Fiche de cours Logimaths

Fiche de cours : Loi de Bernoulli

Épreuve de Bernoulli, espérance et variance (Terminale Technologique)

I. Épreuve de Bernoulli

Définition Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : « succès » (probabilité p) et « échec » (probabilité {1-p}).

II. Loi de Bernoulli

Définition La variable aléatoire X qui vaut 1 en cas de succès, 0 en cas d'échec, suit la loi de Bernoulli de paramètre p : \quad P(X=1)=p \qquad P(X=0)=1-p

III. Espérance et variance

Propriété E(X)=p \qquad V(X)=p(1-p) \qquad \sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}

IV. Répétition d'épreuves de Bernoulli

Remarque : Répéter n fois, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli de paramètre p et compter le nombre de succès définit la loi binomiale \mathcal B(n,p) (voir la fiche dédiée) : P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}, E(X)=np, V(X)=np(1-p).

V. Exemple

Exemple : On teste une pièce : « Pile » est le succès, p=0{,}5. X suit la loi de Bernoulli de paramètre 0{,}5 : E(X)=0{,}5, {V(X)=0{,}25}.

VI. Loi de Bernoulli et arbre

Méthode Une épreuve de Bernoulli se représente par un arbre à deux branches : succès (probabilité p) et échec (probabilité {1-p}).

Arbre pondéré d'une épreuve de Bernoulli : {P(X=1)=p} et P(X=0)=1-p.

VII. Application : contrôle qualité

Exemple : Une pièce produite est défectueuse avec probabilité p=0{,}02 : X=1 si défectueuse suit \mathcal B(0{,}02), E(X)=0{,}02.

VIII. Reconnaître une situation de Bernoulli

Méthode Une situation suit une loi de Bernoulli si elle ne comporte que deux issues possibles (succès/échec) pour une seule épreuve.

IX. Calcul détaillé de l'écart-type

Exemple : p=0{,}3 : \begin{aligned}V(X) &= 0{,}3\times0{,}7 \\ &= 0{,}21\end{aligned} \begin{aligned}\sigma(X) &= \sqrt{0{,}21} \\ &\approx 0{,}458\end{aligned}

X. Bernoulli et proportion

Remarque : Si p est la proportion d'un caractère dans une population, tirer un individu au hasard et observer s'il présente ce caractère est une épreuve de Bernoulli de paramètre p.

XI. Application : sondage

Exemple : Demander à une personne si elle soutient une mesure (oui/non) est une épreuve de Bernoulli, de paramètre p= proportion de « oui »\ dans la population.

XII. Distinguer Bernoulli et binomiale

Remarque : La loi de Bernoulli concerne une seule épreuve ; la loi binomiale concerne la répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre.

XIII. Variance maximale

Remarque : La variance p(1-p) est maximale pour p=0{,}5 (valeur 0{,}25) : c'est la situation la plus « incertaine ».