Fiche de cours : Nombre dérivé
Taux de variation, définition et lien avec la tangente
I. Rappel : coefficient directeur d'une droite
Pour deux points A(x_A\,;y_A) et B(x_B\,;y_B) d'une droite (AB) :
\begin{aligned}a &= \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\ &= \dfrac{f(\textcolor{#2E74C2}{x_B})-f(\textcolor{#2E74C2}{x_A})}{\textcolor{#2E74C2}{x_B}-\textcolor{#2E74C2}{x_A}}\end{aligned}
II. Taux de variation (taux d'accroissement)
Pour h \in \mathbb{R}^*, le taux de variation de f entre a et a+h est :
\begin{aligned}\tau(h) &= \dfrac{\textcolor{#E8A400}{f(a+h)-f(a)}}{\textcolor{#E0297B}{(a+h)-a}} \\ &= \dfrac{\textcolor{#E8A400}{f(a+h)-f(a)}}{\textcolor{#E0297B}{h}}\end{aligned}
On fait tendre h vers 0…
III. Nombre dérivé
Quand h se rapproche de 0, la sécante se rapproche de la tangente en a. Le nombre dérivé de f en a est la limite, quand h tend vers 0 (si elle existe), du taux de variation :
🖐️ Attrape le point a+h et amène-le sur a (tu peux même le dépasser) : regarde ce que devient l'équation au bout de la droite rose.
Autrement dit, f'(a) est à la fois le nombre dérivé de f en a et le coefficient directeur de la tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse a.
Si cette limite existe et est finie (un vrai nombre, pas +\infty ni -\infty), on dit que f est dérivable en a.
Une limite infinie ne suffit pas : la courbe de x \mapsto \sqrt{x} a en 0 un taux d'accroissement qui tend vers +\infty. La tangente y est verticale : \sqrt{x} n'est pas dérivable en 0.
Contre-exemple à connaître : la courbe de x \mapsto |x| forme un pic en 0. À gauche la pente vaut -1, à droite elle vaut 1 : aucune tangente ne peut s'y poser, la fonction n'est pas dérivable en 0.
IV. Équation de la tangente
Équation de la tangente T_a à \mathcal{C}_f au point d'abscisse x=a :
En développant, on retrouve l'équation réduite y=ax+b :
y = \underbrace{\textcolor{#E8A400}{f'(a)}}_{a}x + \underbrace{\textcolor{#E0297B}{-af'(a) + f(a)}}_{b}
où \textcolor{#E8A400}{f'(a)} est le coefficient directeur de la tangente à \mathcal{C}_f en x=a.
V. Interpréter un nombre dérivé
f'(3) représente le nombre dérivé de f en 3, c'est-à-dire en x=3.
f'(3) représente également le coefficient directeur de la tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse x=3.
VI. Lire f'(a) sur un graphique
Quand la tangente est déjà tracée, aucun calcul de limite : le nombre dérivé se lit sur le dessin.
- Repérer deux points à coordonnées lisibles de la tangente (pas de la courbe !).
- Calculer le coefficient directeur entre ces deux points.
Exemple (figure ci-dessous) : la tangente au point d'abscisse 3 passe pile par les carreaux (1\,;\,-2) et (5\,;\,4) :
\begin{aligned}f'(3) &= \dfrac{4-(-2)}{5-1} \\ &= \dfrac{6}{4} \\ &= \dfrac{3}{2}\end{aligned}
Tangente horizontale (au sommet d'une bosse ou au creux d'un vallon) : f'(a) = 0.
C'est le cas le plus demandé en lecture graphique : sur la courbe, cherche les points où la tangente est plate.
VII. Lire f(a) et f'(a) au même point : deux lectures différentes
Piège classique des contrôles : au même point, on peut te demander f(2) puis f'(2). Ce ne sont pas du tout les mêmes lectures.
- f(2) : on monte jusqu'à la courbe en x=2, puis on lit la hauteur sur l'axe des ordonnées : f(2) = 1.
- f'(2) : on suit la tangente en x=2 et on prend deux de ses points posés pile sur les carreaux : j'avance de 2, je monte de 4, donc \begin{aligned}f'(2) &= \dfrac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}
- f(5) : hauteur du sommet : f(5) = 4.
- f'(5) : au sommet, la tangente est horizontale : f'(5) = 0.
f(a) se lit sur la courbe (une hauteur). f'(a) se lit sur la pente de la tangente (une inclinaison). Même point, deux informations différentes.
VIII. Tangente parallèle à… : traduire en équation
Autre question très fréquente : « trouver toutes les abscisses des points où la tangente est parallèle à… ». La clé : deux droites parallèles ont le même coefficient directeur, et le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x, c'est justement f'(x).
- Tangente horizontale (ou parallèle à l'axe des abscisses : c'est exactement la même question) ➜ on résout f'(x) = 0, car l'axe des abscisses a pour coefficient directeur 0.
- Tangente parallèle à la droite {y = mx + p} (ou à une autre tangente donnée sur le graphe), de coefficient directeur m ➜ on résout f'(x) = m.
Les solutions de l'équation sont exactement les abscisses cherchées.
Sur la figure de la partie VI, la tangente en 3 a pour coefficient directeur \dfrac{3}{2}. Chercher les points où la tangente est parallèle à celle-ci, c'est résoudre f'(x) = \dfrac{3}{2}.
Et sur la courbe qui ondule, les six points à tangente horizontale sont exactement les solutions de f'(x) = 0.
« Déterminer les points de la courbe qui admettent une tangente horizontale (ou parallèle à telle droite, ou à telle autre tangente) ».
On commence exactement comme à la question précédente : on résout l'équation pour trouver les abscisses. Puis, pour chaque solution trouvée, on calcule son image par f pour obtenir l'ordonnée.
Exemple : si x = 1 est une solution, on calcule f(1). Le point cherché a pour coordonnées \big(1\,;\,f(1)\big) : on peut alors donner ses coordonnées complètes.
Sur la courbe qui ondule (partie VI), on cherche toutes les abscisses des points où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses. Quelle équation faut-il résoudre ?
Fais glisser le point sur la courbe : la tangente le suit. Repère les endroits où elle devient plate.
On donne la droite d : y = 3x - 1. On cherche les abscisses des points où la tangente à \mathcal{C}_f est parallèle à d. Quelle équation résout-on ?
Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. Fais glisser la tangente jaune jusqu'à ce qu'elle soit parallèle à la droite bleue.
Tu as résolu f'(x) = 0 et trouvé x = 1. L'énoncé demande le point de la courbe, pas seulement l'abscisse. Que fais-tu ensuite ?
L'abscisse te dit où tu es sur l'axe horizontal. Pour connaître le point, il faut monter jusqu'à la courbe : c'est f(1) qui donne l'ordonnée.
IX. Les quatre questions qui n'en font qu'une
Un même calcul se cache derrière quatre énoncés différents. Reconnais-les : on te demande exactement la même chose.
- Donner le nombre dérivé de f en 3.
- Calculer f'(3).
- Donner le coefficient directeur de la tangente à \mathcal{C}_f en x=3.
- Montrer que f est dérivable en 3 (ou : au point d'abscisse x=3).
On forme le taux d'accroissement, on simplifie par h, on fait tendre h vers 0 : si la limite obtenue est finie (un vrai nombre), alors f est dérivable en 3, et cette limite est f'(3).
La rédaction attendue se termine par : « cette limite est finie, donc f est dérivable en 3 et f'(3) = \dots »
X. La méthode déroulée en entier
Tout le chapitre tient dans cet enchaînement : calculer f(a+h), former le taux, simplifier par h, puis faire tendre h vers 0.
Soit f(x) = 3x^2 - 2x - 4. On cherche f'(1).
1. On calcule f(1) :
\begin{aligned}f(1) &= 3 \times 1^2 - 2 \times 1 - 4 \\ &= 3 - 2 - 4 \\ &= -3\end{aligned}
2. On calcule f(1+h), en développant sans se presser :
f(1+h) = 3(1+h)^2 - 2(1+h) - 4
f(1+h) = 3(1 + 2h + h^2) - 2 - 2h - 4
f(1+h) = 3 + 6h + 3h^2 - 2 - 2h - 4
f(1+h) = 3h^2 + 4h - 3
3. On forme le taux d'accroissement :
\begin{aligned}\tau(h) &= \dfrac{f(1+h) - f(1)}{h} \\ &= \dfrac{3h^2 + 4h - 3 - (-3)}{h} \\ &= \dfrac{3h^2 + 4h}{h}\end{aligned}
4. On factorise par h pour pouvoir simplifier : c'est l'étape qui débloque tout.
\begin{aligned}\tau(h) &= \dfrac{h(3h + 4)}{h} \\ &= 3h + 4\end{aligned}
5. On fait tendre h vers 0 :
\lim_{h \to 0} (3h + 4) = 4 \quad \text{donc} \quad f'(1) = 4
6. L'équation de la tangente s'en déduit :
T_1 : y = f'(1)(x - 1) + f(1)
y = 4(x - 1) - 3
y = 4x - 4 - 3
y = 4x - 7
Ne remplace jamais h par 0 avant d'avoir simplifié : tu obtiendrais \dfrac{0}{0}, qui ne veut rien dire.
La factorisation par h de l'étape 4 n'est pas une astuce : c'est elle qui rend la limite calculable.