Calcul littéral

Exercice 1 : Réduire une expression ⭐ Facile

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1. Réduire C=3x^2-5x+2x^2+7x-4.

Voir la correction

a)\begin{aligned}C &= (3+2)x^2+(-5+7)x-4\\ &= \mathbf{5x^2+2x-4}\end{aligned}

Exercice 2 : Équation après factorisation ⭐ Facile

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1. Factoriser x^2-9x.
2. En déduire les solutions de x^2-9x=0.

Voir la correction

a)x^2-9x = \mathbf{x(x-9)}

b)\begin{aligned}x(x-9) &= 0 \\ &\Leftrightarrow x = 0\end{aligned} ou x=9.   \mathcal S=\{0\,;9\}

Exercice 3 : Calcul littéral et géométrie ⭐ Facile

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1. Exprimer son périmètre P(x).
2. Exprimer son aire A(x) développée.

Voir la correction

a)\begin{aligned}P(x) &= 2\big[(x+4)+(x-2)\big]\\ &= \mathbf{4x+4}\end{aligned}

b)\begin{aligned}A(x) &= (x+4)(x-2)\\ &= \mathbf{x^2+2x-8}\end{aligned}

Exercice 4 : Identifier une erreur classique ⭐ Facile

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1. Expliquer l'erreur commise.
2. Donner le développement correct.

Voir la correction

a)L'élève a oublié le double produit {2\times x\times3} de l'identité remarquable.

b)(x+3)^2 = \mathbf{x^2+6x+9}

Exercice 5 : Substituer une valeur ⭐ Facile

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1. Calculer E(-3) pour E(x)=2x^2-5x+1.

Voir la correction

a)\begin{aligned}E(-3) &= 2\times9-5\times(-3)+1\\ &= 18+15+1\\ &= \mathbf{34}\end{aligned}

Exercice 6 : Réduire une expression à deux lettres ⭐ Facile

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1. Réduire 3x+2y-5x+7y-4.

Voir la correction

a)\begin{aligned}3x+2y-5x+7y-4 &= (3-5)x+(2+7)y-4\\ &= \mathbf{-2x+9y-4}\end{aligned}

Exercice 7 : Développer un produit ⭐ Facile

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Voir la correction

\begin{aligned}A &= (x+3)(x-5)\\ &= x^2 - 5x + 3x - 15\\ &= \mathbf{x^2 - 2x - 15}\end{aligned}

Exercice 8 : Identité remarquable ⭐ Facile

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Voir la correction

\begin{aligned}B &= (2x)^2 + 2\times 2x \times 1 + 1^2\\ &= \mathbf{4x^2 + 4x + 1}\end{aligned}

Exercice 9 : Développer et réduire ⭐⭐ Intermédiaire

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1. Développer (2x-3)(x+5).
2. Développer (x-1)^2.
3. En déduire l'expression développée et réduite de A.

Voir la correction

a)\begin{aligned}(2x-3)(x+5) &= 2x^2+10x-3x-15\\ &= \mathbf{2x^2+7x-15}\end{aligned}

b)(x-1)^2 = \mathbf{x^2-2x+1}

c)\begin{aligned}A &= (2x^2+7x-15) - (x^2-2x+1)\\ &= 2x^2+7x-15-x^2+2x-1\\ &= \mathbf{x^2+9x-16}\end{aligned}

Exercice 10 : Développer un produit de trois facteurs ⭐⭐ Intermédiaire

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1. Développer (x+1)(x-2).
2. En déduire le développement de D.

Voir la correction

a)(x+1)(x-2) = \mathbf{x^2-x-2}

b)\begin{aligned}D &= (x^2-x-2)(x+3)\\ &= x^3+3x^2-x^2-3x-2x-6\\ &= \mathbf{x^3+2x^2-5x-6}\end{aligned}

Exercice 11 : Factoriser par regroupement ⭐⭐ Intermédiaire

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1. Regrouper les termes de E deux par deux.
2. Factoriser E.

Voir la correction

a)\begin{aligned}E &= (xy+2x)+(3y+6)\\ &= x(y+2)+3(y+2)\end{aligned}

b)E = \mathbf{(x+3)(y+2)}

Exercice 12 : Démontrer une identité ⭐⭐ Intermédiaire

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1. Démontrer que (x+2)^2-(x-2)^2=8x pour tout réel x.

Voir la correction

a)\begin{aligned}(x+2)^2-(x-2)^2 &= (x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)\\ &= \mathbf{8x}\end{aligned} \checkmark

Exercice 13 : Développer {(a+b)^3} ⭐⭐ Intermédiaire

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1. Développer (x+2)^3.

Voir la correction

a)\begin{aligned}(x+2)^3 &= x^3+3x^2\times2+3x\times4+8\\ &= \mathbf{x^3+6x^2+12x+8}\end{aligned}

Exercice 14 : Factoriser avec un facteur commun composé ⭐⭐ Intermédiaire

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1. Factoriser (2x-1)(x+4)-3(2x-1).

Voir la correction

a)(2x-1)\big[(x+4)-3\big] = \mathbf{(2x-1)(x+1)}

Exercice 15 : Calcul littéral et aire ⭐⭐ Intermédiaire

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1. Exprimer son aire développée et réduite.
2. Calculer cette aire pour x=4.

Voir la correction

a)\begin{aligned}A(x) &= (2x-1)(x+3)\\ &= 2x^2+6x-x-3\\ &= \mathbf{2x^2+5x-3}\end{aligned}

b)\begin{aligned}A(4) &= 32+20-3\\ &= \mathbf{49}\end{aligned}

Exercice 16 : Développer et réduire ⭐⭐ Intermédiaire

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1. Développer (3x-2)(x+4).
2. Développer (x+1)(x-1).
3. En déduire l'expression réduite de C.

Voir la correction

a)\begin{aligned}(3x-2)(x+4) &= 3x^2 + 12x - 2x - 8\\ &= \mathbf{3x^2 + 10x - 8}\end{aligned}

b)(x+1)(x-1) = \mathbf{x^2 - 1}

c)\begin{aligned}C &= (3x^2 + 10x - 8) - (x^2 - 1)\\ &= 3x^2 + 10x - 8 - x^2 + 1\\ &= \mathbf{2x^2 + 10x - 7}\end{aligned}

Exercice 17 : Factoriser avec une identité ⭐⭐ Intermédiaire

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1. 9x^2 - 25
2. 4x^2 - 12x + 9

Voir la correction

a)\begin{aligned}9x^2 - 25 &= (3x)^2 - 5^2\\ &= \mathbf{(3x-5)(3x+5)}\end{aligned}

b)\begin{aligned}4x^2 - 12x + 9 &= (2x)^2 - 2\times 2x\times 3 + 3^2\\ &= \mathbf{(2x-3)^2}\end{aligned}

Exercice 18 : Factoriser avec une parenthèse commune ⭐⭐⭐ Difficile

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1. Identifier la parenthèse commune aux deux termes de B.
2. Factoriser B.
3. Résoudre l'équation B=0.

Voir la correction

a)La parenthèse commune est (3x+1)

b)\begin{aligned}B &= (3x+1)\big[(3x+1)-(x-2)\big]\\ &= (3x+1)(3x+1-x+2)\\ &= \mathbf{(3x+1)(2x+3)}\end{aligned}

c)\begin{aligned}B &= 0 \\ &\Leftrightarrow 3x+1 = 0\end{aligned} ou \begin{aligned}2x+3 &= 0 \\ &\Leftrightarrow x = -\dfrac13\end{aligned} ou x=-\dfrac32.   \mathcal S = \left\{-\dfrac32\,;-\dfrac13\right\}

Exercice 19 : Simplifier une fraction littérale ⭐⭐⭐ Difficile

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1. Simplifier \dfrac{x^2-16}{x^2+4x} (préciser les valeurs interdites).

Voir la correction

a)\begin{aligned}\dfrac{x^2-16}{x^2+4x} &= \dfrac{(x-4)(x+4)}{x(x+4)}\\ &= \mathbf{\dfrac{x-4}{x}}\end{aligned} (pour x\neq0 et x\neq-4).

Exercice 20 : Identité remarquable à trois termes ⭐⭐⭐ Difficile

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1. Développer (x+y+2)^2.

Voir la correction

a)\begin{aligned}(x+y+2)^2 &= ((x+y)+2)^2\\ &= (x+y)^2+4(x+y)+4\\ &= \mathbf{x^2+2xy+y^2+4x+4y+4}\end{aligned}

Exercice 21 : Factoriser une somme de cubes ⭐⭐⭐ Difficile

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1. Factoriser x^3-27.

Voir la correction

a)\begin{aligned}x^3-27 &= x^3-3^3\\ &= (x-3)(x^2+3x+9)\end{aligned}

Exercice 22 : Prouver une propriété par le calcul littéral ⭐⭐⭐ Difficile

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1. Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.

Voir la correction

a)En notant n, n+1, n+2 les trois entiers : \begin{aligned}n+(n+1)+(n+2) &= 3n+3\\ &= 3(n+1)\end{aligned}, qui est bien un multiple de 3

Exercice 23 : Signe d'une expression factorisée ⭐⭐⭐ Difficile

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1. Étudier le signe de (x-3)(x+5) selon les valeurs de x.

Voir la correction

a)Racines en x=-5 et x=3 : le produit est positif pour x<-5 ou x>3, négatif pour -5<x<3

Exercice 24 : Facteur commun ⭐⭐⭐ Difficile

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Voir la correction

a)(x+2) est un facteur commun aux deux termes.

b)\begin{aligned}D &= (x+2)\big[(x-3) + (2x+1)\big]\\ &= (x+2)(3x-2)\end{aligned}, soit \mathbf{D = (x+2)(3x-2)}

Exercice 25 : Reconnaître un carré ⭐⭐⭐ Difficile

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1. Reconnaître une identité remarquable dans x^2 + 6x + 9.
2. En déduire une factorisation de E.

Voir la correction

a)x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2, donc \begin{aligned}E &= (x+3)^2 - 16\\ &= (x+3)^2 - 4^2\end{aligned}

b)\begin{aligned}E &= \big[(x+3)-4\big]\big[(x+3)+4\big]\\ &= \mathbf{(x-1)(x+7)}\end{aligned}

Exercice 26 : Prouver une inégalité par le calcul littéral ⭐⭐⭐⭐ Expert

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1. Démontrer que pour tout réel x, {x^2+4\geqslant4x}.

Voir la correction

a)\begin{aligned}x^2+4-4x &= (x-2)^2 \\ &\geqslant 0\end{aligned} donc {x^2+4\geqslant4x} pour tout réel x

Exercice 27 : Différence de deux carrés ⭐⭐⭐⭐ Expert

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Voir la correction

a) On applique a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) avec a = 2x-1 et b = x+3

b)\begin{aligned}a - b &= (2x-1)-(x+3)\\ &= x-4\end{aligned} et \begin{aligned}a + b &= (2x-1)+(x+3)\\ &= 3x+2\end{aligned}

c)F = \mathbf{(x-4)(3x+2)}

Exercice 28 : Factoriser puis résoudre ⭐⭐⭐⭐ Expert

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1. Factoriser G.
2. Résoudre l'équation G = 0.

Voir la correction

a)(x-1) est un facteur commun : \begin{aligned}G &= (x-1)\big[(x-1) - (2x+3)\big]\\ &= (x-1)(-x-4)\\ &= \mathbf{-(x-1)(x+4)}\end{aligned}

b) Un produit est nul si l'un des facteurs est nul : x-1 = 0 ou x+4 = 0, d'où \mathbf{x = 1 \text{ ou } x = -4}