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Fiche d'exercices Logimaths

Vecteurs et repérage

Coordonnées, milieu et norme : Niveau 2nde.

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Exercice 1 : Coordonnées d'un vecteur et milieu ⭐ Facile

On donne A(2\,;-1) et B(-3\,;4) dans un repère.
  1. Calculer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{AB}.
  2. Calculer les coordonnées du milieu I du segment [AB].
Voir la correction
a)\overrightarrow{AB}\big(x_B-x_A\,;y_B-y_A\big) = \mathbf{(-5\,;5)}
b)\begin{aligned}I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\dfrac{y_A+y_B}{2}\right) &= \left(\dfrac{2-3}{2}\,;\dfrac{-1+4}{2}\right)\\ &= \mathbf{\left(-0{,}5\,;1{,}5\right)}\end{aligned}

Exercice 2 : Norme d'un vecteur ⭐ Facile

On donne le vecteur \vec u(3\,;4) et le point A(1\,;2).
  1. Calculer la norme \|\vec u\|.
  2. Déterminer les coordonnées du point B tel que \overrightarrow{AB} = \vec u.
  3. Calculer la longueur AB et comparer avec \|\vec u\|.
Voir la correction
a)\begin{aligned}\|\vec u\| &= \sqrt{3^2+4^2}\\ &= \sqrt{25}\\ &= \mathbf{5}\end{aligned}
b)B(1+3\,;2+4) = \mathbf{B(4\,;6)}
c)\begin{aligned}AB &= \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}\\ &= \sqrt{9+16}\\ &= \sqrt{25}\\ &= 5\end{aligned}. On retrouve bien \begin{aligned}AB &= \|\vec u\|\\ &= \mathbf{5}\end{aligned} (la longueur AB est la norme du vecteur \overrightarrow{AB}).

Exercice 3 : Point symétrique ⭐ Facile

B est le symétrique de A(2;5) par rapport à I(4;1).
  1. Trouver les coordonnées de B.
Voir la correction
a)\begin{aligned}x_B &= 2\times4-2\\ &= 6\end{aligned}, \begin{aligned}y_B &= 2\times1-5\\ &= -3\end{aligned} : B\mathbf{(6;-3)}

Exercice 4 : Repère orthonormé ⭐ Facile

  1. Expliquer pourquoi la formule {AB=\sqrt{x^2+y^2}} ne peut pas être utilisée dans un repère quelconque.
Voir la correction
a)Cette formule suppose des axes perpendiculaires avec la même unité (repère orthonormé) ; dans un repère quelconque, elle ne donne pas la vraie longueur.

Exercice 5 : Symétrique d'un point ⭐ Facile

  1. Donner les coordonnées du symétrique de A(3;-2) par rapport à l'origine.
Voir la correction
a)A'\mathbf{(-3;2)}

Exercice 6 : Comparer deux distances ⭐ Facile

A(0;0), B(3;4), C(1;1).
  1. Comparer AB et AC.
Voir la correction
a)AB=5 et AC=\sqrt2 : B est plus éloigné de A que C

Exercice 7 : Vecteurs et translation en coordonnées ⭐ Facile

  1. Trouver l'image de M(3;-2) par la translation de vecteur (4;5).
Voir la correction
a)M'\mathbf{(7;3)}

Exercice 8 : Coordonnées d'un vecteur ⭐ Facile

Avec A(1\,;\,2) et B(4\,;\,6), calculer les coordonnées de \overrightarrow{AB}.
Voir la correction
\begin{aligned}\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A\,;\,y_B - y_A) &= (4-1\,;\,6-2)\\ &= \mathbf{(3\,;\,4)}\end{aligned}

Exercice 9 : Somme de deux vecteurs ⭐ Facile

Calculer les coordonnées de \vec{u} + \vec{v} avec \vec{u}\,(2\,;\,3) et \vec{v}\,(1\,;\,-4).
Voir la correction
(2+1\,;\,3+(-4)) = \mathbf{(3\,;\,-1)}

Exercice 10 : Coordonnées d'une combinaison linéaire ⭐⭐ Intermédiaire

On donne \vec u(3;-2) et \vec v(1;4).
  1. Calculer les coordonnées de 2\vec u-\vec v.
Voir la correction
a)\begin{aligned}2\vec u-\vec v &= (2\times3-1\,;2\times(-2)-4)\\ &= \mathbf{(5;-8)}\end{aligned}

Exercice 11 : Démontrer un alignement ⭐⭐ Intermédiaire

On donne A(0;1), B(2;5), C(3;7).
  1. Montrer que A, B, C sont alignés.
Voir la correction
a)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}, \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix} : 2\times6-3\times4=0, donc A,B,C sont alignés.

Exercice 12 : Démontrer un parallélisme ⭐⭐ Intermédiaire

On donne A(1;1), B(3;5), C(0;2), D(2;6).
  1. Montrer que (AB)\mathbin{/\mkern-8mu/}(CD).
Voir la correction
a)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix} et \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix} sont égaux, donc colinéaires : (AB)\mathbin{/\mkern-8mu/}(CD)

Exercice 13 : Trouver un point via une relation vectorielle ⭐⭐ Intermédiaire

On donne A(2;3), B(1;0), C(4;5).
  1. Trouver D tel que \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.
Voir la correction
a)\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}, donc \begin{aligned}D &= (2+3\,;3+5)\\ &= \mathbf{(5;8)}\end{aligned}

Exercice 14 : Aire d'un triangle ⭐⭐ Intermédiaire

On donne A(0;0), B(4;0), C(1;3).
  1. Calculer l'aire du triangle ABC.
Voir la correction
a)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}, \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix} : Aire \begin{aligned} &= \dfrac12|4\times3-1\times0|\\ &= \mathbf{6}\end{aligned}

Exercice 15 : Équation de cercle ⭐⭐ Intermédiaire

  1. Donner l'équation du cercle de centre \Omega(2;-1) et de rayon 5.
Voir la correction
a)\mathbf{(x-2)^2+(y+1)^2=25}

Exercice 16 : Vecteur unitaire ⭐⭐ Intermédiaire

  1. Calculer la norme de \vec u(6;8) et donner le vecteur unitaire associé.
Voir la correction
a)\begin{aligned}\|\vec u\| &= \sqrt{36+64}\\ &= 10\end{aligned} ; vecteur unitaire \begin{aligned} &= \left(\dfrac{6}{10}\,;\dfrac{8}{10}\right)\\ &= \left(\dfrac35\,;\dfrac45\right)\end{aligned}

Exercice 17 : Point via relation vectorielle (autre exemple) ⭐⭐ Intermédiaire

\vec u(2;-3) et \vec v(1;4).
  1. Calculer les coordonnées de 3\vec u-2\vec v.
Voir la correction
a)(3\times2-2\times1\,;3\times(-3)-2\times4) = \mathbf{(4;-17)}

Exercice 18 : Périmètre d'un triangle ⭐⭐ Intermédiaire

A(0;0), B(6;0), C(0;8).
  1. Calculer le périmètre du triangle ABC.
Voir la correction
a)AB=6, AC=8, \begin{aligned}BC &= \sqrt{36+64}\\ &= 10\end{aligned} ; périmètre =\mathbf{24}

Exercice 19 : Alignement (méthode du coefficient directeur) ⭐⭐ Intermédiaire

A(0;1), B(2;5), C(4;9).
  1. Montrer que A,B,C sont alignés en comparant les coefficients directeurs de (AB) et (AC).
Voir la correction
a)Coefficient de (AB) : \dfrac{5-1}{2-0}=2 ; coefficient de (AC) : \dfrac{9-1}{4-0}=2 : mêmes coefficients, donc A,B,C alignés.

Exercice 20 : Milieu d'un segment ⭐⭐ Intermédiaire

Déterminer les coordonnées du milieu M de [AB] avec A(1\,;\,2) et B(5\,;\,8).
Voir la correction
M\left(\dfrac{1+5}{2}\,;\,\dfrac{2+8}{2}\right) = \mathbf{(3\,;\,5)}

Exercice 21 : Multiplier un vecteur ⭐⭐ Intermédiaire

Calculer les coordonnées de 3\vec{u} avec \vec{u}\,(2\,;\,-1).
Voir la correction
3\vec{u}\,(3\times 2\,;\,3\times(-1)) = \mathbf{(6\,;\,-3)}

Exercice 22 : Nature d'un triangle ⭐⭐⭐ Difficile

A(1;1), B(4;1), C(1;5).
  1. Montrer que le triangle ABC est rectangle.
Voir la correction
a)AB=3, AC=4, \begin{aligned}BC &= \sqrt{9+16}\\ &= 5\end{aligned} ; \begin{aligned}AB^2+AC^2 &= 9+16\\ &= 25\\ &= BC^2\end{aligned} : le triangle est rectangle en A.

Exercice 23 : Nature d'un quadrilatère ⭐⭐⭐ Difficile

A(0;0), B(4;0), C(5;3), D(1;3).
  1. Montrer que ABCD est un parallélogramme.
Voir la correction
a)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix} et \overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix} sont égaux : ABCD est un parallélogramme.

Exercice 24 : Colinéarité ⭐⭐⭐ Difficile

Les vecteurs \vec{u}\,(2\,;\,3) et \vec{v}\,(4\,;\,6) sont-ils colinéaires ?
Voir la correction
On teste le déterminant : \begin{aligned}x_u\, y_v - y_u\, x_v &= 2\times 6 - 3\times 4\\ &= 0\end{aligned}
Le déterminant est nul : \mathbf{\vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires.}}

Exercice 25 : Distance entre deux points ⭐⭐⭐ Difficile

Calculer AB avec A(1\,;\,2) et B(4\,;\,6).
Voir la correction
\begin{aligned}AB &= \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2}\\ &= \sqrt{9 + 16}\\ &= \sqrt{25}\\ &= \mathbf{5}\end{aligned}

Exercice 26 : Problème complet de géométrie repérée ⭐⭐⭐⭐ Expert

A(1;2), B(5;2), C(5;6), D(1;6).
  1. Montrer que ABCD est un carré.
Voir la correction
a)\begin{aligned}AB &= CD\\ &= 4\end{aligned}, \begin{aligned}BC &= AD\\ &= 4\end{aligned}, et \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}, \overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix} sont perpendiculaires (produit des coefficients directeurs indéterminé mais vecteurs orthogonaux car 4\times0+0\times4=0) : ABCD est un carré.

Exercice 27 : Quatrième sommet d'un parallélogramme ⭐⭐⭐⭐ Expert

Soit A(1\,;\,1), B(4\,;\,2), C(2\,;\,5). Déterminer D tel que ABDC soit un parallélogramme, c'est-à-dire \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.
Voir la correction
\overrightarrow{AB}\,(3\,;\,1). On veut \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}, donc \begin{aligned}D &= C + \overrightarrow{AB}\\ &= (2+3\,;\,5+1)\end{aligned}
\mathbf{D(5\,;\,6)}

Exercice 28 : Points alignés ⭐⭐⭐⭐ Expert

Les vecteurs \vec{u}\,(3\,;\,-2) et \vec{v}\,(-6\,;\,4) sont-ils colinéaires ? Que peut-on en déduire pour trois points A, B, C tels que \overrightarrow{AB} = \vec{u} et {\overrightarrow{AC} = \vec{v}} ?
Voir la correction
Déterminant : \begin{aligned}3\times 4 - (-2)\times(-6) &= 12 - 12\\ &= 0\end{aligned} : les vecteurs sont colinéaires.
Comme \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires, les points \mathbf{A, B, C \text{ sont alignés.}}

Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.