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Fiche d'exercices Logimaths

Nombres réels

Valeur absolue et intervalles : Niveau 2nde.

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Exercice 1 : Intersection et union d'intervalles ⭐ Facile

On donne les intervalles I = [-3\,;5] et {J = ]1\,;8]}.
  1. Représenter les deux intervalles sur un même axe gradué.
  2. Déterminer I \cap J.
  3. Déterminer I \cup J.
Voir la correction
a)(représentation sur un axe gradué : I de -3 à 5 fermé, J de 1 ouvert à 8 fermé).
b)I \cap J = \mathbf{]1\,;5]} (partie commune aux deux intervalles).
c)I \cup J = \mathbf{[{-3}\,;8]} (réunion des deux intervalles).

Exercice 2 : Réunion et intersection ⭐ Facile

On donne I=[2\,;9] et J=[5\,;12].
  1. Calculer I\cap J.
  2. Calculer I\cup J.
Voir la correction
a)I\cap J = \mathbf{[5\,;9]}
b)I\cup J = \mathbf{[2\,;12]}

Exercice 3 : Distance entre deux réels ⭐ Facile

  1. Calculer la distance entre -7 et 4.
Voir la correction
a)|4-(-7)| = \mathbf{11}

Exercice 4 : Rationnel non décimal ⭐ Facile

  1. Donner un exemple de nombre rationnel qui n'est pas décimal, et justifier.
Voir la correction
a)\dfrac13=0{,}333\ldots est rationnel mais son écriture décimale est infinie et périodique : ce n'est pas un décimal.

Exercice 5 : Repérage sur une droite graduée ⭐ Facile

Sur une droite graduée d'origine O et d'unité 1 cm, on place A(-2) et B(5).
  1. Calculer la distance AB.
Voir la correction
a)\begin{aligned}AB &= |5-(-2)|\\ &= \mathbf{7}\end{aligned} cm.

Exercice 6 : Complémentaire d'un intervalle ⭐ Facile

  1. Donner le complémentaire dans \mathbb R de l'intervalle [3\,;7[.
Voir la correction
a)\mathbf{]-\infty\,;3[\,\cup\,[7\,;+\infty[}

Exercice 7 : Milieu et distance ⭐ Facile

  1. Calculer le milieu de -5 et 11.
Voir la correction
a)\dfrac{-5+11}{2}=\mathbf3

Exercice 8 : Décimal ou non décimal ⭐ Facile

  1. \dfrac{5}{8} est-il décimal ? Justifier.
Voir la correction
a)\dfrac58=0{,}625 : écriture décimale finie, donc oui, c'est un décimal.

Exercice 9 : Traduire par un intervalle ⭐ Facile

Écrire sous forme d'intervalle l'ensemble des réels x tels que x \geqslant -2.
Voir la correction
\mathbf{[-2\,;\,+\infty[} (crochet fermé en -2 car l'inégalité est large).

Exercice 10 : Nature d'un nombre ⭐ Facile

Le nombre \sqrt{16} est-il un entier ? Justifier.
Voir la correction
\sqrt{16} = 4, donc c'est un entier naturel : \mathbf{\sqrt{16} \in \mathbb{N}}

Exercice 11 : Résoudre une inéquation avec valeur absolue ⭐⭐ Intermédiaire

  1. Rappeler la définition de |x-3|<5 sous forme d'encadrement.
  2. Résoudre l'inéquation |x-3|<5.
  3. Écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
Voir la correction
a){|x-3|<5 \Leftrightarrow -5 < x-3 < 5}
b){-5 < x-3 < 5 \Leftrightarrow -5+3 < x < 5+3 \Leftrightarrow -2 < x < 8}
c)\mathcal S = \mathbf{]{-2}\,;8[}

Exercice 12 : Inéquation avec valeur absolue ⭐⭐ Intermédiaire

  1. Résoudre |x-5|\geqslant3.
Voir la correction
a)\begin{aligned}|x-5| \geqslant 3 &\iff x \leqslant 2 \end{aligned} ou x\geqslant8.   \mathcal S=\,]-\infty\,;2]\cup[8\,;+\infty[

Exercice 13 : Majorant et minorant ⭐⭐ Intermédiaire

On donne E=\,]-3\,;7].
  1. Donner un majorant de E.
  2. Donner un minorant de E.
Voir la correction
a)7 est un majorant de E (ou tout réel \geqslant7).
b)-3 est un minorant de E (ou tout réel {\leqslant-3}).

Exercice 14 : Application : marge d'erreur ⭐⭐ Intermédiaire

Une tige métallique mesure x cm avec une tolérance de 0{,}05 cm autour de 25 cm.
  1. Écrire cette condition à l'aide d'une valeur absolue.
  2. Donner l'intervalle correspondant.
Voir la correction
a)|x-25|\leqslant0{,}05
b)x\in\mathbf{[24{,}95\,;25{,}05]}

Exercice 15 : Résoudre {|x-a|=r} ⭐⭐ Intermédiaire

  1. Résoudre |x-4|=6.
Voir la correction
a)\begin{aligned}x &= 4-6\\ &= -2\end{aligned} ou \begin{aligned}x &= 4+6\\ &= 10\end{aligned}. \mathcal S=\{-2\,;10\}

Exercice 16 : Domaine de définition avec racine ⭐⭐ Intermédiaire

  1. Pour quelles valeurs de x l'expression \sqrt{x-5} est-elle définie ?
Voir la correction
a)\begin{aligned}x-5 \geqslant 0 &\iff x \geqslant 5 \end{aligned} D'où D=[5\,;+\infty[

Exercice 17 : Encadrement de mesure ⭐⭐ Intermédiaire

Un champ rectangulaire a une longueur {\ell\in[49{,}5\,;50{,}5]} m et une largeur L\in[19{,}5\,;20{,}5] m.
  1. Encadrer l'aire du champ.
Voir la correction
a){49{,}5\times19{,}5 \leqslant A \leqslant 50{,}5\times20{,}5} soit \mathbf{965{,}25\leqslant A\leqslant1035{,}25} m².

Exercice 18 : Majorant et minorant (autre exemple) ⭐⭐ Intermédiaire

  1. Donner un majorant et un minorant de E=[-4\,;9[.
Voir la correction
a)Majorant : 9 (ou plus) ; minorant : -4 (ou moins).

Exercice 19 : Intersection d'intervalles ⭐⭐ Intermédiaire

Déterminer [-3\,;\,4] \cap [1\,;\,7].
Voir la correction
L'intersection est formée des réels appartenant aux deux intervalles : \mathbf{[1\,;\,4]}

Exercice 20 : Réunion d'intervalles ⭐⭐ Intermédiaire

Déterminer \,]-\infty\,;\,2] \cup [0\,;\,+\infty[.
Voir la correction
Les deux intervalles se recouvrent (ils partagent [0\,;\,2]) et couvrent toute la droite : \mathbf{\mathbb{R}}

Exercice 21 : Encadrement d'une somme et d'un produit ⭐⭐⭐ Difficile

On donne {3 \leqslant x \leqslant 5} et {2 \leqslant y \leqslant 4}.
  1. Encadrer x+y.
  2. Encadrer xy.
Voir la correction
a)\mathbf{5\leqslant x+y\leqslant9}
b)\mathbf{6\leqslant xy\leqslant20}

Exercice 22 : Système d'inéquations ⭐⭐⭐ Difficile

  1. Résoudre \begin{cases}x>-2\\x\leqslant6\end{cases}.
Voir la correction
a)\mathcal S = \mathbf{]-2\,;6]}

Exercice 23 : Inéquation avec valeur absolue (variante) ⭐⭐⭐ Difficile

  1. Résoudre |2x-1|\leqslant7.
Voir la correction
a)\begin{aligned}-7 \leqslant 2x-1 \leqslant 7 &\iff -6 \leqslant 2x \leqslant 8 \\ &\iff -3 \leqslant x \leqslant 4\end{aligned} \mathcal S=[-3\,;4]

Exercice 24 : Équations avec valeur absolue ⭐⭐⭐ Difficile

Résoudre.
  1. |x| = 5
  2. |x - 3| = 2
Voir la correction
a)|x| = 5 \;\Rightarrow\; \mathbf{x = 5 \text{ ou } x = -5}
b)x - 3 = 2 ou x - 3 = -2, d'où \mathbf{x = 5 \text{ ou } x = 1}

Exercice 25 : Encadrement ⭐⭐⭐ Difficile

On sait que {2 \leqslant x \leqslant 5} Encadrer 3x - 1.
Voir la correction
On multiplie par 3 : {6 \leqslant 3x \leqslant 15} puis on retranche 1 : \mathbf{5 \leqslant 3x - 1 \leqslant 14}

Exercice 26 : Problème de repérage ⭐⭐⭐⭐ Expert

Sur une droite graduée, A a pour abscisse -6 et B pour abscisse 2.
  1. Calculer la distance AB et le milieu de [AB].
Voir la correction
a)\begin{aligned}AB &= |2-(-6)|\\ &= 8\end{aligned} ; milieu \begin{aligned} &= \dfrac{-6+2}{2}\\ &= \mathbf{-2}\end{aligned}

Exercice 27 : Inéquation avec valeur absolue ⭐⭐⭐⭐ Expert

Résoudre |x - 3| \leqslant 2 et interpréter le résultat.
Voir la correction
\begin{aligned}|x-3| \leqslant 2 \; &\Leftrightarrow \; -2 \leqslant x - 3 \leqslant 2 \; \\ &\Leftrightarrow \; 1 \leqslant x \leqslant 5\end{aligned}
Ensemble des solutions : \mathbf{[1\,;\,5]} : les réels à distance au plus 2 de 3.

Exercice 28 : Distance sur la droite ⭐⭐⭐⭐ Expert

Déterminer l'ensemble des réels x dont la distance à 2 est strictement inférieure à 3.
Voir la correction
Cela s'écrit \begin{aligned}|x - 2| < 3 \; &\Leftrightarrow \; -3 < x - 2 < 3 \; \\ &\Leftrightarrow \; -1 < x < 5\end{aligned}
Ensemble : \mathbf{\,]-1\,;\,5[}

Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.