Fiche de cours Logimaths

Fiche de cours : Les vecteurs

Définition, somme, colinéarité

I. Définition

Définition Un vecteur \overrightarrow{AB} représente la translation qui transforme A en B. Il est caractérisé par :

une direction (celle de la droite (AB)) ;
un sens (de A vers B) ;
une longueur, notée AB ou \|\overrightarrow{AB}\|.

II. Égalité de vecteurs

Théorème \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} si et seulement si ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Remarque : Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur (peu importe leur position dans le plan).

III. Somme de vecteurs

Théorème Relation de Chasles. Pour tous points A,B,C : \quad \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

Propriété Le vecteur nul \vec 0 vérifie \overrightarrow{AA} = \vec 0. L'opposé de \overrightarrow{AB} est \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}.

Méthode Pour construire la somme \vec u + \vec v : placer \vec v à la suite de \vec u (bout à bout), le vecteur somme relie l'origine de \vec u à l'extrémité de \vec v.

Construction bout à bout : \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} (relation de Chasles).

IV. Multiplication par un réel

Définition Pour k réel, k\vec u est le vecteur de même direction que \vec u, de longueur |k| fois celle de \vec u, de même sens que \vec u si k>0, de sens opposé si k<0.

V. Vecteurs colinéaires

Définition Deux vecteurs \vec u et \vec v (non nuls) sont colinéaires s'il existe un réel k tel que \vec v = k\vec u.

Propriété Deux vecteurs colinéaires ont la même direction (ils sont parallèles). Cela permet de démontrer que des points sont alignés ou que des droites sont parallèles.

Méthode Pour montrer que A,B,C sont alignés : montrer que \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires.

VI. Différence de vecteurs

Définition \vec u - \vec v = \vec u + (-\vec v). Pour deux points A,B,C : \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}.

VII. Relation du milieu

Propriété I est le milieu de [AB] si et seulement si \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}, ou encore {\overrightarrow{MI}=\dfrac12\big(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\big)} pour tout point M.

VIII. Décomposition d'un vecteur

Méthode Pour décomposer un vecteur en une somme d'autres vecteurs, insérer des points intermédiaires et appliquer plusieurs fois la relation de Chasles.

Exemple : \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}.

IX. Parallélogramme et vecteurs

Théorème ABDC est un parallélogramme si et seulement si \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.

X. Vecteurs et translation

Définition La translation de vecteur \vec u transforme un point M en le point M' tel que \overrightarrow{MM'}=\vec u.

XI. Combinaison linéaire de deux vecteurs

Définition Un vecteur \vec w est une combinaison linéaire de \vec u et \vec v s'il existe des réels a,b tels que \vec w = a\vec u + b\vec v.

XII. Démontrer un parallélogramme

Méthode Pour démontrer que ABDC est un parallélogramme, calculer \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} et vérifier qu'ils sont égaux.

XIII. Vecteurs et centre de gravité

Propriété Le centre de gravité G d'un triangle ABC vérifie \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0.

XIV. Vecteurs et milieu (démonstration)

Méthode Pour démontrer que I est le milieu de [AB] à l'aide des vecteurs, montrer que \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB} (ou que \overrightarrow{AI}=\dfrac12\overrightarrow{AB}).

XV. Construire la différence de deux vecteurs

Méthode Pour construire \vec u-\vec v, tracer \vec u et l'opposé de \vec v (même longueur, sens contraire) puis les additionner bout à bout.

XVI. Vecteurs égaux et quadrilatère

Théorème ABCD est un parallélogramme si et seulement si \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} (attention à l'ordre des sommets, différent de celui utilisé pour \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}).

XVII. Somme de plusieurs vecteurs

Méthode Pour additionner plusieurs vecteurs \vec u_1+\vec u_2+\cdots+\vec u_n, les placer bout à bout dans n'importe quel ordre : le vecteur somme relie l'origine du premier à l'extrémité du dernier.

XVIII. Vecteur et symétrie centrale

Propriété M' est le symétrique de M par rapport à un point O si et seulement si {\overrightarrow{OM'}=-\overrightarrow{OM}}.

XIX. Prouver que deux droites sont parallèles avec les vecteurs

Méthode Pour montrer (AB)\parallel(CD), montrer que \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires (l'un est un multiple de l'autre).

XX. Combinaison linéaire et alignement

Méthode Si \overrightarrow{AM}=a\vec u+b\vec v où \vec u,\vec v ne sont pas colinéaires, alors M est déterminé de façon unique par le couple (a,b) : c'est le principe des coordonnées dans un repère.

XXI. Vecteurs et translation composée

Remarque : Composer deux translations successives de vecteurs \vec u puis \vec v revient à une seule translation de vecteur \vec u+\vec v.

XXII. Démontrer une égalité vectorielle par Chasles

Méthode Pour démontrer une égalité entre vecteurs, faire apparaître des points intermédiaires bien choisis et appliquer plusieurs fois la relation de Chasles jusqu'à obtenir l'expression voulue.

Exemple : Montrer \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB} : en écrivant \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB} et en réorganisant, on retrouve l'égalité voulue.

XXIII. Vecteurs colinéaires et point sur une droite

Propriété M appartient à la droite (AB) si et seulement si \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{AB} sont colinéaires.

XXIV. Vecteur unitaire (introduction)

Remarque : Un vecteur \vec u non nul peut toujours être associé à un vecteur de même direction et de longueur 1, obtenu en divisant \vec u par sa norme (notion approfondie avec les coordonnées).

XXV. Résoudre un problème de construction avec vecteurs

Exemple : Construire E tel que \overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} : on place d'abord 2\overrightarrow{AB} à partir de A, puis on retranche \overrightarrow{AC} (translation en sens inverse).

XXVI. Bilan sur les vecteurs

Remarque : Retenir les trois outils fondamentaux : la relation de Chasles (décomposer/recomposer), la colinéarité (alignement, parallélisme) et l'égalité de vecteurs (parallélogramme).