Fiche d'exercices Logimaths | Seconde
Fiche d'exercices : Les fonctions de référence
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Les quatre fonctions au travail⭐
Calcule :
- (−6)², (−3)³ et \sqrt{81}
- l'inverse de 4, puis l'inverse de −0,5.
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. (−6)² = 36 ; (−3)³ = −27 (le cube garde le signe) ; \sqrt{81} = 9.
2. 1/4 = 0,25 ; 1/(−0,5) = −2 (l'inverse d'un nombre entre −1 et 0 est plus loin de zéro).
2. 1/4 = 0,25 ; 1/(−0,5) = −2 (l'inverse d'un nombre entre −1 et 0 est plus loin de zéro).
Exercice 2 : Parité : le test f(−x)⭐
Étudie la parité de chaque fonction (calcule f(−x) et conclus) :
- f(x) = 3x^2 - 5
- g(x) = x^3 + 2x
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. f(−x) = 3(−x)² − 5 = 3x² − 5 = f(x) : paire (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées).
2. g(−x) = (−x)³ + 2(−x) = −x³ − 2x = −g(x) : impaire (symétrie par rapport à l'origine).
2. g(−x) = (−x)³ + 2(−x) = −x³ − 2x = −g(x) : impaire (symétrie par rapport à l'origine).
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Ni paire ni impaire⭐⭐
Soit h(x) = x^2 + 4x.
- Calcule h(1) et h(−1).
- Explique pourquoi ces deux valeurs suffisent à prouver que h n'est ni paire ni impaire.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. h(1) = 1 + 4 = 5 ; h(−1) = 1 − 4 = −3.
2. Si h était paire on aurait h(−1) = h(1) (or −3 ≠ 5) ; si h était impaire on aurait h(−1) = −h(1) (or −3 ≠ −5) : ni l'une ni l'autre. Un seul contre-exemple suffit.
2. Si h était paire on aurait h(−1) = h(1) (or −3 ≠ 5) ; si h était impaire on aurait h(−1) = −h(1) (or −3 ≠ −5) : ni l'une ni l'autre. Un seul contre-exemple suffit.
Exercice 4 : Antécédents par les fonctions de référence⭐⭐
- Quels sont les antécédents de 49 par la fonction carré ?
- Quel est l'antécédent de 5 par la fonction racine carrée ?
- Quel est l'antécédent de 0,1 par la fonction inverse ?
- Quel est l'antécédent de −64 par la fonction cube ?
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. x² = 49 : 7 et −7 (deux antécédents).
2. \sqrt{x} = 5 : x = 25 (un seul).
3. 1/x = 0,1 : x = 10.
4. x³ = −64 : x = −4 (le cube atteint les négatifs, un seul antécédent).
2. \sqrt{x} = 5 : x = 25 (un seul).
3. 1/x = 0,1 : x = 10.
4. x³ = −64 : x = −4 (le cube atteint les négatifs, un seul antécédent).
Exercice 5 : Comparer sans calculatrice⭐⭐
Complète par <, > ou = en justifiant (sans calculer précisément) :
- (−7,1)² … (−7,3)²
- 0,8² … 0,8
- \sqrt{50} … 7,5
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
1. |−7,3| > |−7,1| : (−7,1)² < (−7,3)² (plus loin de zéro, plus grand carré).
2. Entre 0 et 1, le carré diminue : 0,8² = 0,64 < 0,8.
3. 7,5² = 56,25 > 50 : \sqrt{50} < 7,5.
2. Entre 0 et 1, le carré diminue : 0,8² = 0,64 < 0,8.
3. 7,5² = 56,25 > 50 : \sqrt{50} < 7,5.
Exercice 6 : Images et antécédents avec l'inverse⭐⭐
Soit f(x) = 3 + \dfrac{2}{x} définie sur ℝ sauf 0.
- Calcule f(4) et f(−1).
- Détermine l'antécédent de 7 par f.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. f(4) = 3 + 0,5 = 3,5 ; f(−1) = 3 − 2 = 1.
2. 3 + \dfrac{2}{x} = 7 donne \dfrac{2}{x} = 4, soit x = 2/4 = 0,5. Contrôle : 3 + 2/0,5 = 3 + 4 = 7 ✔.
2. 3 + \dfrac{2}{x} = 7 donne \dfrac{2}{x} = 4, soit x = 2/4 = 0,5. Contrôle : 3 + 2/0,5 = 3 + 4 = 7 ✔.
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Positions relatives en pratique⭐⭐⭐
- Pour x = 0,2 puis x = 3, range x, x² et x³ dans l'ordre croissant.
- Résous graphiquement x² ≤ x (en t'aidant des positions relatives des courbes).
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. x = 0,2 : 0,008 < 0,04 < 0,2 : x³ < x² < x. x = 3 : 3 < 9 < 27 : x < x² < x³ : l'ordre s'inverse en traversant 1.
2. La parabole est sous la droite y = x exactement entre les points d'intersection x = 0 et x = 1 : S = [0 ; 1].
2. La parabole est sous la droite y = x exactement entre les points d'intersection x = 0 et x = 1 : S = [0 ; 1].
Exercice 8 : Vrai ou faux : la chasse aux pièges⭐⭐⭐
Vrai ou faux (justifie) :
- Pour tout réel x, \sqrt{x^2} = x.
- La fonction inverse est décroissante sur chacun de ses deux intervalles de définition, mais 1/(−2) < 1/3.
- Si a < b, alors a² < b².
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. FAUX : pour x = −5, \begin{aligned}\sqrt{(-5)^2} &= \sqrt{25} \\ &= 5 \\ &\neq -5\end{aligned} En vérité \sqrt{x^2} = |x|.
2. VRAI : 1/(−2) = −0,5 est négatif, 1/3 positif : comparer d'un intervalle à l'autre ne suit pas la décroissance (elle ne vaut que SUR chaque branche).
3. FAUX : −3 < 2 mais (−3)² = 9 > 4 = 2². La fonction carré ne conserve l'ordre que pour des nombres positifs.
2. VRAI : 1/(−2) = −0,5 est négatif, 1/3 positif : comparer d'un intervalle à l'autre ne suit pas la décroissance (elle ne vaut que SUR chaque branche).
3. FAUX : −3 < 2 mais (−3)² = 9 > 4 = 2². La fonction carré ne conserve l'ordre que pour des nombres positifs.