Fiche de cours Logimaths

Fiche de cours : Vecteurs et repérage

Coordonnées, colinéarité et milieu

I. Repère du plan

Définition Un repère (O\,;\vec\imath,\vec\jmath) est constitué d'une origine O et de deux vecteurs non colinéaires \vec\imath, \vec\jmath. Tout point M est alors repéré par un couple de coordonnées (x\,;y) tel que \overrightarrow{OM} = x\vec\imath+y\vec\jmath.

Repère (O\,;\vec\imath,\vec\jmath) : le point M est repéré par {\overrightarrow{OM}=x\vec\imath+y\vec\jmath}, coordonnées obtenues en projetant M sur chaque axe.

II. Coordonnées d'un vecteur

Propriété Pour A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) : \quad \overrightarrow{AB}\big(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\big)

Remarque : on soustrait toujours l'arrivée moins le départ. Les coordonnées d'un vecteur ne disent pas où il est, elles disent de combien on se déplace : combien de carreaux vers la droite, combien vers le haut.

🧭 Atelier : le plan repéré, à toi de le manipuler

Attrape le point A ou le point B avec le doigt (ou la souris) et déplace-les. Le vecteur AB et ses coordonnées se recalculent en direct. Le chemin en pointillés orange montre le déplacement horizontal, puis le déplacement vertical.

🎮 À toi de jouer : les coordonnées de AB

Arrivée moins départ, coordonnée par coordonnée.

x = y =

Théorème Deux vecteurs \vec u(x;y) et \vec v(x';y') sont égaux si et seulement si x=x' et y=y'.
Somme : \vec u+\vec v\big(x+x'\,;\,y+y'\big). Produit par un réel k : k\vec u\big(kx\,;\,ky\big).

➕ Atelier animé : additionner deux vecteurs (relation de Chasles)

Déplace la pointe de u et celle de v, puis appuie sur « Glisser ». Le second vecteur vient se poser au bout du premier : la somme, c'est le chemin direct du départ à l'arrivée.

Ce que l'animation met en scène La relation de Chasles : {\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}}. On enchaîne deux déplacements ; le point du milieu, A, disparaît du résultat. En coordonnées, cela se traduit par une addition terme à terme : les abscisses avec les abscisses, les ordonnées avec les ordonnées.

✖️ Atelier : multiplier un vecteur par un nombre

Fais glisser le curseur k. Le vecteur ku s'allonge, se raccourcit, et se retourne dès que k devient négatif. Tu peux aussi déplacer la pointe de u.

k = 2

🎮 À toi de jouer : combinaison linéaire en coordonnées

On multiplie chaque coordonnée, puis on additionne coordonnée par coordonnée.

x = y =

III. Colinéarité en coordonnées

Théorème \vec u(x;y) et \vec v(x';y') sont colinéaires si et seulement si :

xy' - x'y = 0

Méthode Pour montrer que A,B,C sont alignés : calculer les coordonnées de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}, puis vérifier que xy'-x'y=0.

Exemple : \overrightarrow{AB}(2;4), \overrightarrow{AC}(3;6) : \begin{aligned}2\times6-3\times4 &= 12-12 \\ &= 0\end{aligned} Les vecteurs sont colinéaires, donc A,B,C alignés.

🔍 Atelier : le déterminant qui détecte l'alignement

Déplace les pointes de u et v. Le calcul xy′ − x′y s'affiche en direct, et il tombe à 0 exactement quand les deux vecteurs s'alignent sur la droite en pointillés. Le quadrilatère coloré, c'est le parallélogramme construit sur les deux vecteurs : son aire vaut |xy′ − x′y|, et il s'aplatit pile au moment où le déterminant s'annule.

🎮 À toi de jouer : colinéaires ou pas ?

Un seul calcul décide : le déterminant xy′ − x′y.

👆 ▶ À toi : A(-1\,;2), B(3\,;4) et C(9\,;7) sont-ils alignés ? Vérifie

1. Les deux vecteurs \overrightarrow{AB}\big(3-(-1)\,;\,4-2\big)=\overrightarrow{AB}(4\,;2)
\overrightarrow{AC}\big(9-(-1)\,;\,7-2\big)=\overrightarrow{AC}(10\,;5) 2. Le déterminant \begin{aligned}4\times5-10\times2 &= 20-20 \\ &= 0\end{aligned} 3. La conclusion Le déterminant est nul, donc \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires. Comme ils partent du même point A, les points A, B et C sont alignés.

IV. Milieu d'un segment

Propriété Le milieu I de [AB] a pour coordonnées :

I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)

Remarque : pour le milieu, on fait la moyenne (on additionne, puis on divise par 2). Pour un vecteur, on fait une différence. C'est la confusion la plus fréquente du chapitre.

🎮 À toi de jouer : milieu et symétrique

Dans un sens on prend la moyenne ; dans l'autre, on remonte avec {x_B=2x_I-x_A}.

x = y =

V. Norme d'un vecteur (distance)

Théorème Dans un repère orthonormé, pour \vec u(x;y) : \quad \|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2}.
Distance entre A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) : \quad AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Exemple : A(1;2), B(4;6) : \begin{aligned}AB &= \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} \\ &= \sqrt{9+16} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

📐 La distance AB, c'est Pythagore dans le repère

Le chemin en escalier forme un triangle rectangle : les deux côtés de l'angle droit sont les coordonnées du vecteur, et l'hypoténuse est la distance cherchée.

\overrightarrow{AB}(4\,;3), donc \begin{aligned}AB &= \sqrt{4^2+3^2} \\ &= \sqrt{16+9} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

Remarque : les longueurs portées sur les côtés sont des distances, donc toujours positives, alors que les coordonnées du vecteur peuvent, elles, être négatives. C'est le carré qui efface le signe.

VI. Coordonnées d'une combinaison linéaire

Exemple : Pour \vec u(2;-1) et \vec v(1;3) : 2\vec u-\vec v a pour coordonnées (2\times2-1\,;\,2\times(-1)-3)=(3\,;-5).

VII. Démontrer un alignement

Exemple : A(1;2), B(3;6), C(4;8) : \overrightarrow{AB}(2;4), \overrightarrow{AC}(3;6). 2\times6-3\times4=0 : A,B,C sont alignés.

VIII. Démontrer un parallélisme

Méthode Pour montrer que (AB)\parallel(CD), calculer \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} et vérifier qu'ils sont colinéaires.

IX. Trouver un point à partir d'une relation vectorielle

Exemple : Trouver D tel que \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} avec A(1;1), B(2;3), C(5;4) : \overrightarrow{BC}(3;1), donc D(1+3\,;1+1)=D(4;2).

X. Point symétrique par rapport à un milieu

Propriété B est le symétrique de A par rapport à I si I est le milieu de [AB], soit {x_B=2x_I-x_A} et y_B=2y_I-y_A.

XI. Aire d'un triangle avec les coordonnées

Formule Aire du triangle ABC = \dfrac12\big|x_{\overrightarrow{AB}}\,y_{\overrightarrow{AC}} - x_{\overrightarrow{AC}}\,y_{\overrightarrow{AB}}\big|.

XII. Repère orthonormé

Remarque : La formule de la norme {\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}} et la formule de distance ne sont valables que dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires, même unité).

XIII. Application : équation de cercle

Propriété Le cercle de centre \Omega(a;b) et de rayon r a pour équation {(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}.

XIV. Vecteur unitaire et coordonnées

Exemple : Le vecteur \vec u(3;4) a pour norme \begin{aligned}\|\vec u\| &= \sqrt{9+16} \\ &= 5\end{aligned} le vecteur unitaire associé est \left(\dfrac35\,;\dfrac45\right).

XV. Coordonnées du symétrique d'un point

Exemple : Symétrique de A(2;5) par rapport à O(0;0) : A'(-2;-5).

XVI. Coordonnées d'un point défini par une relation vectorielle

Méthode Pour trouver les coordonnées de M tel que \overrightarrow{OM}=a\vec u+b\vec v, calculer séparément les coordonnées de a\vec u et b\vec v, puis additionner.

Exemple : \vec u(1;2), \vec v(3;-1) : 2\vec u-\vec v a pour coordonnées (2-3\,;4+1)=(-1\,;5).

XVII. Périmètre d'un triangle par les coordonnées

Exemple : Pour A(0;0), B(3;0), C(0;4) : AB=3, AC=4, \begin{aligned}BC &= \sqrt{9+16} \\ &= 5\end{aligned} périmètre =3+4+5=12.

XVIII. Nature d'un triangle avec les coordonnées

Méthode Pour déterminer si un triangle est rectangle avec les coordonnées, calculer les trois longueurs de côtés et vérifier la réciproque du théorème de Pythagore.

Exemple : A(0;0), B(3;0), C(0;4) : \begin{aligned}AB^2+AC^2 &= 9+16 \\ &= 25 \\ &= BC^2\end{aligned} Le triangle est rectangle en A.

XIX. Nature d'un quadrilatère avec les coordonnées

Méthode Pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, calculer les coordonnées de deux vecteurs opposés (comme \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{DC}) et vérifier qu'ils sont égaux.

XX. Vecteur directeur et coordonnées

Propriété Un vecteur directeur de la droite (AB) est \overrightarrow{AB} lui-même (ou tout vecteur colinéaire non nul).

XXI. Coordonnées du centre d'un cercle circonscrit (aperçu)

Remarque : Le centre du cercle circonscrit à un triangle est équidistant de ses trois sommets ; sa recherche par le calcul sera approfondie avec les équations de droites (médiatrices).

XXII. Comparer deux distances

Exemple : A(0;0), B(4;3), C(1;1) : AB=5 et AC=\sqrt2 : B est plus éloigné de A que C.

XXIII. Vecteurs et translation en coordonnées

Propriété L'image de M(x;y) par la translation de vecteur \vec u(a;b) est M'(x+a\,;y+b).

Exemple : Image de M(2;-1) par la translation de vecteur (3;5) : M'(5;4).

XXIV. Problème de géométrie repérée

Exemple : Montrer que ABCD avec A(0;0), B(4;0), C(5;3), D(1;3) est un parallélogramme : \overrightarrow{AB}(4;0) et \overrightarrow{DC}(4;0) sont égaux, donc ABCD est un parallélogramme.

XXV. Coordonnées et alignement de trois points (méthode alternative)

Méthode On peut aussi vérifier l'alignement de A,B,C en montrant que le coefficient directeur de (AB) est égal à celui de (AC).

XXVI. Bilan sur le repérage

Remarque : Toujours vérifier si le repère est orthonormé avant d'utiliser les formules de distance et de norme ; sinon, seules les propriétés de colinéarité et le calcul du milieu restent valables.