Ordre des priorités : parenthèses, puis puissances, puis multiplications/divisions, puis additions/soustractions (de gauche à droite en cas d'égalité de niveau).
Simple distributivité : k se distribue sur a puis sur b.
Double distributivité : chaque terme de (a+b) (en rose pour a, bleu pour b) se distribue sur chaque terme de la 2ème parenthèse (c+d).
Exemple :
3(2x-5) = 6x-15
(x+2)(x-3)
= x^2-3x+2x-6
= x^2-x-6
Pourquoi ça marche : la distributivité, c'est une aire
Un produit de deux longueurs, c'est l'aire d'un rectangle. Découper le rectangle en morceaux ne change pas son aire : c'est exactement ce que dit la distributivité.
Mission :
Attrape la poignée blanche du haut pour déplacer la coupure,
la poignée bleue de droite pour allonger le rectangle, la poignée rose
de gauche pour le monter. L'aire totale se compte d'un seul coup ou morceau par morceau : c'est la même.
Ce qu'il faut retenir de la figure
L'aire du grand rectangle se compte de deux façons : k\times(a+b) d'un seul coup,
ou k\times a + k\times b morceau par morceau. Comme c'est la même aire, les deux écritures sont égales.
C'est aussi pour cela que k doit multiplier chaque terme : chaque morceau a la même hauteur k.
🎮 À toi de jouer : distributivité simple
Développe, puis donne les deux morceaux.
coefficient de x :terme constant :
La double distributivité : le rectangle coupé en quatre
Deux coupures, l'une verticale, l'autre horizontale : quatre morceaux, donc quatre produits. Il n'y a rien à retenir de plus, et surtout aucune flèche à dessiner de mémoire : il suffit de ne pas oublier de morceau.
Les deux poignées blanches déplacent les coupures,
les poignées bleue et orange changent la taille du rectangle.
Quatre morceaux : {(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd}.
La bonne question à se poser
« Ai-je bien quatre produits ? » Un produit oublié, c'est un morceau de rectangle oublié.
Et quand un terme est négatif, la figure ne se dessine plus (une longueur ne peut pas être négative) : on garde alors la règle,
{(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd}, en appliquant la règle des signes à chacun des quatre produits.
Un carré de côté a+b se découpe en quatre morceaux : un carré a^2, un carré b^2… et deux rectangles ab. Ce sont ces deux-là qu'on oublie, et c'est exactement le 2ab de la formule.
La poignée blanche déplace la coupure (elle bouge en même temps
horizontalement et verticalement, car c'est un carré) ; la poignée rose change le côté total.
Et pour (a-b)^2 ?
Même découpage, mais on part du carré de côté a et on enlève deux bandes de largeur b :
en les enlevant toutes les deux, on a retiré deux fois le petit carré du coin, alors qu'il n'y en a qu'un.
On le remet donc une fois : {(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2}.
Le signe change devant le double produit, jamais devant b^2 (une aire ne peut pas être négative).
a^2-b^2 : on découpe, on recolle
On part d'un carré de côté a auquel on retire un carré de côté b. La forme obtenue se coupe en deux morceaux qui se recollent en un rectangle : c'est lui qui donne (a-b)(a+b).
La poignée rose règle a, la poignée bleue règle b.
L'aire ne change ni au découpage, ni au recollement : a^2-b^2=(a-b)(a+b).
🎮 À toi de jouer : identités remarquables
N'oublie pas le double produit !
coefficient de x2 :de x :constant :
IV. Réduire une expression littérale
Méthode
Pour réduire une expression : développer si nécessaire, puis regrouper les termes de même nature (même variable et même exposant) en additionnant leurs coefficients.
Exemple :
3x+5x^2-2x+7x^2
= (5+7)x^2+(3-2)x
= 12x^2+x
Une couleur par famille : on voit ce qui se regroupe
Deux termes ne se regroupent que s'ils ont exactement la même partie littérale. x^2 et x ne sont pas de la même famille : on ne peut pas les additionner, pas plus qu'on n'additionne des mètres carrés et des mètres.
Rose = termes en x^2,
bleu = termes en x,
orange = nombres seuls. On n'additionne que des jetons de la même couleur.
🎮 À toi de jouer : réduire
Regroupe famille par famille.
coefficient de x2 :de x :constant :
V. Réduire une expression à plusieurs variables
Méthode
Pour réduire une expression à plusieurs variables, regrouper séparément les termes de même nature pour chaque variable (et chaque combinaison de variables).
Exemple :
3x+2y-x+5y-4
= (3-1)x+(2+5)y-4
= 2x+7y-4.
VI. Un entier pair, un entier impair
Définition
Un entier n est pair s'il s'écrit n=2k avec k entier ; il est impair s'il s'écrit n=2k+1 avec k entier.
Exemple :
Prouver que la somme de deux entiers consécutifs est impaire : {n+(n+1) = 2n+1}, qui est bien de la forme 2k+1 (impair).
Prouver que la somme de deux entiers pairs est paire : {2k+2p = 2(k+p)}, qui est bien de la forme 2k' (pair).
VII. Prouver une inégalité par le calcul littéral
Astuce
Pour prouver A \geqslant B, il suffit de montrer que A-B \geqslant 0, souvent en écrivant A-B comme une somme de carrés ou un carré parfait.
Exemple : Pour tout x, x^2+1 \geqslant 2x car \begin{aligned}x^2+1-2x &= (x-1)^2 \\ &\geqslant 0\end{aligned} car un carré est toujours positif ou nul.
VIII. Montrer que A = B
Définition
Deux expressions littérales sont équivalentes si elles donnent toujours le même résultat, quelle que soit la valeur choisie pour x.
Méthode
Pour montrer que A=B, on peut partir soit de A, soit de B : il faut simplement arriver à l'autre expression à la fin, en développant et en réduisant.
Exemple :2(x+3)-x et x+6 sont équivalentes :
2(x+3)-x
= 2x+6-x
= x+6.
La règle du jeu, et elle n'est pas symétrique
Pour réfuter une égalité, une seule valeur qui ne marche pas suffit : c'est un contre-exemple, et c'est définitif.
Pour prouver une égalité, aucune liste de valeurs ne suffira jamais : il faut développer et réduire pour toutes les valeurs à la fois.
Tester une égalité : choisis x, compare les deux membres
Membre de gauche
Membre de droite
Déplace le point sur l'axe pour changer la valeur de x testée, et compare les deux colonnes.
IX. Erreurs classiques à éviter
Remarque : -(a+b) = -a-b (et non -a+b) ; -(a-b) = -a+b (le signe moins retourne tout ce qui suit, y compris le moins) ; (a+b)^2 \neq a^2+b^2 en général (attention, ça n'est pas vrai tout le temps).
Le piège des signes : le moins retourne tout
Un signe - devant une parenthèse, c'est un -1 qui se distribue : il multiplie chaque terme, donc il retourne chaque signe. Le premier terme n'a rien de spécial : l'erreur est justement de ne retourner que lui.
Chaque jeton bascule : tous les signes changent, pas seulement le premier.
🎮 À toi de jouer : le moins devant la parenthèse
Choisis la bonne écriture, sans parenthèse.
X. Calcul littéral : périmètre et aire
Rectangle de longueur x+3 et de largeur x-1.
Exemple : Un rectangle de longueur x+3 et de largeur x-1 a pour :
Périmètre :
P(x)
=2(x+3+x-1)
= 4x+4
Aire :
A(x)
=(x+3)(x-1)
= x^2+2x-3
Un 2ème exemple
Rectangle de longueur 2x+1 et de largeur x.
Un rectangle de longueur 2x+1 et de largeur x a pour :
Périmètre :
P(x)
=2(2x+1+x)
= 6x+2
Aire :
A(x)
=x(2x+1)
= 2x^2+x
XI. Méthodes de fin de chapitre à retenir
Méthode
Face à une expression littérale, se poser les questions dans l'ordre :
Si on te demande de développer, il ne doit plus rester aucune parenthèse à la fin : pense à la distributivité et aux identités remarquables.
Si on te demande de factoriser, vérifie s'il y a un facteur commun (un nombre ou une variable), une parenthèse en commun, ou une identité remarquable à reconnaître.
Si on te demande de réduire, regroupe les termes de même nature : tous les termes en x^2, tous les termes en x, et le reste (les termes sans x).
Dans une fraction, dès qu'il y a du x au dénominateur, il faut préciser l'ensemble de définition de x.
XII. Pour aller plus loin...
Remarque : notions complémentaires, presque hors programme de 2nde.
Développer un produit de trois facteurs
Méthode
Pour développer (a+b)(c+d)(e+f), développer d'abord deux facteurs entre eux, puis développer le résultat avec le troisième facteur.
Exemple :
(x+1)(x-1)(x+2)
= (x^2-1)(x+2)
= x^3+2x^2-x-2
Identité remarquable à trois termes
Méthode
Pour développer (a+b+c)^2, traiter la somme comme \big((a+b)+c\big)^2 et appliquer l'identité {(u+v)^2=u^2+2uv+v^2} avec u=a+b et v=c.
