nombres réels : tous les nombres vus jusqu'en classe de Seconde
On a l'inclusion \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.
Remarque (d'où viennent les lettres ?) : \mathbb{Z} vient de l'allemand Zahlen (« nombres ») et \mathbb{Q} de l'italien quoziente (« quotient », car un rationnel est un quotient). \mathbb{N} vient de « naturels », \mathbb{D} de « décimaux » et \mathbb{R} de « réels ».
Remarque : \sqrt2, \pi sont des réels mais pas des rationnels (nombres irrationnels) : leur écriture décimale est infinie et non périodique.
Chaque ensemble est inclus dans le suivant : {\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb D \subset \mathbb Q \subset \mathbb R}.
II. Reconnaître le plus petit ensemble d'un nombre
Remarque : à cause de l'inclusion {\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb D \subset \mathbb Q \subset \mathbb R}, un nombre appartient toujours à plusieurs ensembles à la fois (par exemple, \dfrac34 est décimal, donc aussi rationnel, donc aussi réel). Le parcours ci-dessous permet de trouver le plus petit ensemble auquel il appartient.
Remarque : « chiffres après la virgule » et « décimales » désignent la même chose : un nombre fini de chiffres après la virgule, c'est un nombre fini de décimales.
MéthodeAnalyse de surface : l'écriture d'un nombre donne des indices sur son plus petit ensemble d'appartenance.
Le nombre a-t-il une virgule ? Si non (c'est un entier), est-il positif ou nul, ou négatif ? Positif ou nul \Rightarrow \mathbb N ; négatif \Rightarrow \mathbb Z.
Sinon, a-t-il une virgule suivie d'un nombre fini de chiffres ? \Rightarrow \mathbb D.
Sinon (nombre infini de chiffres après la virgule) : y a-t-il une répétition (motif) ? \Rightarrow \mathbb Q ; sinon (pas de répétition) \Rightarrow \mathbb R.
Parcours de reconnaissance : à partir de l'écriture d'un nombre, on remonte les questions jusqu'à trouver son ensemble.
🖱️ À toi de jouer !
Choisis un nombre, puis réponds aux questions : regarde le schéma s'illuminer au fil de tes réponses.
☝️ Regarde le schéma qui s'illumine là-haut !
Exemple :
7 : pas de virgule, positif \Rightarrow 7\in\mathbb N.
-8 : pas de virgule, négatif {\Rightarrow -8\in\mathbb Z}.
\begin{aligned}\dfrac23 &= 0{,}666\ldots \\ &= 0{,}\overline{6}\end{aligned} : virgule, décimales infinies avec répétition (motif : le chiffre 6) {\Rightarrow \dfrac23\in\mathbb Q}.
\pi : décimales infinies sans répétition (aucun motif) \Rightarrow \pi\in\mathbb R.
Remarque (approfondissement du programme de Seconde) :
Quand un chiffre (ou un bloc de chiffres) se répète à l'infini après la virgule, la vraie notation mathématique est une barre au-dessus de ce qui se répète.
0{,}\overline{3} = 0{,}333\ldots
0{,}\overline{6} = 0{,}666\ldots
0{,}\overline{142857} = 0{,}142857142857\ldots
Le bloc qui se répète s'appelle la période.
La répétition peut aussi commencer plus loin que la première décimale : 2{,}5123123123\ldots = 2{,}5\overline{123} (seul le bloc 123 se répète, le 5 n'en fait pas partie).
⚠️ Cas particulier des 9 répétés à l'infini, non vu en classe de Seconde (Hors Programme)
Un nombre dont l'écriture se termine par des 9 répétés à l'infini est égal au nombre décimal « propre » juste au-dessus : les 9 infinis font remonter d'un cran le chiffre placé juste avant, et tout le reste disparaît.
Au passage : \begin{aligned}0{,}99999\ldots &= 0{,}9999999999999\ldots \\ &= 0{,}\overline{9}\end{aligned} Peu importe le nombre de 9 que l'on écrit avant les points de suspension, ces écritures désignent le même nombre (les 9 continuent à l'infini), c'est-à-dire 1.
En revanche \begin{aligned}0{,}999999 &\neq 0{,}999999\ldots \\ &= 0{,}\overline{9}\end{aligned} (même avec le même nombre de 9 écrits) : sans les points de suspension, l'écriture s'arrête et le nombre est un peu plus petit que 1 ; avec la barre ou les points de suspension, les 9 continuent à l'infini et le nombre vaut 1.
De la même manière, \pi \neq 3{,}14 : 3,14 n'est qu'une valeur approchée de {\pi = 3{,}14159\ldots}
Le résultat n'est pas forcément un entier.
C'est un entier seulement si la remontée va jusqu'à la virgule :
0{,}\overline{9} = 1
2{,}\overline{9} = 3
9{,}\overline{9} = 10
Sinon c'est un décimal fini, non entier : 0{,}4\overline{9} = 0{,}5 ou 7{,}2\overline{9} = 7{,}3.
Deux conditions pour que la méthode précédente marche :
il faut vraiment une infinité de 9 : 0{,}9999998 s'arrête sur un 8, ce n'est donc qu'un nombre un peu plus petit que 1 ;
il faut le chiffre 9 et pas un autre : \begin{aligned}0{,}\overline{3} &= 0{,}333\ldots \\ &= \dfrac13\end{aligned} et \begin{aligned}0{,}\overline{8} &= 0{,}888\ldots \\ &= \dfrac89\end{aligned} sont rationnels, pas décimaux. Seul le 9, le plus grand chiffre en base 10, « rejoint » le décimal du dessus.
Conséquence pour le parcours de reconnaissance : un nombre terminé par des 9 infinis est en réalité un DÉCIMAL (parfois même un entier), alors que son écriture semble infinie. Avant de classer un nombre, on le met donc toujours sous sa forme la plus simple.
À retenir : ce cas étant hors programme, aucun nombre ayant une infinité de décimales égales à 9 (du type 0{,}\overline{9}) ne te sera proposé en contrôle. C'est juste pour ta culture !
Nombre périodique → fraction : la méthode (Hors Programme)
Tout nombre périodique est un rationnel : on peut toujours l'écrire sous forme de fraction. L'astuce consiste à décaler la virgule pour faire disparaître la partie qui se répète. Exemple avec \begin{aligned}a &= 0{,}\overline{4} \\ &= 0{,}444\ldots\end{aligned}
La période fait 1 chiffre : on multiplie par 10.
On soustrait la ligne de départ : les décimales, identiques, s'annulent.
Il reste 9\,a = 4, donc a = \dfrac{4}{9}. Ainsi 0{,}\overline{4} = \dfrac{4}{9}.
Si la période est plus longue, on multiplie par la puissance de 10 correspondante :
période de 1 chiffre \Rightarrow \times 10 : 0{,}\overline{7} = \dfrac{7}{9} ;
période de 2 chiffres \Rightarrow \times 100 : 0{,}\overline{12} = \dfrac{12}{99} ;
période de 3 chiffres \Rightarrow \times 1000 : 0{,}\overline{123} = \dfrac{123}{999}.
Exemple complet avec une période de 2 chiffres : \begin{aligned}b &= 0{,}\overline{27} \\ &= 0{,}272727\ldots\end{aligned} La période fait 2 chiffres, on multiplie donc par 100.
Donc \begin{aligned}b &= \dfrac{27}{99} \\ &= \dfrac{3}{11}\end{aligned} (on simplifie par 9). Ainsi 0{,}\overline{27} = \dfrac{3}{11}.
III. Justifier l'appartenance à un ensemble
Méthode
Pour prouver qu'un nombre est décimal, on l'écrit sous la forme \dfrac{a}{10^n} avec a\in\mathbb Z et n\in\mathbb N.
Exemple :
0{,}57
= \dfrac{57}{100}
= \dfrac{57}{10^2}
57\in\mathbb Z et 2\in\mathbb N, donc 0{,}57\in\mathbb D.
Méthode
Pour une fraction\dfrac ab, la mettre sous forme irréductible (décomposer numérateur et dénominateur en produits de facteurs premiers, puis simplifier).
Si le dénominateur contient un facteur premier autre que 2 ou 5 : la fraction n'appartient pas à \mathbb D.
Sinon (le dénominateur ne contient que des 2 et/ou des 5) : multiplier numérateur et dénominateur pour équilibrer les puissances de 2 et de 5, afin d'obtenir un dénominateur de la forme 10^n (avec {a^p\times b^p=(a\times b)^p}).
Exemple :\dfrac3{20}=\dfrac{3}{2^2\times5} : le dénominateur ne contient que des 2 et des 5 (2^2 et 5^1). On multiplie par 5 pour équilibrer (il faut qu'il y ait autant de 2 que de 5) :
\dfrac3{20}
= \dfrac{3\times5}{2^2\times5\times5}
= \dfrac{15}{2^2\times5^2}
= \dfrac{15}{(2\times5)^2}
= \dfrac{15}{10^2}=0{,}15
Donc \dfrac3{20}\in\mathbb D.
Méthode
Pour prouver qu'un nombre est rationnel, on l'écrit sous forme irréductible \dfrac ab. S'il vérifie a\in\mathbb Z et b\in\mathbb Z^*, alors il appartient à \mathbb Q.
Exemple :\dfrac5{12} : 12=2^2\times3 contient un facteur 3, donc \dfrac5{12}\notin\mathbb D. La fraction est déjà irréductible, avec 5\in\mathbb Z et 12\in\mathbb Z^*, donc \dfrac5{12}\in\mathbb Q.
Méthode
Pour prouver qu'un nombre est irrationnel, on montre qu'il est impossible de l'écrire sous la forme \dfrac ab avec a\in\mathbb Z et b\in\mathbb Z^* (admis pour \pi ; pour \sqrt2, la démonstration est faite en partie VI).
Remarque : la racine carrée d'un nombre premier est toujours un nombre irrationnel : son écriture décimale possède une infinité de chiffres après la virgule, sans répétition (de manière aléatoire).
Remarque : \pi \approx 3{,}14 et e \approx 2{,}718 sont même des nombres transcendants : non seulement ils sont irrationnels, mais ils ne peuvent être solution d'aucune équation à coefficients entiers (contrairement à \sqrt2, irrationnel mais solution de x^2 = 2).
🎮 À toi de jouer : coche les ensembles !
Tape dans les cases pour cocher TOUS les ensembles auxquels chaque nombre appartient. Rappel : {\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R}, donc dès que le plus petit ensemble est trouvé, tout ce qui suit se coche aussi.
N
Z
D
Q
R
👀
IV. Décimaux et rationnels : exemples
Exemple :
\begin{aligned}\dfrac13 &= 0{,}333\ldots \\ &= 0{,}\overline{3}\end{aligned} est rationnel mais pas décimal (un nombre infini de chiffres après la virgule, de manière répétée).
0{,}75=\dfrac34 est décimal et rationnel.
V. Nombres décimaux : contre-exemple
Exemple :\begin{aligned}\dfrac17 &= 0{,}142857142857\ldots \\ &= 0{,}\overline{142857}\end{aligned} est rationnel mais pas décimal (écriture périodique infinie, jamais nulle).
VI. Deux démonstrations à connaître
Ces deux démonstrations sont exigibles en seconde : elles peuvent tomber telles quelles en devoir. Elles utilisent le même outil, le raisonnement par l'absurde.
Le raisonnement par l'absurde
Pour montrer qu'une chose est impossible, on commence par faire semblant d'y croire :
on suppose le contraire de ce qu'on veut montrer ;
on calcule normalement, jusqu'à tomber sur une absurdité (une phrase manifestement fausse) ;
le calcul étant juste, l'absurdité ne peut venir que de la supposition de départ : elle était donc fausse.
Conclusion : ce qu'on voulait montrer est vrai.
1. Un tiers n'est pas un nombre décimal
Propriété\dfrac13 \notin \mathbb D : aucune écriture décimale finie ne vaut exactement un tiers.
Remarque : écrire 0{,}333\ldots ne suffit pas à le prouver. Les points de suspension disent qu'on n'a pas fini d'écrire, pas qu'il est impossible de finir. Il faut une vraie démonstration.
Un décimal, c'est un partage en 10, 100, 1 000... parts. On peut en donner trois parts égales (en bleu), mais il reste toujours une part (en rose) : un tiers ne tombe jamais juste. La part qui reste est grossie pour rester visible.
DémonstrationSupposons que \dfrac13 soit décimal.
Alors il existe a\in\mathbb Z et n\in\mathbb N tels que :
\dfrac13
= \dfrac{a}{10^n}
En multipliant en croix :
10^n
= 3a
Le nombre 3a est divisible par 3, donc 10^n devrait être divisible par 3.
Or 10^n s'écrit 1\,\underbrace{00\ldots0}_{n\ \text{zéros}} : la somme de ses chiffres vaut 1+0+\ldots+0 = 1, et 1 n'est pas divisible par 3. D'après le critère de divisibilité par 3, 10^n n'est donc pas divisible par 3.
Les deux phrases se contredisent : c'est l'absurdité. La supposition de départ était donc fausse.
Conclusion :\dfrac13\notin\mathbb D. En revanche \dfrac13\in\mathbb Q, puisque 1\in\mathbb Z et 3\in\mathbb Z^*.
Remarque : la même démonstration marche pour toute fraction irréductible dont le dénominateur contient un facteur premier autre que 2 ou 5 (c'est le critère de la partie III).
À toi : montre que \dfrac16 n'est pas décimal
Supposons \dfrac16=\dfrac{a}{10^n} avec a\in\mathbb Z et n\in\mathbb N.
En multipliant en croix : \begin{aligned}10^n &= 6a \\ &= 3\times(2a)\end{aligned} donc 10^n serait divisible par 3.
Or la somme des chiffres de 10^n vaut 1 : 10^n n'est pas divisible par 3. Absurde.
Donc \dfrac16\notin\mathbb D.
2. \sqrt2 est un nombre irrationnel
Propriété\sqrt2 \notin \mathbb Q : il est impossible d'écrire \sqrt2 sous la forme d'une fraction de deux entiers.
Cette longueur existe, on peut la dessiner : c'est la diagonale d'un carré de côté 1. Et pourtant, aucune fraction ne la donne exactement.
DémonstrationSupposons que \sqrt2 soit rationnel.
Alors on peut l'écrire \sqrt2=\dfrac ab sous forme irréductible (a\in\mathbb Z, b\in\mathbb Z^*, la fraction est déjà simplifiée au maximum : a et b ne sont pas tous les deux pairs).
En élevant au carré : 2=\dfrac{a^2}{b^2}, donc a^2=2b^2.
Donc a^2 est pair, donc a est pair (voir le lemme ci-dessous). On peut alors écrire a=2k avec k\in\mathbb Z.
En remplaçant : (2k)^2=2b^2, c'est-à-dire 4k^2=2b^2, donc b^2=2k^2.
Donc b^2 est pair, donc b est pair.
a et b sont donc tous les deux pairs, alors que la fraction était irréductible : c'est l'absurdité.
Conclusion :\sqrt2 ne peut pas s'écrire comme une fraction d'entiers, donc \sqrt2\notin\mathbb Q. C'est un irrationnel.
Le lemme utilisé : pourquoi a^2 pair entraîne-t-il a pair ?
On montre la contraposée : si a est impair, alors a^2 est impair.
Au fait, une contraposée, c'est quoi ?
La contraposée de « si A, alors B », c'est « si B est faux, alors A est faux ».
Les deux phrases disent exactement la même chose : démontrer l'une, c'est démontrer l'autre. On choisit donc celle qui se calcule le plus facilement.
Dans la vie courante : « s'il pleut, le sol est mouillé » revient à dire « si le sol est sec, c'est qu'il ne pleut pas ».
Ici : « si a^2 est pair, alors a est pair » revient à « si a est impair, alors a^2 est impair ». C'est cette version qu'on démontre, parce qu'un nombre impair s'écrit 2k+1 : on peut calculer avec.
À ne pas confondre avec la réciproque « si B, alors A », qui, elle, n'a aucune raison d'être vraie.
Si a est impair, il s'écrit a=2k+1 avec k\in\mathbb Z. Alors :
a^2
= (2k+1)^2
= 4k^2+4k+1
= 2(2k^2+2k)+1
a^2 est donc de la forme 2\times(\text{entier})+1 : il est impair.
Autrement dit : dès que a^2 est pair, a ne peut pas être impair, donc a est pair.
VII. Comparer un réel et une fraction
Méthode
Pour comparer un réel x à une fraction \dfrac ab, comparer bx et a (en faisant attention au signe de b).
Exemple :x=1{,}6 et \dfrac85=1{,}6 : les deux nombres sont égaux.
VIII. Intervalles
Propriété
Intervalle
Signification
[a\,;b]
{a \leqslant x \leqslant b}
[a\,;b[
{a \leqslant x < b}
]a\,;b]
{a < x \leqslant b}
]a\,;b[
{a < x < b}
[a\,;+\infty[
x \geqslant a
]-\infty\,;a]
x \leqslant a
Un crochet tourné vers la borne inclut celle-ci ; un crochet tourné à l'opposé l'exclut.
IX. Repérage sur une droite graduée
Définition
Sur une droite graduée munie d'une origine et d'une unité, tout point est repéré par un unique réel appelé son abscisse.
X. Réunion et intersection d'intervalles
DéfinitionI\cup J contient les éléments de Iou de J ; I\cap J contient les éléments communs à I et J.
Hachures rouges (/) : appartient à I. Hachures vertes (\backslash) : appartient à J. Pour \cup, les 3 carrés comptent (au moins une couleur) ; pour \cap, seul le carré avec les deux couleurs superposées compte.
Remarque : dans le langage courant, « ou » est souvent exclusif (si tu demandes un pull rouge ou vert, un pull rouge et vert ne convient pas). En mathématiques, le « ou » (\cup) est inclusif : « appartenir à I ou à J » inclut aussi le cas où l'on appartient aux deux à la fois.
I=[9\,;11] en rouge, J=[10\,;13] en vert. La zone doublement hachurée (de 10 à 11) est I\cap J ; toute la zone couverte par au moins une des deux couleurs (de 9 à 13) est I\cup J.
M ∈ IM ∈ J
Mission :
Attrape le point M ou les quatre bornes et déplace-les.
Compte les couleurs qui recouvrent M : aucune, une seule, ou les deux.
Rouge = dans I,
vert = dans J.
Exemple :
[9\,;11]\cap[10\,;13]=[10\,;11].
[9\,;11]\cup[10\,;13]=[9\,;13].
XI. Union et intersection : cas disjoints
I=[1\,;2] en rouge, J=[5\,;7] en vert : aucune zone commune, les hachures ne se croisent jamais {\Rightarrow I\cap J=\emptyset}.
[1\,;2]\cup[5\,;7] reste une réunion de deux intervalles disjoints.
XII. Ensemble des solutions d'un système d'inéquations
Méthode
Pour résoudre un système d'inéquations, résoudre chaque inéquation séparément puis prendre l'intersection des ensembles de solutions obtenus.
I (rouge) : x>1, borne 1 exclue. J (vert) : x\leqslant5, borne 5 incluse. La zone doublement hachurée est I\cap J=\mathcal S=\,]1\,;5].
Exemple :\begin{cases}x>1\\x\leqslant5\end{cases} \Rightarrow \mathcal S = \,]1\,;5].
XIII. Encadrement, approximation
MéthodeEncadrer un réel x à 10^{-n} près : trouver deux décimaux a et b tels que {a \leqslant x \leqslant b} avec b-a=10^{-n}.
L'arrondi au dixième, centième, etc. se fait selon les règles usuelles d'arrondi.
XIV. Encadrement d'une somme et d'un produit
Propriété
Si {a \leqslant x \leqslant b} et {c \leqslant y \leqslant d} alors {a+c \leqslant x+y \leqslant b+d}
Pour un produit, il faut être vigilant au signe des bornes.
Exemple : Si {2 \leqslant x \leqslant 3} et {1 \leqslant y \leqslant 2} alors :
{3 \leqslant x+y \leqslant 5}
{2 \leqslant xy \leqslant 6}
XV. Utiliser les intervalles pour un domaine de définition
Exemple : Pour que \sqrt{x-2} soit définie, il faut : x-2\geqslant0, soit x\in[2\,;+\infty[.
XVI. Valeur absolue
Définition
La valeur absolue d'un réel x, notée |x|, est sa distance à 0 sur la droite graduée. Elle est définie par :
|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geqslant 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}
Propriété
Pour a,b réels : \quad |a-b| est la distance entre a et b sur la droite graduée.
Principer = \text{rayon}, c = \text{centre} |x - \text{centre}| \leqslant \text{rayon} |x - c| \leqslant r
L'ensemble des x tels que |x-c| \leqslant r forme un intervalle centré en c, de rayon r : x \in [c-r\,;c+r].
Exemple :\begin{aligned}|x-3| \leqslant 2 &\iff x \in [1\,;5]\end{aligned}
Méthode
Schéma explicatif : clique sur un cas pour voir la zone s'allumer.
|x − a| < r ⟺ a − r < x < a + r : x est à l'intérieur
|x − a| = r ⟺ x = a − r ou x = a + r : x est sur un bord
|x − a| > r ⟺ x < a − r ou x > a + r : x est à l'extérieur
XVII. Distance entre deux réels
Propriété
La distance entre a et b sur la droite graduée, notée d(a\,;b), est égale à :
d(a\,;b)
= |a-b|
= |b-a|
= d(b\,;a)
Exemple :
d(-3\,;5)
= |5-(-3)|
= 8.
🖐️ Teste avec ton doigt : la distance en direct
Touche l'axe (ou fais glisser) : le point x te suit et sa distance au centre s'affiche.
XVIII. Inéquation avec valeur absolue
Méthode
Pour résoudre |x-c|\geqslant r (r>0) : {x\leqslant c-r} ou x\geqslant c+r.
Exemple :|x-2|\geqslant3 \iff x\leqslant-1 \text{ ou } x\geqslant5.
XIX. Propriétés de la valeur absolue
Propriété
Pour tous réels a,b : |a\times b|=|a|\times|b| \left|\dfrac ab\right|=\dfrac{|a|}{|b|} (b\neq0) |a+b|\leqslant|a|+|b| (inégalité triangulaire).
Exemple :\begin{aligned}|(-3)\times4| &= |-12| \\ &= 12 \\ &= |-3|\times|4|\end{aligned}
XX. Résoudre |x-a|=r
Méthode
L'équation |x-a|=r (avec r\geqslant0) a pour solutions x=a-r et x=a+r.
Exemple :|x-5|=3 \iff x=2 \text{ ou } x=8.
XXI. Interpréter une inéquation avec valeur absolue géométriquement
Remarque : |x-a|\leqslant r signifie que x est à une distance d'au plus r de a : c'est un intervalle centré en a de rayon r.
🎮 Entraîne-toi : la valeur absolue dans tous les sens
Distance, équations, encadrements : tout tourne autour du centre et du rayon.
👉Besoin d'aide ? Ouvre le graphique et déplace x !
Déplace le point x sur l'axe.
XXII. Bilan sur les ensembles de nombres
Remarque : Retenir la chaîne d'inclusions {\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R} et savoir donner un exemple de réel appartenant à chaque ensemble mais pas au précédent.
XXIII. Pour aller plus loin...
Remarque : Notions complémentaires, presque hors programme de 2nde.
Majorant, minorant
DéfinitionM est un majorant d'un ensemble E si tout élément de E est inférieur ou égal à M. De même pour un minorant (inférieur ou égal à tout élément).
Exemple : Pour E=\,]0\,;5[ :
5 est un majorant (et 10 aussi).
0 est un minorant.
Application : marge d'erreur
Exemple : Une pièce mesure x cm avec une tolérance de 0{,}1 cm autour de 12 cm : |x-12|\leqslant0{,}1, soit x\in[11{,}9\,;12{,}1].
Complémentaire d'un intervalle
Définition
Le complémentaire d'un intervalle I dans \mathbb R est l'ensemble des réels qui n'appartiennent pas à I.
Exemple : Le complémentaire de [2\,;5] dans \mathbb R est ]-\infty\,;2[\,\cup\,]5\,;+\infty[.
Problème avec encadrement de mesures
Exemple : Un terrain rectangulaire a une longueur \ell\in[19{,}5\,;20{,}5] m et une largeur {L\in[9{,}5\,;10{,}5]} m.
Son aire est encadrée par : {19{,}5\times9{,}5 \leqslant A \leqslant 20{,}5\times10{,}5}
soit {185{,}25 \leqslant A \leqslant 215{,}25} m^2.
