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Fiche d'exercices Logimaths

Les vecteurs

Relation de Chasles et colinéarité : Niveau 2nde.

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Exercice 1 : Différence de vecteurs ⭐ Facile

  1. Simplifier \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.
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a)\begin{aligned}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\\ &= \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\\ &= \mathbf{\overrightarrow{CB}}\end{aligned} (relation de Chasles).

Exercice 2 : Décomposition d'un vecteur ⭐ Facile

  1. Décomposer \overrightarrow{AD} à l'aide des points intermédiaires B et C.
Voir la correction
a)\overrightarrow{AD} = \mathbf{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}}

Exercice 3 : Parallélogramme et vecteurs ⭐ Facile

ABDC est un parallélogramme avec \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}.
  1. Donner les coordonnées de \overrightarrow{CD}.
Voir la correction
a)\begin{aligned}\overrightarrow{CD}&=\overrightarrow{AB}\\ &=\mathbf{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}

Exercice 4 : Vecteurs et translation ⭐ Facile

  1. La translation de vecteur \vec u\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix} transforme A(1;4) en quel point ?
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a)\begin{aligned}A'&=(1+2\,;4-3)\\ &=\mathbf{(3;1)}\end{aligned}

Exercice 5 : Combinaison linéaire de deux vecteurs ⭐ Facile

On donne \vec u\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} et \vec v\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}.
  1. Calculer les coordonnées de 2\vec u+3\vec v.
Voir la correction
a)\begin{aligned}2\vec u+3\vec v &= \begin{pmatrix}2\times2+3\times(-1)\\2\times1+3\times3\end{pmatrix}\\ &= \mathbf{\begin{pmatrix}1\\11\end{pmatrix}}\end{aligned}

Exercice 6 : Vecteurs et milieu (démonstration) ⭐ Facile

I est le point tel que \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}.
  1. Montrer que I est le milieu de [AB].
Voir la correction
a)\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB} est exactement la définition du milieu : I est donc le milieu de [AB]

Exercice 7 : Symétrie centrale et vecteurs ⭐ Facile

M' est le symétrique de M par rapport à O.
  1. Exprimer \overrightarrow{OM'} en fonction de \overrightarrow{OM}.
Voir la correction
a)\overrightarrow{OM'}=\mathbf{-\overrightarrow{OM}}

Exercice 8 : Combinaison linéaire et alignement ⭐ Facile

  1. Si \overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}, exprimer \overrightarrow{AM} en fonction de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} seulement (rien à faire, c'est déjà le cas) et donner les coefficients.
Voir la correction
a)Coefficients a=3 pour \overrightarrow{AB} et b=-2 pour \overrightarrow{AC}

Exercice 9 : Translation composée ⭐ Facile

  1. Une translation de vecteur \vec u\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} est suivie d'une translation de vecteur \vec v\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}. Donner le vecteur de la translation équivalente.
Voir la correction
a)\vec u+\vec v=\mathbf{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}

Exercice 10 : Vecteur colinéaire et point sur une droite ⭐ Facile

  1. M vérifie \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}. M appartient-il à la droite (AB) ?
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a)Oui, car \overrightarrow{AM} est colinéaire à \overrightarrow{AB} (multiple de ce vecteur).

Exercice 11 : Relation de Chasles ⭐ Facile

Simplifier \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}.
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D'après la relation de Chasles, {\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \mathbf{\overrightarrow{AC}}}

Exercice 12 : Vecteurs égaux ⭐ Facile

Dans un parallélogramme ABCD, à quel vecteur est égal \overrightarrow{AB} ?
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Les côtés [AB] et [DC] sont parallèles et de même longueur : \overrightarrow{AB} = \mathbf{\overrightarrow{DC}}

Exercice 13 : Relation de Chasles dans un parallélogramme ⭐⭐ Intermédiaire

ABCD est un parallélogramme.
  1. Rappeler la relation de Chasles pour le vecteur \overrightarrow{AC} en passant par B.
  2. Que peut-on dire des vecteurs \overrightarrow{BC} et \overrightarrow{AD} dans un parallélogramme ?
  3. En déduire que \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}.
Voir la correction
a)\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} (relation de Chasles).
b)Dans un parallélogramme ABCD, les côtés [BC] et [AD] sont parallèles et de même longueur, orientés dans le même sens : \overrightarrow{BC} = \mathbf{\overrightarrow{AD}}
c)En remplaçant dans la relation de Chasles : \begin{aligned}\overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\\ &= \mathbf{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}}\end{aligned}

Exercice 14 : Vecteurs colinéaires ⭐⭐ Intermédiaire

On donne \vec u\begin{pmatrix}4\\-6\end{pmatrix} et \vec v\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}.
  1. Calculer le déterminant {4\times3-(-6)\times(-2)}.
  2. Que peut-on en conclure sur \vec u et \vec v ?
  3. Trouver le réel k tel que \vec u = k\vec v.
Voir la correction
a)\begin{aligned}4\times3-(-6)\times(-2) &= 12-12\\ &= \mathbf{0}\end{aligned}
b)Le déterminant est nul : les vecteurs \vec u et \vec v sont colinéaires.
c)\begin{aligned}4 &= -2k \\ &\Rightarrow k = -2\end{aligned}
Vérification :
\begin{aligned}-6&=3\times(-2)\\ &=-6\end{aligned} \checkmark
Donc \vec u = \mathbf{-2\vec v}

Exercice 15 : Relation du milieu ⭐⭐ Intermédiaire

I est le milieu de [AB].
  1. Démontrer que \overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB}.
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a)\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB} (définition du milieu), et \begin{aligned}\overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}\\ &=2\overrightarrow{AI}\end{aligned}, donc \overrightarrow{AI}=\mathbf{\dfrac12\overrightarrow{AB}}

Exercice 16 : Démontrer un parallélogramme ⭐⭐ Intermédiaire

On donne A(1;1), B(4;2), C(6;5), D(3;4).
  1. Montrer que ABCD est un parallélogramme.
Voir la correction
a)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} et \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}6-3\\5-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} : \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}, donc ABCD est un parallélogramme.

Exercice 17 : Centre de gravité ⭐⭐ Intermédiaire

On donne A(0;0), B(6;0), C(0;6).
  1. Calculer les coordonnées du centre de gravité G.
  2. Vérifier que \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0.
Voir la correction
a)G\left(\dfrac{0+6+0}3\,;\dfrac{0+0+6}3\right) = \mathbf{(2;2)}
b)\overrightarrow{GA}\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}, \overrightarrow{GB}\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}, \overrightarrow{GC}\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix} : \begin{aligned}\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} &=\begin{pmatrix}-2+4-2\\-2-2+4\end{pmatrix}\\ &=\mathbf{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\end{aligned} \checkmark

Exercice 18 : Somme de plusieurs vecteurs ⭐⭐ Intermédiaire

  1. Simplifier \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}.
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a)En appliquant Chasles successivement : \begin{aligned}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}&=\overrightarrow{AA}\\ &=\mathbf{\vec0}\end{aligned}

Exercice 19 : Prouver un parallélisme avec les vecteurs ⭐⭐ Intermédiaire

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix} et \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}.
  1. Montrer que (AB)\mathbin{/\mkern-8mu/}(CD).
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a)\begin{aligned}4\times3-6\times2&=12-12\\ &=0\end{aligned} : les vecteurs sont colinéaires, donc (AB)\mathbin{/\mkern-8mu/}(CD)

Exercice 20 : Construction avec vecteurs ⭐⭐ Intermédiaire

  1. Décrire la construction du point E tel que \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.
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a)E est le quatrième sommet du parallélogramme construit sur \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} à partir de A

Exercice 21 : Somme le long d'un triangle ⭐⭐ Intermédiaire

Simplifier \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}.
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\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}, puis \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \mathbf{\vec{0}}

Exercice 22 : Différence de vecteurs ⭐⭐ Intermédiaire

Écrire \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} sous la forme d'un seul vecteur.
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\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB} (on relie l'extrémité de \overrightarrow{AC} à celle de \overrightarrow{AB}). Réponse : \mathbf{\overrightarrow{CB}}

Exercice 23 : Démonstration par Chasles ⭐⭐⭐ Difficile

  1. Démontrer que \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}.
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a)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB} et \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}
En additionnant :
\begin{aligned}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}&=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\\ &=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\end{aligned}
(car \overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}=\vec0)

Exercice 24 : Problème combiné (Chasles + colinéarité) ⭐⭐⭐ Difficile

ABCD est un quadrilatère avec \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} et \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}.
  1. Que peut-on dire de ABCD ?
  2. Si A(1;1) et B(3;4), et D(0;-2), calculer les coordonnées de C.
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a)\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} : ABCD est un parallélogramme.
b)\begin{aligned}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} &\iff \begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_C-x_D\\y_C-y_D\end{pmatrix}\\ &\iff \begin{pmatrix}3-1\\4-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_C-0\\y_C-(-2)\end{pmatrix}\\ &\iff \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_C\\y_C+2\end{pmatrix}\\ &\iff \begin{cases}x_C=2\\y_C+2=3\end{cases}\\ &\iff \begin{cases}x_C=2\\y_C=1\end{cases}\\ &\text{donc } \mathbf{C(2\,;1)}\end{aligned}

Exercice 25 : Milieu et vecteurs ⭐⭐⭐ Difficile

Traduire par une égalité vectorielle : « M est le milieu de [AB] ».
Voir la correction
\begin{aligned}M \text{ milieu de } [AB] &\iff \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}\\ &\iff \mathbf{\overrightarrow{AM} = \tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}}\end{aligned}

Exercice 26 : Construire une somme ⭐⭐⭐ Difficile

Soit ABCD un parallélogramme de centre O. Simplifier \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}.
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O est le milieu de [AC], donc \overrightarrow{OA} et \overrightarrow{OC} sont opposés : \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \mathbf{\vec{0}}

Exercice 27 : Médiane et milieu ⭐⭐⭐⭐ Expert

Soit I le milieu de [BC]. Montrer que {\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\,\overrightarrow{AI}}.
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Avec Chasles : \begin{aligned}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} &= (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}) + (\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IC})\\ &= 2\overrightarrow{AI} + (\overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC})\end{aligned}
I milieu de [BC] donne \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} = \vec{0}, d'où \mathbf{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}}

Exercice 28 : Égalité à démontrer ⭐⭐⭐⭐ Expert

Démontrer que \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}.
Voir la correction
On calcule la différence : \begin{aligned}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}) + (\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CB}) &= \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BD}\\ &= \vec{0}\end{aligned}
Les deux membres sont donc égaux : \mathbf{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB}}

Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.