Fiche de cours Logimaths

Fiche de cours : Primitives

Définition et primitives usuelles (Terminale Technologique)

I. Définition

Définition Une primitive de f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I telle que F'=f.

Théorème Si F est une primitive de f sur I, toutes les primitives de f sur I sont les fonctions x\mapsto F(x)+k, k\in\mathbb R.

II. Primitives usuelles

Propriété

f(x)	Une primitive F(x)
a (constante)	ax
x^n (n\in\mathbb N)	\dfrac{x^{n+1}}{n+1}
\dfrac1{x^2}	-\dfrac1x
\dfrac1{\sqrt x}	2\sqrt x

Exemple : Une primitive de f(x)=3x^2-4x+1 est F(x)=x^3-2x^2+x.

III. Primitive vérifiant une condition

Méthode Pour trouver l'unique primitive F de f telle que F(x_0)=y_0 : déterminer la primitive générale F(x)=G(x)+k (où G est une primitive particulière), puis calculer k grâce à la condition donnée.

Exemple : Primitive de f(x)=2x telle que F(1)=5 : F(x)=x^2+k, \begin{aligned}F(1) &= 1+k \\ &= 5 \\ &\Rightarrow k = 4\end{aligned} donc F(x)=x^2+4.

IV. Lien avec l'aire sous une courbe

Remarque : Le calcul de primitives sera réutilisé en Terminale pour calculer des intégrales et des aires sous une courbe (voir la fiche « Calcul intégral »).

V. Méthode

Méthode Pour trouver une primitive : reconnaître la forme de f dans le tableau des primitives usuelles, ou décomposer f en somme de termes plus simples avant d'appliquer le tableau terme à terme.

VI. Primitive d'une somme

Propriété Si F est primitive de f et G primitive de g, alors F+G est une primitive de {f+g}.

VII. Primitive de k\times f

Propriété Si F est une primitive de f, alors kF est une primitive de kf (pour k constante réelle).

VIII. Primitive de e^x

Propriété Une primitive de e^x est e^x lui-même ; plus généralement, une primitive de ke^x est ke^x.

IX. Primitive et variations

Propriété Si f\geqslant0 sur I, toute primitive F de f est croissante sur I, car \begin{aligned}F' &= f \\ &\geqslant 0\end{aligned}

Si f\geqslant0 sur I, la courbe de la primitive F « monte » : plus x augmente, plus F(x) augmente.

X. Trouver une primitive par identification

Méthode Pour trouver une primitive de {f(x)=6x^2+2}, chercher F(x)=ax^3+bx+c telle que \begin{aligned}F'(x) &= 3ax^2+b \\ &= 6x^2+2\end{aligned} donc a=2, b=2.

XI. Primitive et cinématique

Remarque : Si v(t) est la vitesse, une primitive de v donne la position x(t) (à une constante près, fixée par la position initiale).

XII. Erreurs classiques

Remarque : Chercher une primitive n'est pas dériver : ne pas confondre F'=f (primitive) avec f' (dérivée) ; vérifier systématiquement en dérivant F pour retrouver f.

XIII. Application : calcul complet

Exemple : Primitive de f(x)=4x^3-6x+5 vérifiant F(0)=2 : {F(x)=x^4-3x^2+5x+k}, \begin{aligned}F(0) &= k \\ &= 2\end{aligned} donc F(x)=x^4-3x^2+5x+2.