Fiche d'exercices Logimaths
Théorème de Thalès
Réciproque et application directe : Niveau 3ème.
Exercice 1 : Réciproque du théorème de Thalès
Dans le triangle ABC, M\in[AB] et N\in[AC], avec AM=4 cm, AB=6 cm, AN=5 cm, AC=7{,}5 cm.
- Calculer les rapports \dfrac{AM}{AB} et \dfrac{AN}{AC}.
- Que peut-on en conclure pour les droites (MN) et (BC) ? Citer la propriété utilisée.
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a)D'une part, \begin{aligned}\dfrac{AM}{AB} &= \dfrac{4}{6} \\ &= \dfrac23\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}\dfrac{AN}{AC} &= \dfrac{5}{7{,}5} \\ &= \dfrac23\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}\dfrac{AN}{AC} &= \dfrac{5}{7{,}5} \\ &= \dfrac23\end{aligned}
b)Les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre.
donc \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} : l'égalité de Thalès est vérifiée.
donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
donc \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} : l'égalité de Thalès est vérifiée.
donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Exercice 2 : Application directe de Thalès
Dans le triangle ABC, M\in[AB], N\in[AC], (MN) // (BC), avec AM=3 cm, MB=2 cm et AC=10 cm.
Triangle ABC avec M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC).
- Calculer AB.
- Calculer AN à l'aide du théorème de Thalès.
- En déduire NC.
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a)\begin{aligned}AB &= AM+MB \\ &= 3+2 \\ &= \mathbf{5}\end{aligned} cm.
b)Les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{AM}{AB} &= \dfrac{AN}{AC} \\ &= \dfrac{MN}{BC}\end{aligned}
d'où \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}
donc \begin{aligned}AN &= \dfrac{AM \times AC}{AB} \\ &= \dfrac{3\times10}{5} \\ &= \mathbf{6}\end{aligned} cm.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{AM}{AB} &= \dfrac{AN}{AC} \\ &= \dfrac{MN}{BC}\end{aligned}
d'où \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}
donc \begin{aligned}AN &= \dfrac{AM \times AC}{AB} \\ &= \dfrac{3\times10}{5} \\ &= \mathbf{6}\end{aligned} cm.
c)\begin{aligned}NC &= AC-AN \\ &= 10-6 \\ &= \mathbf{4}\end{aligned} cm.
Exercice 3 : Calculer une longueur (configuration triangle)
Dans le triangle ABC, M\in[AB], N\in[AC], (MN) // (BC), avec AM=2 cm, AB=5 cm, AN=3 cm.
- Écrire l'égalité de Thalès pour cette configuration.
- Calculer AC.
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a)Les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{AM}{AB} &= \dfrac{AN}{AC} \\ &= \dfrac{MN}{BC}\end{aligned}
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{AM}{AB} &= \dfrac{AN}{AC} \\ &= \dfrac{MN}{BC}\end{aligned}
b)d'où \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}
donc \begin{aligned}AC &= \dfrac{AN \times AB}{AM} \\ &= \dfrac{3\times5}{2} \\ &= \mathbf{7{,}5}\end{aligned} cm.
donc \begin{aligned}AC &= \dfrac{AN \times AB}{AM} \\ &= \dfrac{3\times5}{2} \\ &= \mathbf{7{,}5}\end{aligned} cm.
Exercice 4 : Configuration papillon
Les droites (AB) et (CD) se coupent en O, avec (AC) // (BD), OA=3 cm, OB=4{,}5 cm, OC=5 cm.
- Écrire l'égalité de Thalès adaptée à cette configuration.
- Calculer OD.
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a)Les points A, O, B sont alignés et les points C, O, D sont alignés dans le même ordre.
Les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD}.
Les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD}.
b)donc \begin{aligned}OD &= \dfrac{OC \times OB}{OA} \\ &= \dfrac{5\times4{,}5}{3} \\ &= \mathbf{7{,}5}\end{aligned} cm.
Exercice 5 : Utiliser la réciproque pour prouver un parallélisme
AMB et ANC sont alignés, avec AM=2, AB=7, AN=3, AC=10{,}5.
- Calculer les deux rapports \dfrac{AM}{AB} et \dfrac{AN}{AC}.
- Que peut-on conclure sur (MN) et (BC) ?
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a)D'une part, \begin{aligned}\dfrac{AM}{AB} &= \dfrac27 \\ &\approx 0{,}286\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}\dfrac{AN}{AC} &= \dfrac{3}{10{,}5} \\ &\approx 0{,}286\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}\dfrac{AN}{AC} &= \dfrac{3}{10{,}5} \\ &\approx 0{,}286\end{aligned}
b)Les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre.
donc \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} : l'égalité de Thalès est vérifiée.
donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles : (MN) // (BC).
donc \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} : l'égalité de Thalès est vérifiée.
donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles : (MN) // (BC).
Exercice 6 : Vérifier un non-parallélisme
AMB et ANC sont alignés, avec AM=3, AB=8, AN=4, AC=9.
- Calculer les deux rapports.
- Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
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a)D'une part, \begin{aligned}\dfrac{AM}{AB} &= \dfrac38 \\ &= 0{,}375\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}\dfrac{AN}{AC} &= \dfrac49 \\ &\approx 0{,}444\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}\dfrac{AN}{AC} &= \dfrac49 \\ &\approx 0{,}444\end{aligned}
b)Les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre.
Les rapports sont différents : l'égalité de Thalès n'est pas vérifiée.
Donc, par contraposée de la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
Les rapports sont différents : l'égalité de Thalès n'est pas vérifiée.
Donc, par contraposée de la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.
Exercice 7 : Problème de l'ombre portée
Un bâton vertical de 1{,}2 m projette une ombre de 1{,}8 m. Au même moment, un arbre projette une ombre de 15 m.
- Justifier que la situation relève du théorème de Thalès (rayons du soleil parallèles).
- Calculer la hauteur de l'arbre.
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a)Les rayons du soleil étant parallèles, les triangles formés par le bâton et l'arbre avec leurs ombres sont en configuration de Thalès.
b)Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \dfrac{h}{1{,}2}=\dfrac{15}{1{,}8}
donc \begin{aligned}h &= \dfrac{15\times1{,}2}{1{,}8} \\ &= \mathbf{10}\end{aligned} m.
On a \dfrac{h}{1{,}2}=\dfrac{15}{1{,}8}
donc \begin{aligned}h &= \dfrac{15\times1{,}2}{1{,}8} \\ &= \mathbf{10}\end{aligned} m.
Exercice 8 : Calculer une longueur manquante (papillon)
Avec O intersection de (AB) et (CD), (AC) // (BD), OA=4, OC=6, AC=5, OB=10.
- Calculer OD.
- Calculer BD.
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a)Les points A, O, B sont alignés et les points C, O, D sont alignés dans le même ordre.
Les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD}
donc \begin{aligned}OD &= \dfrac{OC \times OB}{OA} \\ &= \dfrac{6\times10}{4} \\ &= \mathbf{15}\end{aligned}
Les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD}
donc \begin{aligned}OD &= \dfrac{OC \times OB}{OA} \\ &= \dfrac{6\times10}{4} \\ &= \mathbf{15}\end{aligned}
b)On a aussi \dfrac{OA}{OB} = \dfrac{AC}{BD}
donc \begin{aligned}BD &= \dfrac{AC \times OB}{OA} \\ &= \dfrac{5\times10}{4} \\ &= \mathbf{12{,}5}\end{aligned}
donc \begin{aligned}BD &= \dfrac{AC \times OB}{OA} \\ &= \dfrac{5\times10}{4} \\ &= \mathbf{12{,}5}\end{aligned}
Exercice 9 : Largeur d'une rivière (problème type)
Pour mesurer la largeur CD d'une rivière, on utilise deux triangles emboîtés de sommet commun A, avec AB=6 m, AC=15 m (sur l'autre rive) et BD=4 m (mesurée sur la même rive que B), (BD) // (CE).
- Écrire l'égalité de Thalès correspondante.
- Calculer la largeur CE cherchée.
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a)Les droites (BD) et (CE) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{CE}.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{BD}{CE}.
b)donc \begin{aligned}CE &= \dfrac{BD \times AC}{AB} \\ &= \dfrac{4\times15}{6} \\ &= \mathbf{10}\end{aligned} m.
Exercice 10 : Rapport de Thalès et agrandissement
Dans la configuration de Thalès, \dfrac{AM}{AB}=\dfrac35.
- Si MN=6 cm, calculer BC.
- Quel est le lien entre ce rapport et un agrandissement/réduction ?
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a)Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{MN}{BC} &= \dfrac{AM}{AB} \\ &= \dfrac35\end{aligned}
donc \begin{aligned}BC &= \dfrac{MN\times5}{3} \\ &= \dfrac{6\times5}{3} \\ &= \mathbf{10}\end{aligned} cm.
On a \begin{aligned}\dfrac{MN}{BC} &= \dfrac{AM}{AB} \\ &= \dfrac35\end{aligned}
donc \begin{aligned}BC &= \dfrac{MN\times5}{3} \\ &= \dfrac{6\times5}{3} \\ &= \mathbf{10}\end{aligned} cm.
b)Le petit triangle AMN est une réduction du grand triangle ABC de rapport \dfrac35.
Exercice 11 : Rédiger une démonstration complète
ABC est un triangle, M\in[AB] tel que AM=4, MB=2, N\in[AC] tel que AN=6, NC=3.
- Calculer AB et AC.
- Calculer les rapports \dfrac{AM}{AB} et \dfrac{AN}{AC}.
- Rédiger la conclusion en citant la réciproque du théorème de Thalès.
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a)\begin{aligned}AB &= 4+2 \\ &= 6\end{aligned} \begin{aligned}AC &= 6+3 \\ &= 9\end{aligned}
b)D'une part, \begin{aligned}\dfrac{AM}{AB} &= \dfrac46 \\ &= \dfrac23\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}\dfrac{AN}{AC} &= \dfrac69 \\ &= \dfrac23\end{aligned}
D'autre part, \begin{aligned}\dfrac{AN}{AC} &= \dfrac69 \\ &= \dfrac23\end{aligned}
c)Les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre.
donc \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} : l'égalité de Thalès est vérifiée.
donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles : (MN) // (BC).
donc \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} : l'égalité de Thalès est vérifiée.
donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles : (MN) // (BC).
Exercice 12 : Problème combiné (calcul + démonstration)
ABC est un triangle avec AB=9 cm, {AC=12} cm. M\in[AB] tel que AM=6 cm et (MN) // (BC) avec N\in[AC].
- Calculer AN.
- Si BC=10 cm, calculer MN.
- Calculer le rapport des aires des triangles AMN et ABC.
Voir la correction
a)Les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{AM}{AB} &= \dfrac{AN}{AC} \\ &= \dfrac{MN}{BC}\end{aligned}
d'où \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}
donc \begin{aligned}AN &= \dfrac{AM \times AC}{AB} \\ &= \dfrac{6\times12}{9} \\ &= \mathbf{8}\end{aligned} cm.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \begin{aligned}\dfrac{AM}{AB} &= \dfrac{AN}{AC} \\ &= \dfrac{MN}{BC}\end{aligned}
d'où \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}
donc \begin{aligned}AN &= \dfrac{AM \times AC}{AB} \\ &= \dfrac{6\times12}{9} \\ &= \mathbf{8}\end{aligned} cm.
b)On a aussi \begin{aligned}\dfrac{MN}{BC} &= \dfrac{AM}{AB} \\ &= \dfrac69\end{aligned}
donc \begin{aligned}MN &= \dfrac{6\times10}{9} \\ &\approx \mathbf{6{,}67}\end{aligned} cm.
donc \begin{aligned}MN &= \dfrac{6\times10}{9} \\ &\approx \mathbf{6{,}67}\end{aligned} cm.
c)Rapport des longueurs =\dfrac23, donc rapport des aires =\left(\dfrac23\right)^2=\mathbf{\dfrac49}.
Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.