3y + 10 = 0.
Avec un vecteur directeur, même jeu via la colinéarité de \overrightarrow{AM} et \vec{u}.
🎮 Entraîne-toi : directeur ou normal ?
Normal = (a ; b) les coefficients ; directeur = (−b ; a) le quart de tour.
🎮 Entraîne-toi : le point est-il sur la droite ?
Remplace x et y : l'équation doit tomber sur 0.

II. Le cercle en équation

Centre, rayon, équation Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r est l'ensemble des points M tels que ΩM = r, c'est-à-dire : {(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2}.
Attention aux signes : (x − 2)² + (y + 3)² = 25 a pour centre (2 ; −3) (le signe s'inverse !) et pour rayon \sqrt{25} = 5 (pas 25 !).
⭕ Le cercle, dans le repère
L'équation ne fait que traduire une phrase de géométrie : « la distance de M au centre Ω vaut toujours r ».
Cercle de centre \Omega(2\,;-1) et de rayon r=3 : \begin{aligned}\Omega M = r &\iff \Omega M^2 = r^2 \\ &\iff (x-2)^2+(y+1)^2 = 9 \end{aligned}
Les signes s'inversent parce que l'on écrit x-x_\Omega : avec y_\Omega=-1, on obtient y-(-1)=y+1.
De la forme développée au centre : la forme canonique Pour x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0 : on regroupe et on complète les carrés :
(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 3 = 0, soit (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16 : cercle de centre (3 ; −2), rayon 4.
⚠️ Si le membre de droite sort négatif, l'ensemble est VIDE : toute équation x² + y² + … = 0 n'est pas un cercle.
🎮 Entraîne-toi : lire centre et rayon
Les signes s'inversent pour le centre ; le rayon est la racine du membre de droite.
🎮 Entraîne-toi : le rayon
r² est à droite du signe égal : prends la racine.

III. Le projeté orthogonal

Le point le plus proche Le projeté orthogonal H d'un point A sur une droite d est le pied de la perpendiculaire à d passant par A : c'est le point de d le plus proche de A, et AH est la distance de A à la droite.
Calcul type : paramétrer H sur d (ou intersecter d avec la perpendiculaire passant par A, dirigée par le vecteur normal de d).
Exemple rédigé Distance de A(3 ; 1) à la droite d : x + y − 2 = 0.
La perpendiculaire à d passant par A suit le normal \vec{n}(1\,;\,1) : points (3 + t ; 1 + t). Sur d : (3 + t) + (1 + t) - 2 = 0 donne t = −1 : H(2 ; 0) et \begin{aligned}AH &= \sqrt{1 + 1} \\ &= \sqrt{2}\end{aligned}

IV. Les ensembles de points

Le cercle de diamètre [AB] L'ensemble des points M tels que {\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0} est le cercle de diamètre [AB].
Pourquoi : M voit [AB] sous un angle droit ⟺ M est sur ce cercle (le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle, version vectorielle). Son centre est le milieu de [AB], son rayon AB/2.
👆 ▶ À toi : A(−2 ; 0) et B(4 ; 0). Donne l'équation du cercle de diamètre [AB]. Vérifie
Centre = milieu (1 ; 0), rayon = AB/2 = 3 : (x - 1)^2 + y^2 = 9.

V. L'atelier : tout manipuler

Tout ce chapitre tient dans une seule phrase : un cercle, c'est l'ensemble des points situés à la même distance d'un centre. Impossible, donc, de comprendre l'équation d'un cercle sans savoir mesurer une distance dans le repère. C'est l'ordre suivi ici.
Les quatre ateliers se manipulent : attrape les points avec le doigt ou la souris, règle les boutons, et regarde les formules se réécrire toutes seules.

A. La distance AB et le milieu de [AB]

Les deux formules du repère Dans un repère orthonormé, pour A(xA ; yA) et B(xB ; yB) :
  • distance : AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} ;
  • milieu : I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right).
La formule de distance n'est rien d'autre que le théorème de Pythagore : on fabrique un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont l'écart horizontal et l'écart vertical, et [AB] en est l'hypoténuse. L'atelier ci-dessous dessine ce triangle.
Deux erreurs qui coûtent cher
  • Le repère doit être orthonormé. Sans angle droit ni même unité sur les deux axes, Pythagore ne s'applique pas et la formule est fausse.
  • Milieu = on additionne puis on divise par 2. Si tu soustrais, tu obtiens les coordonnées du vecteur AB, pas celles d'un point.
📏 Atelier : Pythagore caché dans la formule
Attrape A ou B et déplace-les : l'écart horizontal (bleu), l'écart vertical (vert) et l'hypoténuse [AB] suivent, et la formule se remplit avec les valeurs. Le milieu I reste toujours au centre du segment.
🎮 À toi de jouer : la distance AB
Les écarts d'abord, les carrés ensuite, la racine à la fin.
🎮 À toi de jouer : le milieu
On additionne, puis on divise par 2, coordonnée par coordonnée.

B. Le cercle, dans les deux sens

De la géométrie à l'équation, et retour M(x ; y) est sur le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r {\iff \Omega M=r \iff \Omega M^2=r^2}, et en remplaçant ΩM² par la formule de distance :
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
L'équation du cercle n'est donc que la formule de distance élevée au carré. Passer au carré n'est pas un détail : cela fait disparaître la racine, et c'est ce qui rend l'équation utilisable.
⭕ Atelier : le cercle commande l'équation, et l'équation commande le cercle
Sens 1, la figure commande : attrape le centre Ω pour déplacer le cercle, ou le point P pour changer le rayon.
Sens 2, l'équation commande : règle a, b et r avec les boutons, et regarde le cercle obéir.
a b r

C. Dedans, dessus, dehors

Une seule comparaison suffit Pour savoir où se trouve un point M par rapport au cercle de centre Ω et de rayon r, on compare ΩM et r :
  • \Omega M < r : M est à l'intérieur du disque ;
  • \Omega M = r : M est sur le cercle, ses coordonnées vérifient l'équation ;
  • \Omega M > r : M est à l'extérieur.
Le bon réflexe : comparer les CARRÉS, c'est-à-dire ΩM² et r². Comme les deux quantités sont positives, la comparaison est la même, et l'on évite toute racine, donc toute valeur approchée.
🎯 Atelier : où est le point M ?
Touche n'importe où dans le repère pour y poser M, ou fais-le glisser. Le calcul de ΩM² se refait à chaque déplacement, et la couleur de M donne le verdict.
r
🎮 À toi de jouer : dedans, dessus ou dehors ?
Calcule ΩM², compare à r². Aucune racine n'est nécessaire.

D. L'équation développée cache un cercle

Une équation en x² + y² n'est pas toujours un cercle Quand l'énoncé donne {x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0}, le centre et le rayon sont invisibles : il faut compléter les carrés pour retrouver la forme canonique. Trois issues sont possibles, et il faut les connaître toutes les trois :
  • membre de droite > 0 : c'est un cercle ;
  • membre de droite = 0 : l'ensemble se réduit à un seul point ;
  • membre de droite < 0 : l'ensemble est vide, car une somme de deux carrés n'est jamais négative.
🔎 Atelier : la complétion du carré, étape par étape
Clique sur « Étape suivante » pour dérouler la méthode ligne par ligne. Le cercle ne se dessine dans le repère qu'à la toute fin, quand le centre et le rayon sont enfin connus. Essaie aussi les deux cas pièges : l'ensemble vide et le point unique.
🎮 À toi de jouer : de la forme développée au centre
Moitié du coefficient de x, puis on inverse le signe.
👆 ▶ À toi : pourquoi {x^2+y^2-4x+6y+20=0} n'est-il l'équation d'aucun cercle ? Vérifie
On complète les deux carrés. x^2-4x=(x-2)^2-4 et {y^2+6y=(y+3)^2-9}. On remplace. (x-2)^2-4+(y+3)^2-9+20=0, donc (x-2)^2+(y+3)^2=-7. On conclut. Une somme de deux carrés est toujours positive ou nulle : elle ne peut pas valoir -7. Aucun point du plan ne convient, l'ensemble est vide. Le calcul du « rayon » \sqrt{-7} n'a évidemment aucun sens, et c'est précisément l'erreur à ne pas commettre.
📄 La fiche d'exercices du chapitre 🧮 M'entraîner en automatismes 🎯 Le QCM du chapitre