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Fiche compétences Logimaths

Factoriser une expression

Les 5 cas de factorisation par facteur commun, plus les identités remarquables, en 6 étapes progressives, avec le facteur commun en couleur du départ jusqu'au résultat : Niveau 2nde.

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Factoriser, c'est transformer une somme (ou une différence) de termes en un produit. Toute la difficulté est de repérer ce qui est commun à tous les termes : un nombre, une variable, ou même une parenthèse entière. Cette fiche découpe cette compétence en 6 étapes progressives : en les maîtrisant toutes, tu sais factoriser n'importe quelle expression rencontrée en contrôle ou en DST.

Un parcours en 6 étapes, du plus simple au plus costaud :

  1. 1 Je sais factoriser quand tous les termes ont un facteur numérique commun.
  2. 2 Je sais factoriser quand tous les termes ont une variable commune.
  3. 3 Je sais combiner un facteur numérique et une variable communs.
  4. 4 Je sais factoriser quand la parenthèse commune est déjà écrite.
  5. 5 Je sais faire apparaître la parenthèse commune quand elle est cachée.
  6. 6 Je sais reconnaître et utiliser les identités remarquables pour factoriser.

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Rappels indispensables

Factoriser, c'est l'inverse de développer : on part d'une somme \co{k}\rr{a} + \co{k}\rr{b} et on l'écrit comme un produit \co{k}\left(\rr{a}+\rr{b}\right).

Le réflexe à avoir devant chaque expression : « qu'est-ce qui est commun à tous les termes de la somme ? » : un nombre, une lettre, une puissance de lettre, ou parfois une parenthèse entière.

Le code couleur de la fiche

Dans toute la fiche, le facteur commun garde la même couleur du départ jusqu'au résultat : c'est lui qu'on voit sortir de la somme. Ce qui reste une fois le facteur commun retiré porte l'autre couleur, et c'est lui qui se retrouve entre parenthèses.

le facteur commun, celui qui sort ce qui reste, dans la parenthèse A et B, les deux morceaux d'une identité remarquable
\co{k}\rr{a} + \co{k}\rr{b} =\co{k}\left(\rr{a} + \rr{b}\right) Les étapes sont toujours écrites les unes sous les autres, avec les signes = alignés : c'est exactement ce qu'on attend de toi sur une copie.

Étape 1 : Facteur numérique commun

On repère un nombre qui divise chacun des coefficients de la somme. On le met en facteur devant une parenthèse contenant ce qu'il reste une fois ce nombre retiré de chaque terme.

Exemple

\co{5}x - \co{5} =\co{5} \times \rr{x} - \co{5} \times \rr{1} =\co{5}\left(\rr{x} - \rr{1}\right) Le \co{5} est présent dans les deux termes, il sort. Dans la parenthèse il reste \rr{x} et \rr{1}, surtout pas 0 : 5 = 5 \times 1.

👆 À toi de jouer

  1. Factoriser -3x - 6.
    Voir la réponse
    Le nombre \co{-3} divise -3 et -6 :
    -3x - 6 =\co{(-3)} \times \rr{x} + \co{(-3)} \times \rr{2} =\co{-3}\left(\rr{x} + \rr{2}\right) Quand le facteur commun est négatif, tous les signes de la parenthèse changent : -6 = (-3) \times (+2).
🎮 Entraîne-toi : sortir le bon nombre
Une nouvelle expression à chaque clic, avec le corrigé aligné et colorié.

Étape 2 : Variable commune

On repère une puissance de la variable (x, y, t…) présente dans tous les termes : on la met en facteur, avec le plus petit exposant qui apparaît dans la somme.

Exemple

5\co{x}^2 - 3\co{x} =\rr{5x} \times \co{x} - \rr{3} \times \co{x} =\co{x}\left(\rr{5x} - \rr{3}\right) Le \co{x} est colorié dans les deux termes de départ : x^2, c'est x \times x, donc il y a bien un \co{x} à prendre dans chacun.

👆 À toi de jouer

  1. Factoriser 3x^2 + 5x.
    Voir la réponse
    La variable \co{x} est commune, avec le plus petit exposant 1 :
    3\co{x}^2 + 5\co{x} =\rr{3x} \times \co{x} + \rr{5} \times \co{x} =\co{x}\left(\rr{3x} + \rr{5}\right)
🎮 Entraîne-toi : sortir la bonne puissance de x
Le piège classique : sortir x² alors que le deuxième terme n'a qu'un seul x.

Étape 3 : Nombre ET variable communs

Quand un nombre et une variable sont tous les deux communs à tous les termes, on combine les deux méthodes précédentes : on factorise par leur produit en une seule fois.

Exemple

-10x^2 - 5x =\co{(-5x)} \times \rr{2x} + \co{(-5x)} \times \rr{1} =\co{-5x}\left(\rr{2x} + \rr{1}\right) Le \rr{1} ne disparaît jamais : -5x = (-5x) \times 1. C'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre.

👆 À toi de jouer

  1. Factoriser 6x^2 - 9x.
    Voir la réponse
    Le plus grand nombre qui divise 6 et 9 est 3, et x est commun : le facteur commun est donc \co{3x}.
    6x^2 - 9x =\co{3x} \times \rr{2x} - \co{3x} \times \rr{3} =\co{3x}\left(\rr{2x} - \rr{3}\right)
🎮 Entraîne-toi : compléter la factorisation
Remplis les trois trous. Un trou peut contenir un nombre négatif : sers-toi du bouton ±.
x ( x + )

Étape 4 : La parenthèse commune est déjà écrite

Quand la même parenthèse apparaît dans chacun des termes de la somme, on la met en facteur exactement comme à l'étape 1 : sauf qu'ici le facteur commun est une parenthèse entière au lieu d'un simple nombre.

Exemple

\co{(2x-1)}\rr{(3x+2)} + \co{(2x-1)} =\co{(2x-1)} \times \rr{(3x+2)} + \co{(2x-1)} \times \rr{1} =\co{(2x-1)}\big[\rr{(3x+2) + 1}\big] =\co{(2x-1)}\rr{(3x+3)} On peut même continuer, puisque {3x+3 = 3(x+1)} : =3\co{(2x-1)}\rr{(x+1)}

👆 À toi de jouer

  1. Factoriser (x-1)^2(5x+2) + 3(x-1).
    Voir la réponse
    La parenthèse \co{(x-1)} est commune aux deux termes : dans le premier elle est là deux fois, on n'en prend qu'une.
    (x-1)^2(5x+2) + 3(x-1) =\co{(x-1)} \times \rr{(x-1)(5x+2)} + \co{(x-1)} \times \rr{3} =\co{(x-1)}\big[\rr{(x-1)(5x+2) + 3}\big] =\co{(x-1)}\rr{(5x^2 - 3x - 2 + 3)} =\co{(x-1)}\rr{(5x^2 - 3x + 1)}
🎮 Entraîne-toi : la parenthèse en facteur
Surveille le 1 caché : quand un terme est la parenthèse toute seule, il vaut la parenthèse × 1.

Étape 5 : Faire apparaître la parenthèse commune

Parfois la parenthèse commune n'est pas encore visible : il faut d'abord réécrire un terme pour la faire apparaître. Le repère à chercher : deux expressions opposées (l'une est l'opposée de l'autre, comme -5x+2 et 5x-2) ou proportionnelles (l'une est un multiple de l'autre, comme 8x-4 et 2x-1).

Exemple

3\co{(5x-2)}\rr{(3x-1)} - 5x + 2 On remarque que -5x+2 = -(5x-2), ce qui fait apparaître la parenthèse \co{(5x-2)} dans le second terme aussi : =3\co{(5x-2)}\rr{(3x-1)} - \co{(5x-2)} =\co{(5x-2)}\big[\rr{3(3x-1) - 1}\big] =\co{(5x-2)}\rr{(9x - 3 - 1)} =\co{(5x-2)}\rr{(9x-4)}

👆 À toi de jouer

  1. Factoriser (3x^2-1)(8x-4) + (2x-3)(-12x+6) (indice : {8x-4=4(2x-1)} et -12x+6=-6(2x-1)).
    Voir la réponse
    On réécrit chaque parenthèse pour faire apparaître \co{(2x-1)} :
    (3x^2-1)(8x-4) + (2x-3)(-12x+6) =4(3x^2-1)\co{(2x-1)} - 6(2x-3)\co{(2x-1)} =\co{(2x-1)}\big[\rr{4(3x^2-1) - 6(2x-3)}\big] =\co{(2x-1)}\rr{(12x^2 - 4 - 12x + 18)} =\co{(2x-1)}\rr{(12x^2 - 12x + 14)} =2\co{(2x-1)}\rr{(6x^2 - 6x + 7)} Le 2 se met en facteur à la fin : les trois coefficients 12, 12 et 14 sont tous pairs.
🎮 Entraîne-toi : la parenthèse cachée
Le morceau de droite est écrit développé : c'est l'opposé ou un multiple de la parenthèse de gauche.

Étape 6 : Les identités remarquables

Trois identités remarquables sont à connaître par cœur :

(\ia{a}+\ib{b})^2 = \ia{a}^2 + 2\ia{a}\ib{b} + \ib{b}^2
(\ia{a}-\ib{b})^2 = \ia{a}^2 - 2\ia{a}\ib{b} + \ib{b}^2
(\ia{a}+\ib{b})(\ia{a}-\ib{b}) = \ia{a}^2 - \ib{b}^2

Pour factoriser, on les lit de droite à gauche : on part de la forme développée et on remonte au produit.

6a. La différence de deux carrés

Dès qu'une expression se présente comme une différence de deux carrés, on peut la factoriser directement :

\ia{A}^2 - \ib{B}^2 =(\ia{A}+\ib{B})(\ia{A}-\ib{B})

Repérer les carrés est la moitié du travail : un nombre est un carré s'il est le carré d'un entier (1, 4, 9, 16, 25\ldots), et une expression comme (4x-1) est elle aussi un carré parfait dans (4x-1)^2.

👆 À toi de jouer : difficulté progressive

  1. Factoriser x^2 - 1^2.
    Voir la réponse
    \ia{x}^2 - \ib{1}^2 =(\ia{x} + \ib{1})(\ia{x} - \ib{1}) Ici \ia{A} = \ia{x} et \ib{B} = \ib{1}.
  2. Factoriser x^2 - 9.
    Voir la réponse
    On repère d'abord que 9 = 3^2 :
    x^2 - 9 =\ia{x}^2 - \ib{3}^2 =(\ia{x} + \ib{3})(\ia{x} - \ib{3})
  3. Factoriser (2x)^2 - 1^2.
    Voir la réponse
    \ia{(2x)}^2 - \ib{1}^2 =(\ia{2x} + \ib{1})(\ia{2x} - \ib{1}) Le \ia{A} n'est plus un simple x : c'est \ia{2x} tout entier.
  4. Factoriser (4x)^2 - 1^2.
    Voir la réponse
    \ia{(4x)}^2 - \ib{1}^2 =(\ia{4x} + \ib{1})(\ia{4x} - \ib{1})
  5. Factoriser (4x-1)^2 - 1^2.
    Voir la réponse
    Ici \ia{A} = \ia{4x-1} et \ib{B} = \ib{1} :
    \ia{(4x-1)}^2 - \ib{1}^2 =\big[\ia{(4x-1)} + \ib{1}\big]\big[\ia{(4x-1)} - \ib{1}\big] =(4x)(4x-2) =8x(2x-1) On réduit chaque crochet, puis on factorise encore ce qui peut l'être : 4x-2 = 2(2x-1).
🎮 Entraîne-toi : A² − B²
Une différence de deux carrés donne toujours un produit de deux parenthèses, jamais un carré.

6b. Le carré parfait

Quand une expression a trois termes dont deux sont des carrés, il faut tester le double produit du milieu :

\ia{A}^2 + 2\,\ia{A}\,\ib{B} + \ib{B}^2 =(\ia{A} + \ib{B})^2 et de même avec le signe moins : \ia{A}^2 - 2\,\ia{A}\,\ib{B} + \ib{B}^2 =(\ia{A} - \ib{B})^2

Le signe du terme du milieu donne le signe dans la parenthèse. Le dernier terme, lui, est toujours positif : c'est un carré.

Exemple

x^2 + 6x + 9 =\ia{x}^2 + 2 \times \ia{x} \times \ib{3} + \ib{3}^2 =(\ia{x} + \ib{3})^2 Vérification du double produit : 2 \times \ia{x} \times \ib{3} = 6x, c'est bien le terme du milieu.

👆 À toi de jouer

  1. Factoriser 4x^2 - 12x + 9.
    Voir la réponse
    Les deux carrés sont 4x^2 = (2x)^2 et 9 = 3^2 :
    4x^2 - 12x + 9 =\ia{(2x)}^2 - 2 \times \ia{2x} \times \ib{3} + \ib{3}^2 =(\ia{2x} - \ib{3})^2 Le double produit vaut {2 \times 2x \times 3 = 12x} : l'identité est bien la bonne. Le signe moins du milieu passe dans la parenthèse.
🎮 Entraîne-toi : A² ± 2AB + B²
Trois termes, deux carrés : vérifie le double produit avant de conclure.

6c. Quand il faut d'abord développer

Dernier cas, le plus retors : rien n'est commun et aucun carré ne saute aux yeux. On développe, on réduit, et l'identité remarquable apparaît alors toute seule.

Exemple

(x+1)(x+5) + 4 =x^2 + 6x + 5 + 4 =x^2 + 6x + 9 =\ia{x}^2 + 2 \times \ia{x} \times \ib{3} + \ib{3}^2 =(\ia{x} + \ib{3})^2 Développer pour factoriser semble contradictoire : c'est pourtant la seule façon de faire apparaître la forme reconnaissable.
🎮 Entraîne-toi : développer d'abord
Aucun facteur commun, aucun carré visible : développe, réduis, puis reconnais.

👆 À toi de jouer : type devoir surveillé

  1. Factoriser (4x-2)^2 - (5x+3)^2.
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    Avec \ia{A} = \ia{4x-2} et \ib{B} = \ib{5x+3} :
    \ia{(4x-2)}^2 - \ib{(5x+3)}^2 =\big[\ia{(4x-2)} + \ib{(5x+3)}\big]\big[\ia{(4x-2)} - \ib{(5x+3)}\big] =(9x+1)(4x-2-5x-3) =(9x+1)(-x-5) =-(9x+1)(x+5) Attention aux parenthèses du second crochet : on soustrait \ib{5x+3} tout entier, donc les deux signes changent.
  2. Factoriser 2(5x-1)(2x+3) + 4x^2 - 9.
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    On reconnaît d'abord que \begin{aligned}4x^2-9 &= \ia{(2x)}^2 - \ib{3}^2 \\ &= (\ia{2x}+\ib{3})(\ia{2x}-\ib{3})\end{aligned} ce qui fait apparaître la parenthèse commune :
    2(5x-1)\co{(2x+3)} + 4x^2 - 9 =2(5x-1)\co{(2x+3)} + \co{(2x+3)}\rr{(2x-3)} =\co{(2x+3)}\big[\rr{2(5x-1) + (2x-3)}\big] =\co{(2x+3)}\rr{(10x - 2 + 2x - 3)} =\co{(2x+3)}\rr{(12x-5)} Cet exercice mélange deux étapes : l'identité remarquable sert uniquement à faire apparaître le facteur commun.
En enchaînant ces 6 étapes, tu sais factoriser n'importe quelle expression rencontrée en contrôle ou en DST : du simple facteur numérique jusqu'aux identités remarquables, en passant par la parenthèse cachée qu'il faut faire apparaître.
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Fiche compétences rédigée par Logimaths.