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Fiche de cours Logimaths

Second degré

Forme canonique, discriminant, racines et signe du trinôme : Niveau 1ère Générale.

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I. Discriminant et racines

Définition Le discriminant de ax^2+bx+c est \Delta = b^2-4ac.
Théorème
  • \Delta > 0 : deux racines distinctes \quad x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a} \quad et {\quad x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}} ;
  • \Delta = 0 : une racine double {\quad x_0=\dfrac{-b}{2a}} ;
  • \Delta < 0 : aucune racine réelle.
Exemple : 2x^2-3x-2=0 : \Delta = 9+16=25>0, racines \begin{aligned}x_1 &= \dfrac{3-5}{4} \\ &= -\dfrac12\end{aligned} et \begin{aligned}x_2 &= \dfrac{3+5}{4} \\ &= 2\end{aligned}

II. Factorisation et somme/produit des racines

Théorème Si \Delta \geqslant 0 avec racines x_1,x_2 (éventuellement égales) : {\quad ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)}
Propriété x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} \qquad x_1x_2 = \dfrac{c}{a}

III. Signe du trinôme

Théorème
  • Si \Delta<0 : f(x) a toujours le signe de a ;
  • Si \Delta=0 : f(x) a le signe de a, sauf en x_0 où f(x_0)=0 ;
  • Si \Delta>0 : f(x) a le signe de a à l'extérieur des racines, et le signe de -a (donc opposé) entre les racines.
Méthode Retenir : « signe de a à l'extérieur, signe contraire entre les racines » (règle valable uniquement si \Delta>0).

IV. Résoudre une équation ou inéquation du second degré

Méthode
  1. Calculer \Delta ;
  2. pour une équation : appliquer les formules des racines selon le signe de \Delta ;
  3. pour une inéquation : dresser le tableau de signe de f (à l'aide du signe de a et des racines), puis lire les intervalles solutions.

V. Tableau de variations du trinôme

Propriété Si a>0 : f décroît sur ]-\infty\,;\alpha] puis croît sur [\alpha\,;+\infty[, minimum \beta en \alpha. Si a<0 : variations inversées, maximum \beta en \alpha.

VI. Trouver un trinôme connaissant ses racines

Méthode Si x_1,x_2 sont les racines et a le coefficient dominant : {f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)}.
Exemple : Trinôme de racines 2 et -3, coefficient dominant 1 : \begin{aligned}f(x) &= (x-2)(x+3) \\ &= x^2+x-6\end{aligned}

VII. Résolution graphique

Méthode Résoudre ax^2+bx+c=mx+p revient à trouver les abscisses des points d'intersection de la parabole et de la droite.

VIII. Équation bicarrée

Méthode Pour résoudre ax^4+bx^2+c=0, poser X=x^2 (X\geqslant0), résoudre l'équation du second degré en X, puis revenir à {x=\pm\sqrt X}.
Exemple : x^4-5x^2+4=0 : \begin{aligned}X^2-5X+4 &= 0 \\ &\Rightarrow X = 1\end{aligned} ou X=4 \Rightarrow x\in\{-2,-1,1,2\}.

IX. Forme canonique

Théorème Tout trinôme f(x) = ax^2+bx+c (a\neq0) s'écrit sous forme canonique :
f(x) = a(x-\alpha)^2+\beta \qquad avec \qquad \alpha = -\dfrac{b}{2a} \qquad \beta = f(\alpha)
Propriété La courbe de f est une parabole de sommet S(\alpha\,;\beta), tournée vers le haut si a>0, vers le bas si a<0.
x y S(α ; β) α β a > 0 x y S(α ; β) α β a < 0
Position du sommet S(\alpha\,;\beta) et orientation de la parabole selon le signe de a.

X. Inéquation du second degré (cas \Delta\leqslant0)

Méthode Si \Delta<0, f(x) garde le signe de a pour tout x : l'inéquation f(x)>0 (ou <0) a pour solution \mathbb R ou \emptyset selon le signe de a.

XI. Application : optimiser une aire

Exemple : Un rectangle a un périmètre fixé 20 ; son aire \begin{aligned}A(x) &= x(10-x) \\ &= -x^2+10x\end{aligned} est maximale au sommet de la parabole, en x=5.

XII. Position d'une parabole par rapport à une droite

Méthode Étudier le signe de f(x)-(mx+p) (une expression du second degré) pour savoir où la parabole est au-dessus ou en dessous de la droite.

XIII. Discuter selon un paramètre

Exemple : x^2-2x+m=0 : \Delta=4-4m. Deux solutions si m<1, une solution double si m=1, aucune solution réelle si m>1.