Fiche de cours Logimaths | Troisième
Fiche de cours : PGCD et PPCM
Diviseurs communs, multiples communs : deux outils pour simplifier et synchroniser
I. Définitions
PGCD et PPCM
Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux nombres est le plus grand nombre qui divise ces deux nombres à la fois. Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) est le plus petit nombre (non nul) qui est multiple des deux nombres à la fois.
II. Décomposer en facteurs premiers
Diviser par les plus petits premiers
On décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers, en divisant successivement par les plus petits nombres premiers possibles.
Exemple : 24 = 2^3 \times 3 et 36 = 2^2 \times 3^2.
Exemple : 24 = 2^3 \times 3 et 36 = 2^2 \times 3^2.
🎮 Entraîne-toi : la décomposition
Divise par 2 tant que possible, puis par 3, puis par 5…
III. Lister tous les diviseurs (arbre des diviseurs)
Croiser les puissances
À partir de la décomposition, on croise chaque puissance du premier facteur premier avec chaque puissance du second : chaque combinaison donne un diviseur du nombre.
Arbre des diviseurs de 24
Diviseurs de 24 : 1,\ 3,\ 2,\ 6,\ 4,\ \mathbf{12},\ 8,\ 24.
Arbre des diviseurs de 36
Diviseurs de 36 : 1,\ 3,\ 9,\ 2,\ 6,\ 18,\ 4,\ \mathbf{12},\ 36.
IV. Le PGCD par les diviseurs communs
Lecture sur les deux arbres
Les diviseurs communs à 24 et à 36 sont 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6 et 12. Le plus grand d'entre eux est 12, donc \mathbf{PGCD(24\,;\,36) = 12}.
🎮 Entraîne-toi : le PGCD
Liste les diviseurs de chaque nombre, garde le plus grand commun.
V. Pour de grands nombres : méthode par décomposition
Petites puissances pour le PGCD, grandes pour le PPCM
Quand les nombres sont trop grands pour lister tous leurs diviseurs, on part directement de leur décomposition en facteurs premiers :
- PGCD : on prend uniquement les facteurs communs, chacun avec sa plus petite puissance ;
- PPCM : on prend tous les facteurs (communs ou non), chacun avec sa plus grande puissance.
Les facteurs premiers COMMUNS (2 et 7) sont au centre ; chaque cercle rappelle les puissances de son nombre. Pour le PGCD, on prend chaque facteur commun avec sa PLUS PETITE puissance ; pour le PPCM, tous les facteurs avec leur PLUS GRANDE puissance.
PGCD de A et B
Les facteurs communs sont 2 (puissances 3 et 2, on garde la plus petite : 2^2) et 7 (puissances 2 et 1, on garde la plus petite : 7^1) : \begin{aligned}PGCD &= 2^2 \times 7 \\ &= 4 \times 7 \\ &= \mathbf{28}\end{aligned}
PPCM de A et B
On prend tous les facteurs premiers présents (2, 3, 5, 7, 11), chacun avec sa plus grande puissance : {PPCM = 2^3 \times 3^6 \times 5^3 \times 7^2 \times 11^3}.
🎮 Entraîne-toi : le PPCM
Liste les premiers multiples de chaque nombre, garde le plus petit commun.
VI. Les pièges du chapitre
⚠️ PGCD : petite puissance ; PPCM : grande puissance
L'erreur classique est d'inverser : pour le PGCD on ne garde que les facteurs COMMUNS avec la plus PETITE puissance (un diviseur commun ne peut pas contenir plus de facteurs qu'un des deux nombres) ; pour le PPCM il faut TOUS les facteurs avec la plus GRANDE puissance (un multiple commun doit contenir chacun des deux nombres).
⚠️ Des ordres de grandeur qui se contrôlent
Le PGCD divise chacun des deux nombres (il est donc ≤ au plus petit) ; le PPCM est un multiple de chacun (il est donc ≥ au plus grand). Un « PGCD » plus grand qu'un des nombres est forcément faux.
👆 ▶ À toi : décompose 30 et 42, puis donne PGCD(30 ; 42) et PPCM(30 ; 42). Vérifie
30 = 2 × 3 × 5 et 42 = 2 × 3 × 7.
Facteurs communs 2 et 3 : PGCD = 2 × 3 = 6.
Tous les facteurs : PPCM = 2 × 3 × 5 × 7 = 210.
Facteurs communs 2 et 3 : PGCD = 2 × 3 = 6.
Tous les facteurs : PPCM = 2 × 3 × 5 × 7 = 210.