Fiche de cours Logimaths
Fiche de cours : Théorème de Thalès
Théorème direct, réciproque et rédaction type
I. Le théorème de Thalès
Théorème
Si les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre,
et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles,
alors, d'après le théorème de Thalès,
on a \begin{aligned}\dfrac{AM}{AB} &= \dfrac{AN}{AC} \\ &= \dfrac{MN}{BC}\end{aligned} (c'est l'égalité de Thalès).
et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles,
alors, d'après le théorème de Thalès,
on a \begin{aligned}\dfrac{AM}{AB} &= \dfrac{AN}{AC} \\ &= \dfrac{MN}{BC}\end{aligned} (c'est l'égalité de Thalès).
II. Exemple avec la rédaction type du théorème de Thalès
Énoncé : configuration triangle : AM=3, AB=5, AC=7. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Calculez la valeur de AN.
Les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AM}}{\textcolor{#E0297B}{AB}} = \dfrac{\textcolor{#2EA96B}{AN}}{\textcolor{#E0297B}{AC}} = \dfrac{MN}{BC}
d'où \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AM}}{\textcolor{#E0297B}{AB}} = \dfrac{\textcolor{#2EA96B}{AN}}{\textcolor{#E0297B}{AC}} (on garde les deux rapports utiles)
donc AN = \dfrac{AM \times AC}{AB} (produit en croix)
\begin{aligned}AN &= \dfrac{3 \times 7}{5} \\ &= 4{,}2\end{aligned}
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AM}}{\textcolor{#E0297B}{AB}} = \dfrac{\textcolor{#2EA96B}{AN}}{\textcolor{#E0297B}{AC}} = \dfrac{MN}{BC}
d'où \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AM}}{\textcolor{#E0297B}{AB}} = \dfrac{\textcolor{#2EA96B}{AN}}{\textcolor{#E0297B}{AC}} (on garde les deux rapports utiles)
donc AN = \dfrac{AM \times AC}{AB} (produit en croix)
\begin{aligned}AN &= \dfrac{3 \times 7}{5} \\ &= 4{,}2\end{aligned}
Que l'on connaît d'après l'énoncé
Longueur AN que l'on cherche
+−👈 Exemple avec la configuration papillon
Énoncé : configuration papillon : AM=6, AB=9, AC=12. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Calculez la valeur de AN.
Les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AM}}{\textcolor{#E0297B}{AB}} = \dfrac{\textcolor{#2EA96B}{AN}}{\textcolor{#E0297B}{AC}} = \dfrac{MN}{BC}
d'où \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AM}}{\textcolor{#E0297B}{AB}} = \dfrac{\textcolor{#2EA96B}{AN}}{\textcolor{#E0297B}{AC}} (on garde les deux rapports utiles)
donc AN = \dfrac{AM \times AC}{AB} (produit en croix)
\begin{aligned}AN &= \dfrac{6 \times 12}{9} \\ &= 8\end{aligned}
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AM}}{\textcolor{#E0297B}{AB}} = \dfrac{\textcolor{#2EA96B}{AN}}{\textcolor{#E0297B}{AC}} = \dfrac{MN}{BC}
d'où \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AM}}{\textcolor{#E0297B}{AB}} = \dfrac{\textcolor{#2EA96B}{AN}}{\textcolor{#E0297B}{AC}} (on garde les deux rapports utiles)
donc AN = \dfrac{AM \times AC}{AB} (produit en croix)
\begin{aligned}AN &= \dfrac{6 \times 12}{9} \\ &= 8\end{aligned}
Que l'on connaît d'après l'énoncé
Longueur AN que l'on cherche
III. Les deux configurations de Thalès
Remarque : Le théorème s'applique dans deux configurations : le « triangle » (les droites (MN) et (BC) sont du même côté du point A) et le « papillon » (les points sont disposés de part et d'autre du point d'intersection A).
Configuration « triangle »
\dfrac{\textcolor{#E0297B}{AM}}{\textcolor{#2E74C2}{AB}}
= \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AN}}{\textcolor{#2E74C2}{AC}}
= \dfrac{\textcolor{#E0297B}{MN}}{\textcolor{#2E74C2}{BC}}
Configuration « papillon »
\dfrac{\textcolor{#E0297B}{AM}}{\textcolor{#2E74C2}{AB}}
= \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AN}}{\textcolor{#2E74C2}{AC}}
= \dfrac{\textcolor{#E0297B}{MN}}{\textcolor{#2E74C2}{BC}}
Remarque : la configuration « papillon » n'est autre que la configuration « triangle » où le petit triangle AMN a basculé de l'autre côté du point A : les points M et N passent de l'intérieur à l'extérieur du grand triangle ABC, en pivotant autour de A.
IV. La réciproque du théorème de Thalès
Théorème
Si les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre,
et si \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC},
alors, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
et si \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC},
alors, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Remarque : La réciproque du théorème de Thalès sert à montrer que deux droites sont parallèles. On ne cherche pas à calculer une longueur, contrairement au théorème de Thalès.
V. Utiliser la réciproque : rédaction type
Méthode
- Calculer séparément les deux rapports \dfrac{AM}{AB} et \dfrac{AN}{AC} (sous forme de fractions ou de nombres décimaux) ;
- Comparer les deux valeurs obtenues ;
- Si elles sont égales, conclure (grâce à la réciproque de Thalès) que les droites sont parallèles ; sinon, elles ne sont pas parallèles.
Énoncé : configuration triangle : AM=4, AB=6, AN=5, AC=7{,}5.
Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre.
D'une part, \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{6} \approx 0{,}667.
D'autre part, \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{5}{7{,}5} = 0{,}667.
donc \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} : l'égalité de Thalès est vérifiée.
donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Rédaction alternative :
On a \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC},
donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Astuce : Vérifions que deux rapports sur trois sont égaux. Pour cela, on va écrire les trois rapports :
\dfrac{\textcolor{#E0297B}{AM}}{\textcolor{#E0297B}{AB}} \overset{\raisebox{2pt}{\Large{?}}}{=} \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AN}}{\textcolor{#E0297B}{AC}} \overset{\raisebox{2pt}{\Large{?}}}{=} \dfrac{MN}{BC}
On entoure en rouge les valeurs que l'on connaît, afin de vérifier quel rapport on peut calculer.
\dfrac{\textcolor{#E0297B}{AM}}{\textcolor{#E0297B}{AB}} \overset{\raisebox{2pt}{\Large{?}}}{=} \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AN}}{\textcolor{#E0297B}{AC}} \overset{\raisebox{2pt}{\Large{?}}}{=} \dfrac{MN}{BC}
On entoure en rouge les valeurs que l'on connaît, afin de vérifier quel rapport on peut calculer.
D'une part, \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{4}{6} \approx 0{,}667.
D'autre part, \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{5}{7{,}5} = 0{,}667.
donc \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} : l'égalité de Thalès est vérifiée.
donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Rédaction alternative :
On a \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC},
donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Longueurs données par l'énoncé
+−👈 Exemple avec la configuration papillon
Énoncé : configuration papillon : AM=2, AB=3, AN=6, AC=9.
Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Montrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Les points A, M, B sont alignés et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre.
D'une part, \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667.
D'autre part, \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{6}{9} \approx 0{,}667.
donc \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} : l'égalité de Thalès est vérifiée.
donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Rédaction alternative :
On a \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC},
donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Astuce : Vérifions que deux rapports sur trois sont égaux. Pour cela, on va écrire les trois rapports :
\dfrac{\textcolor{#E0297B}{AM}}{\textcolor{#E0297B}{AB}} \overset{\raisebox{2pt}{\Large{?}}}{=} \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AN}}{\textcolor{#E0297B}{AC}} \overset{\raisebox{2pt}{\Large{?}}}{=} \dfrac{MN}{BC}
On entoure en rouge les valeurs que l'on connaît, afin de vérifier quel rapport on peut calculer.
\dfrac{\textcolor{#E0297B}{AM}}{\textcolor{#E0297B}{AB}} \overset{\raisebox{2pt}{\Large{?}}}{=} \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AN}}{\textcolor{#E0297B}{AC}} \overset{\raisebox{2pt}{\Large{?}}}{=} \dfrac{MN}{BC}
On entoure en rouge les valeurs que l'on connaît, afin de vérifier quel rapport on peut calculer.
D'une part, \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667.
D'autre part, \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{6}{9} \approx 0{,}667.
donc \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} : l'égalité de Thalès est vérifiée.
donc les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Rédaction alternative :
On a \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC},
donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Longueurs données par l'énoncé
VI. Agrandissement et réduction (lien avec Thalès)
Propriété
Le rapport de Thalès \dfrac{AM}{AB} correspond au coefficient d'un agrandissement ou d'une réduction entre le petit et le grand triangle formés par la configuration.
VII. Utiliser Thalès dans un problème concret
Méthode
Le théorème de Thalès permet de calculer des hauteurs ou distances inaccessibles (ombre portée d'un arbre, largeur d'une rivière) en exploitant deux triangles emboîtés formés par des droites parallèles.
Énoncé : Un bâton de 1,5 m projette une ombre de 2 m ; au même instant, un arbre projette une ombre de 12 m. Calculer la hauteur h de l'arbre.
Longueurs données par l'énoncé
Hauteur de l'arbre h que l'on cherche
+−👈 Correction rédigée
Faisons glisser le bâton le long du sol jusqu'à ce que son sommet touche le rayon de soleil qui passe par le sommet de l'arbre (voir l'animation ci-dessous) : on obtient alors exactement une configuration triangle de Thalès, où A est le point du sol où arrive l'ombre.
Les points A, N, C (sur le sol) sont alignés, et les points A, M, B (sur le rayon de soleil) sont alignés dans le même ordre.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles (le bâton et l'arbre sont tous deux verticaux).
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AN}}{\textcolor{#E0297B}{AC}} = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{\textcolor{#E0297B}{MN}}{\textcolor{#2EA96B}{BC}}
d'où \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AN}}{\textcolor{#E0297B}{AC}} = \dfrac{\textcolor{#E0297B}{MN}}{\textcolor{#2EA96B}{BC}} (on garde les deux rapports utiles)
avec AN=2 et AC=12 (les ombres), MN=1{,}5 (le bâton) et BC=h (l'arbre)
donc \dfrac{2}{12} = \dfrac{1{,}5}{h}
donc \begin{aligned}h &= \dfrac{1{,}5 \times 12}{2} \\ &= 9\end{aligned} m.
Les points A, N, C (sur le sol) sont alignés, et les points A, M, B (sur le rayon de soleil) sont alignés dans le même ordre.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles (le bâton et l'arbre sont tous deux verticaux).
Or, d'après le théorème de Thalès,
On a \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AN}}{\textcolor{#E0297B}{AC}} = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{\textcolor{#E0297B}{MN}}{\textcolor{#2EA96B}{BC}}
d'où \dfrac{\textcolor{#E0297B}{AN}}{\textcolor{#E0297B}{AC}} = \dfrac{\textcolor{#E0297B}{MN}}{\textcolor{#2EA96B}{BC}} (on garde les deux rapports utiles)
avec AN=2 et AC=12 (les ombres), MN=1{,}5 (le bâton) et BC=h (l'arbre)
donc \dfrac{2}{12} = \dfrac{1{,}5}{h}
donc \begin{aligned}h &= \dfrac{1{,}5 \times 12}{2} \\ &= 9\end{aligned} m.
VIII. Erreurs classiques à éviter
- Ne pas associer un mauvais couple de rapports (attention à l'ordre des points : A doit toujours être le sommet commun aux deux droites sécantes).
- Vérifier systématiquement que les droites (MN) et (BC) sont bien parallèles avant d'appliquer directement le théorème.
IX. Lien entre Thalès et les triangles semblables
- La configuration de Thalès (deux droites sécantes coupées par deux parallèles) produit deux triangles semblables ayant les mêmes angles (voir la fiche « Triangles semblables »).
- Le grand triangle ABC se détache pour venir se placer à côté du petit triangle AMN, comme sur la figure ci-dessous : ils ont les mêmes angles (angles correspondants égaux car (MN) // (BC)), donc les mêmes proportions entre leurs côtés : c'est exactement l'égalité de Thalès, tout comme la propriété sur les triangles semblables.