Fiche de cours Logimaths | 1ère spécialité
Fiche de cours : Probabilités conditionnelles et indépendance
Sachant que… : les arbres pondérés, les probabilités totales et l'indépendance
I. La probabilité conditionnelle
P_A(B) : la probabilité de B « sachant A »
Pour P(A) ≠ 0 : P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}.
C'est la probabilité de B quand on SAIT que A s'est produit : on restreint l'univers à A, et on regarde la part de B dedans.
Exemple concret : dans une classe, « probabilité d'être demi-pensionnaire sachant qu'on est en seconde » = part des demi-pensionnaires PARMI les secondes (et non parmi tout le lycée).
C'est la probabilité de B quand on SAIT que A s'est produit : on restreint l'univers à A, et on regarde la part de B dedans.
Exemple concret : dans une classe, « probabilité d'être demi-pensionnaire sachant qu'on est en seconde » = part des demi-pensionnaires PARMI les secondes (et non parmi tout le lycée).
⚠️ PB(A) et PA(B) : attention à ne pas confondre les deux probabilités !
P_{\text{Positif}}(\text{Malade}) \neq P_{\text{Malade}}(\text{Positif})À gauche on ne regarde que les testés positifs ; à droite, que les malades. Deux univers, donc deux nombres.
🎮 Entraîne-toi : construis la fraction
D'abord on désigne le nouvel univers, ensuite on construit la fraction.
numérateur
dénominateur
🎮 Entraîne-toi : la même fraction, en l'écrivant
Cette fois tu écris les deux effectifs toi-même.
🎮 Entraîne-toi : calculer PA(B)
Le dénominateur est l'effectif du groupe donné par le « sachant », pas le total.
II. Les arbres pondérés
Les trois règles de l'arbre
- sur les branches partant d'un même nœud, les probabilités somment à 1 ;
- la probabilité d'un chemin = produit des probabilités de ses branches (c'est P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)) ;
- la probabilité d'un événement = somme des chemins qui y mènent.
On MULTIPLIE les branches d'un même chemin.On ADDITIONNE les chemins entre eux.
👆 Appuie sur une probabilité de l'arbre (ou sur un résultat de chemin, à droite) : la fiche te dit ce que ce nombre est vraiment.
🎮 Entraîne-toi : la règle du produit
P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B) : on multiplie le long du chemin.
III. La formule des probabilités totales
Additionner les chemins
Si A et \bar{A} partagent l'univers : \begin{aligned}P(B) &= P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) \\ &= P(A)\,P_A(B) + P(\bar{A})\,P_{\bar{A}}(B)\end{aligned}
Sur l'arbre : on additionne TOUS les chemins qui aboutissent à B. C'est l'outil pour « quelle est la probabilité qu'un client soit satisfait » quand les clients viennent de plusieurs magasins.
Sur l'arbre : on additionne TOUS les chemins qui aboutissent à B. C'est l'outil pour « quelle est la probabilité qu'un client soit satisfait » quand les clients viennent de plusieurs magasins.
Exemple rédigé
Une usine a deux machines : M₁ produit 60 % des pièces (2 % de défauts), M₂ produit 40 % (5 % de défauts). Probabilité qu'une pièce soit défectueuse :
\begin{aligned}P(D) &= 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05 \\ &= 0{,}012 + 0{,}02 \\ &= 0{,}032\end{aligned}
Et « sachant défectueuse, vient-elle de M₂ ? » : \begin{aligned}P_D(M_2) &= \dfrac{0{,}02}{0{,}032} \\ &= 0{,}625\end{aligned} On remonte l'arbre.
\begin{aligned}P(D) &= 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05 \\ &= 0{,}012 + 0{,}02 \\ &= 0{,}032\end{aligned}
Et « sachant défectueuse, vient-elle de M₂ ? » : \begin{aligned}P_D(M_2) &= \dfrac{0{,}02}{0{,}032} \\ &= 0{,}625\end{aligned} On remonte l'arbre.
On MULTIPLIE les branches d'un même chemin.On ADDITIONNE les chemins entre eux.
🎮 Entraîne-toi : les probabilités totales
Deux chemins mènent à B : calcule chaque produit, puis additionne.
IV. L'indépendance
Événements indépendants
A et B sont indépendants quand savoir que l'un s'est produit ne change RIEN aux chances de l'autre. Deux façons de le montrer : elles disent la même chose, on prend celle dont l'énoncé donne les nombres.Laquelle choisir ? Celle dont un exercice t'a déjà fait calculer les nombres : les questions précédentes donnent presque toujours l'une des deux listes, et c'est elle qui décide.
Exemple à retenir pour comprendre la notion d'indépendance.
I = « je suis intelligent », L = « je porte des lunettes ».
Si la probabilité d'être intelligent sachant qu'on porte des lunettes est la même que la probabilité d'être intelligent tout court, alors :P_L(I) = P(I)Autrement dit : qu'on porte des lunettes ou non, on a la même intelligence.
Porter des lunettes n'apprend rien sur l'intelligence : I et L sont indépendants.
Le contre-exemple, dans la même forme.
S = « je fais du sport », B = « je suis blessé ».P_B(S) \neq P(S)Parmi les blessés, il y a beaucoup plus de sportifs que dans la population entière. Savoir qu'on est blessé change la probabilité de faire du sport : S et B ne sont pas indépendants.
1
Le « sachant » ne change rien
P_A(B) = P(B)On compare la probabilité sachant A à la probabilité tout court.
On l'utilise quand les questions précédentes ont fait calculer une probabilité « sachant ».
On l'utilise quand les questions précédentes ont fait calculer une probabilité « sachant ».
2
Le produit tombe juste
P(A \cap B) = P(A) \times P(B)On multiplie les deux probabilités simples et on compare au résultat.
On l'utilise quand les questions précédentes ont fait calculer P(A ∩ B) et les deux probabilités simples.
On l'utilise quand les questions précédentes ont fait calculer P(A ∩ B) et les deux probabilités simples.
Exemple à retenir pour comprendre la notion d'indépendance.
I = « je suis intelligent », L = « je porte des lunettes ».
Si la probabilité d'être intelligent sachant qu'on porte des lunettes est la même que la probabilité d'être intelligent tout court, alors :P_L(I) = P(I)Autrement dit : qu'on porte des lunettes ou non, on a la même intelligence.
Porter des lunettes n'apprend rien sur l'intelligence : I et L sont indépendants.
Le contre-exemple, dans la même forme.
S = « je fais du sport », B = « je suis blessé ».P_B(S) \neq P(S)Parmi les blessés, il y a beaucoup plus de sportifs que dans la population entière. Savoir qu'on est blessé change la probabilité de faire du sport : S et B ne sont pas indépendants.
⚠️ Indépendants ≠ incompatibles
Incompatibles : A ∩ B = ∅ (ne peuvent pas arriver ensemble) : alors P(A ∩ B) = 0. Indépendants : P(A ∩ B) = P(A)P(B). Deux événements de probabilités non nulles incompatibles ne sont JAMAIS indépendants : savoir que A est arrivé interdit B, c'est une information maximale !
👆 ▶ À toi : P(A) = 0,5 ; P(B) = 0,4 ; P(A ∩ B) = 0,2. A et B sont-ils indépendants ? Vérifie
\begin{aligned}P(A) \times P(B) &= 0{,}5 \times 0{,}4 \\ &= 0{,}2 \\ &= P(A \cap B)\end{aligned} Oui, indépendants, et on vérifie : \begin{aligned}P_A(B) &= 0{,}2/0{,}5 \\ &= 0{,}4 \\ &= P(B)\end{aligned}
Sujet type 1
On t'a fait calculer les trois probabilités
- Calculer P(A).
- Calculer P(B).
- Calculer P(A ∩ B).
- Les événements A et B sont-ils indépendants ?
Tu as les trois nombres : c'est le produit qu'on vérifie.
\begin{aligned}P(A) \times P(B) &= 0{,}5 \times 0{,}4 \\ &= 0{,}2 \\ &= P(A \cap B)\end{aligned}
Donc A et B sont indépendants.
Sujet type 2
On t'a fait calculer une probabilité « sachant »
- Calculer P(A).
- Calculer PB(A), la probabilité de A sachant B.
- Les événements A et B sont-ils indépendants ?
Tu as une probabilité « sachant » : c'est elle qu'on compare à P(A).
\begin{aligned}P_B(A) &= 0{,}3 \\ P(A) &= 0{,}3 \\ \text{donc } P_B(A) &= P(A)\end{aligned}
Donc A et B sont indépendants.
🎮 Entraîne-toi : quelle formule, et alors ?
D'abord la formule que les données permettent, ensuite la conclusion.