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Fiche compétences Logimaths

Construire un point à partir d'une égalité vectorielle

La compétence de base pour démarrer un exercice de vecteurs en contrôle ou en DST : Niveau 2nde.

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Un exercice de vecteurs commence très souvent par « placer les points M, N, P… tels que… », suivi d'une ou plusieurs égalités vectorielles. Cette fiche découpe cette compétence en 5 étapes progressives : en les maîtrisant toutes, tu sais placer n'importe quel point à partir de n'importe quelle égalité vectorielle.

Un parcours en 5 étapes, du plus simple au plus costaud :

  1. 1 Je sais placer un point seul, en bout de flèche d'un vecteur.
  2. 2 Je sais placer un point seul, en début de flèche : j'inverse l'égalité.
  3. 3 Je sais placer un point porté par un vecteur avec un coefficient : j'isole comme dans une équation.
  4. 4 Je sais placer un point présent dans deux vecteurs : j'utilise Chasles pour tout regrouper.
  5. 5 Je sais placer un point présent dans trois vecteurs (type centre de gravité).

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Rappels indispensables

Relation de Chasles : pour tous points A, B, C : \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

Vecteur opposé : \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} : échanger les deux lettres d'un vecteur revient à le multiplier par -1.

Pour construire un point, on part toujours d'un point connu et on enchaîne les vecteurs bout à bout, comme des déplacements successifs sur la figure.

Étape 1 : Le point à placer est seul, en bout de flèche

Quand l'égalité est déjà sous la forme \overrightarrow{AM} = \ldots (le point à placer est la 2ᵉ lettre du vecteur de gauche, et n'apparaît nulle part ailleurs), il n'y a rien à transformer : on part du point connu (ici A) et on trace, bout à bout, chacun des vecteurs du membre de droite. Le point d'arrivée final est le point cherché.

Exemple

Placer M tel que \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB}.

A B C BA CB M
Étape 1 (rose) : vecteur BA reproduit à partir de A. Étape 2 (bleu) : vecteur CB reproduit à partir du point d'arrivée, jusqu'à M.

👆 À toi de jouer

  1. Placer N tel que \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{BA}.
    Voir la réponse
    L'égalité est déjà sous la bonne forme. On part de A, on reporte le vecteur \overrightarrow{BC}, puis deux fois le vecteur \overrightarrow{BA} bout à bout : le point d'arrivée est N.
    A B C BC 2 BA N
    Depuis A : le vecteur BC (rose), puis deux fois le vecteur BA (bleu). Le point d'arrivée est N.
  2. Placer P tel que \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AB}.
    Voir la réponse
    On réécrit -3\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{BA}, d'où \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{AC} + 3\overrightarrow{BA}. On part de B, on reporte \overrightarrow{AC} puis trois fois \overrightarrow{BA} : le point d'arrivée est P.
    A B C AC 3 BA P
    Depuis B : le vecteur AC (rose), puis trois fois le vecteur BA (bleu). Le point d'arrivée est P.

Étape 2 : Le point à placer est seul, en début de flèche : on inverse

Si le point à placer est la 1ʳᵉ lettre du vecteur (par exemple \overrightarrow{MA}=\ldots), la méthode de l'étape 1 ne s'applique pas encore : il faut d'abord inverser l'égalité pour ramener le point à placer en 2ᵉ position.

Règle d'inversion : pour inverser une égalité vectorielle, on remplace chaque vecteur par son opposé (on échange l'ordre de ses deux lettres), des deux côtés de l'égalité, sans exception.

Si on inverse tous les vecteurs en échangeant leurs lettres, il n'y a rien d'autre à faire : l'échange des lettres suffit, pas besoin d'ajouter un signe « − ».

Si à la place on écrit un signe « − » devant les vecteurs plutôt que d'échanger leurs lettres, il faut alors le mettre devant chacun des vecteurs de l'égalité : pas seulement celui qui nous intéresse : sinon l'égalité devient fausse.

Exemple 1 : on échange les lettres de tous les vecteurs : {\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}} devient \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} : aucun signe à ajouter, l'échange des lettres suffit.

Exemple 2 : on n'échange les lettres que d'un seul vecteur : dans {\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}}, si on ne retourne que \overrightarrow{MA}, il faut alors changer le signe devant chacun des vecteurs de l'autre membre : \overrightarrow{AM} = -\overrightarrow{CA} - \overrightarrow{CB}. Comme {-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}} et -\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BC}, on retrouve bien \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} : les deux méthodes donnent le même résultat.

Exemple : inversion directe

Placer M tel que \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}.

On inverse chaque vecteur des deux côtés :
\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}
A B C AB CB M
Étape 1 (rose) : vecteur AB depuis A, on arrive en B. Étape 2 (bleu) : vecteur CB reproduit depuis B, jusqu'à M.

Exemple : il faut d'abord isoler, puis inverser

Placer M tel que \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB}.

On isole \overrightarrow{MA} comme dans une équation :
\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AB}
Puis on inverse pour ramener M en 2ᵉ position :
\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}
A B C BA BC M
Étape 1 (rose) : vecteur BA depuis A. Étape 2 (bleu) : vecteur BC reproduit depuis le point d'arrivée, jusqu'à M.

👆 À toi de jouer

  1. Placer N tel que \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA}.
    Voir la réponse
    On réécrit d'abord -\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AB} : \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}. On inverse tous les vecteurs : {\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA}}. On part de C, on reporte \overrightarrow{AC} puis \overrightarrow{BA} : le point d'arrivée est N.
    A B C AC BA N
    Depuis C : le vecteur AC (rose), puis le vecteur BA (bleu). Le point d'arrivée est N.
  2. Placer P tel que \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AC}.
    Voir la réponse
    On isole : \begin{aligned}\overrightarrow{PA} &= 2\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} \\ &= 2\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}\end{aligned} On inverse tous les vecteurs : \overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{BC}. On part de A, on reporte deux fois \overrightarrow{CA} puis \overrightarrow{BC} : le point d'arrivée est P.
    A B C 2 CA BC P
    Depuis A : deux fois le vecteur CA (rose), puis le vecteur BC (bleu). Le point d'arrivée est P.

Étape 3 : Le point à placer est porté par un vecteur avec un coefficient

Quand le vecteur qui porte le point à placer a un coefficient devant lui (par exemple 2\overrightarrow{MA}=\ldots), on traite l'égalité comme une équation : on isole ce vecteur en divisant tous les termes par ce coefficient : même s'il est négatif. Si le point se retrouve en 1ʳᵉ position après cette étape, on termine par une inversion (étape 2).

Exemple

Placer M tel que 2\overrightarrow{MA} = 3\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}.

\overrightarrow{MA} = \dfrac32\overrightarrow{AB} + \dfrac12\overrightarrow{BC}
On inverse pour ramener M en 2ᵉ position :
\overrightarrow{AM} = \dfrac32\overrightarrow{BA} + \dfrac12\overrightarrow{CB}
A B C 1,5 BA 0,5 CB M
Étape 1 (rose) : 1,5 fois le vecteur BA depuis A. Étape 2 (bleu) : 0,5 fois le vecteur CB, jusqu'à M.

👆 À toi de jouer

  1. Placer N tel que 4\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{BC}.
    Voir la réponse
    On divise par 4 : \overrightarrow{NC} = \dfrac14\overrightarrow{BC}. On inverse : \overrightarrow{CN} = \dfrac14\overrightarrow{CB}. On part de C, on reporte un quart du vecteur \overrightarrow{CB} : le point d'arrivée est N.
    A B C 1/4 CB N
    Depuis C : un quart du vecteur CB (rose). Le point d'arrivée est N.
  2. Placer P tel que 2\overrightarrow{PC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.
    Voir la réponse
    On isole : \begin{aligned}2\overrightarrow{PC} &= \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} \\ &= \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} \\ &= \overrightarrow{AB}\end{aligned} (relation de Chasles). Donc \overrightarrow{PC} = \dfrac12\overrightarrow{AB}, puis on inverse : \overrightarrow{CP} = \dfrac12\overrightarrow{BA}. On part de C, on reporte la moitié du vecteur \overrightarrow{BA} : le point d'arrivée est P.
    A B C 0,5 BA P
    Depuis C : la moitié du vecteur BA (rose). Le point d'arrivée est P.

Étape 4 : Le point à placer apparaît dans deux vecteurs

Quand le point à placer apparaît deux fois dans l'égalité (par exemple {\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\ldots}), on ne peut plus isoler directement : on utilise la relation de Chasles pour faire réapparaître l'un des deux vecteurs à l'intérieur de l'autre, afin de tout regrouper sur un seul vecteur portant M. On revient ensuite aux méthodes des étapes précédentes (isoler un coefficient, inverser si besoin).

Exemple

Placer M tel que \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{BC}.

On remplace \overrightarrow{MB} par \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB} (Chasles, détour par A) :
2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{BC}
\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{BC} + \dfrac12\overrightarrow{BA}
On inverse pour ramener M en 2ᵉ position :
\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{CB} + \dfrac12\overrightarrow{AB}
A B C CB 0,5 AB M
Étape 1 (rose) : vecteur CB depuis A. Étape 2 (bleu) : 0,5 fois le vecteur AB, jusqu'à M.

👆 À toi de jouer

  1. Placer P tel que \overrightarrow{PA} - 2\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{AB}.
    Voir la réponse
    On remplace \overrightarrow{PB} par \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB} (Chasles) : {\overrightarrow{PA} - 2\overrightarrow{PA} - 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}}, donc -\overrightarrow{PA} = 3\overrightarrow{AB}, c'est-à-dire \overrightarrow{AP} = 3\overrightarrow{AB}. On part de A, on reporte trois fois le vecteur \overrightarrow{AB} : le point d'arrivée est P.
    A B C 3 AB P
    Depuis A : trois fois le vecteur AB (rose). Le point d'arrivée est P.

Étape 5 : Le point apparaît dans trois vecteurs (type centre de gravité)

Cas le plus complet, très fréquent avec les centres de gravité. Le point à placer apparaît dans les trois vecteurs de l'égalité (par exemple {\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}}). Méthode : choisir l'un des trois points comme point de passage (souvent A), puis exprimer les deux autres vecteurs contenant M à l'aide de Chasles en passant par ce point : \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}. On se retrouve alors avec un seul vecteur portant M, affecté d'un coefficient : on revient à la méthode de l'étape 3.

Exemple

Placer M tel que \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \vec{0}.

\overrightarrow{MA} + (\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}) + (\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}) = \vec{0}
3\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}
\overrightarrow{AM} = \dfrac13\overrightarrow{AB} + \dfrac13\overrightarrow{AC}
A B C 1/3 AB 1/3 AC M
Étape 1 (rose) : un tiers du vecteur AB depuis A. Étape 2 (bleu) : un tiers du vecteur AC, jusqu'à M.

👆 À toi de jouer

  1. Placer N tel que {\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC} = \vec{0}}, en passant cette fois par le point B.
    Voir la réponse
    On remplace \overrightarrow{NA} par \overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BA} et \overrightarrow{NC} par \overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BC} : {3\overrightarrow{NB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \vec{0}}, donc {3\overrightarrow{NB} = -\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}}, puis en inversant : \overrightarrow{BN} = \dfrac13\overrightarrow{BA} + \dfrac13\overrightarrow{BC}. On part de B, on reporte un tiers de \overrightarrow{BA} puis un tiers de \overrightarrow{BC}. On retrouve exactement le même point que M dans l'exemple : c'est le centre de gravité du triangle ABC : peu importe le point de passage choisi pour Chasles, le résultat est le même.
    A B C 1/3 BA 1/3 BC N
    Depuis B : un tiers du vecteur BA (rose), puis un tiers du vecteur BC (bleu). N est le centre de gravité du triangle.

👆 À toi de jouer : type devoir surveillé

  1. ABC est un triangle. Placer le point D tel que 2\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} = \vec{0}.
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    Le point à placer apparaît dans deux vecteurs : on ramène tout au point A, dont on connaît la position. \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}, donc l'égalité s'écrit {2\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = \vec{0}}, c'est-à-dire {3\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = \vec{0}}. On en tire \overrightarrow{DA} = -\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}, soit \overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}. D est donc sur le segment [AB], au tiers en partant de A.
  2. Placer le point G tel que {\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}}.
    Voir la réponse
    Même méthode, en ramenant tout au point A : {\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}} et \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AC}. L'égalité devient 3\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \vec{0}, donc \overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right). En notant M le milieu de [BC], on a \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}, donc {\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}} : G est le centre de gravité du triangle, aux deux tiers de la médiane en partant de A.
En enchaînant ces 5 étapes, tu sais construire n'importe quel point défini par une égalité vectorielle : c'est souvent la toute première question d'un exercice de vecteurs en contrôle ou en DST.
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Fiche compétences rédigée par Logimaths.