Fiche de cours Logimaths
Raisonnement et démonstration
Prouver, réfuter, rédiger : la compétence que le jury note partout
Sur une copie de CRPE, un résultat juste mal justifié rapporte peu, et un résultat faux bien raisonné rapporte quelque chose. Cette fiche ne traite donc pas un chapitre du programme : elle traite ce que le jury cherche dans tous les exercices, y compris ceux de géométrie et de proportionnalité.
I. Prouver n’est pas vérifier
Ce qu’est une démonstration
Une démonstration établit qu’une propriété est vraie dans tous les cas annoncés, sans exception. Elle part des hypothèses de l’énoncé et de résultats déjà connus, et elle avance par des étapes que le lecteur peut contrôler une à une.
Un exemple
13 + 7 = 20
Ne prouve rien. Illustre, aide à comprendre, mais ne dit rien des autres cas.
Un contre-exemple
9 est impair et 9 = 3 × 3
Suffit à détruire « tout nombre impair est premier ». Un seul suffit.
Le piège le plus fréquent au concours
Vérifier une affirmation sur trois nombres bien choisis, puis écrire « donc c’est vrai ». Le jury lit cela comme une absence de démonstration. Trois exemples ne valent pas une preuve ; en revanche, un seul contre-exemple vaut une réfutation complète.
👆 ▶ À toi : « La somme de deux nombres impairs est impaire ». Vraie ou fausse ?
Fausse. Il suffit d’un contre-exemple : 3 + 5 = 8, qui est pair. Et l’écriture littérale explique pourquoi cela rate toujours : (2k + 1) + (2k′ + 1) = 2(k + k′ + 1), un nombre pair. La somme de deux impairs est donc toujours paire.
II. Le quantificateur décide de la méthode
Avant d’écrire quoi que ce soit, repérez si l’affirmation commence par « pour tout » (elle parle de tous les cas) ou par « il existe » (elle réclame un seul cas). Tout le travail en découle.
| Forme de l’affirmation | Pour la PROUVER | Pour la RÉFUTER |
|---|---|---|
| Pour tout entier n, P(n) | Une démonstration générale, valable pour n quelconque | Un seul contre-exemple |
| Il existe un entier n tel que P(n) | Un seul exemple explicite | Une démonstration générale montrant qu’aucun n ne convient |
Réflexe de copie
Les deux colonnes sont croisées : ce qui prouve une affirmation universelle réfute une affirmation existentielle, et inversement. Se tromper de colonne, c’est répondre à côté même avec des calculs justes.
III. Écrire les entiers pour pouvoir démontrer
Les écritures qui débloquent presque tout
- n est pair se traduit par n = 2k, avec k entier.
- n est impair se traduit par n = 2k + 1, avec k entier.
- n est un multiple de 5 se traduit par n = 5k, avec k entier.
- deux entiers consécutifs s’écrivent n et n + 1.
- trois entiers consécutifs s’écrivent n, n + 1 et n + 2.
Le produit de deux entiers consécutifs est pair
- n et n + 1 sont consécutifs.
- si n est pair, alors n = 2k et n(n + 1) = 2k(n + 1).
- si n est impair, alors n + 1 est pair, n + 1 = 2k et n(n + 1) = 2kn.
- dans les deux cas le produit s’écrit 2 × un entier : il est pair.
👆 ▶ À toi : montre que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3
On note les trois entiers n, n + 1 et n + 2, avec n entier.
Leur somme vaut n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1).
Comme n + 1 est un entier, la somme s’écrit 3 × un entier : c’est un multiple de 3. Remarquez que la démonstration tient en deux lignes une fois la traduction faite.
Leur somme vaut n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1).
Comme n + 1 est un entier, la somme s’écrit 3 × un entier : c’est un multiple de 3. Remarquez que la démonstration tient en deux lignes une fois la traduction faite.
IV. Les quatre raisonnements du concours
1. Le raisonnement direct
On part des hypothèses et on avance par étapes justifiées jusqu’à la conclusion. C’est le raisonnement par défaut : on ne cherche une autre voie que s’il bloque.
2. La disjonction de cas
Quand la propriété ne se traite pas d’un bloc, on partage toutes les situations possibles en cas, et on traite chacun. Découpages classiques : n pair ou impair ; reste de n dans la division par 3 ; nombre positif ou négatif. Point noté : vérifier que les cas couvrent bien tout, sinon la preuve est trouée.
3. Le raisonnement par l’absurde
On suppose que la conclusion est fausse, puis on en déduit une contradiction (par exemple un nombre à la fois pair et impair). La supposition étant intenable, la conclusion est vraie. Utile quand l’énoncé affirme qu’une chose est impossible.
4. Le contre-exemple
Réservé à la réfutation d’une affirmation universelle. Un seul suffit, mais il faut l’écrire complètement : donner la valeur, faire le calcul, et conclure explicitement que l’affirmation est fausse.
▶ 🎓 Démonstration par l’absurde à connaître : la somme d’un rationnel et d’un irrationnel
Affirmation : si a est un nombre rationnel et b un nombre irrationnel, alors a + b est irrationnel.
Supposons le contraire, c’est-à-dire que a + b soit rationnel. Notons s = a + b ce rationnel. Alors b = s − a.
Or la différence de deux rationnels est un rationnel. Donc b serait rationnel, ce qui contredit l’hypothèse « b est irrationnel ».
La supposition est donc intenable : a + b est bien irrationnel.
Supposons le contraire, c’est-à-dire que a + b soit rationnel. Notons s = a + b ce rationnel. Alors b = s − a.
Or la différence de deux rationnels est un rationnel. Donc b serait rationnel, ce qui contredit l’hypothèse « b est irrationnel ».
La supposition est donc intenable : a + b est bien irrationnel.
V. Réciproque, contraposée et rédaction
Trois énoncés à ne pas confondre
Partons de l’implication « si A alors B ».
- Sa réciproque est « si B alors A ». Elle peut être fausse même si l’implication de départ est vraie.
- Sa contraposée est « si non B alors non A ». Elle est toujours vraie en même temps que l’implication de départ : c’est une reformulation, pas un nouveau résultat.
- Sa négation n’est pas « si A alors non B », mais « A est vrai et pourtant B est faux » : c’est exactement ce que fournit un contre-exemple.
Là où le concours vous attend
Le théorème de Pythagore et sa réciproque ne servent pas à la même chose : le théorème calcule une longueur dans un triangle dont on sait qu’il est rectangle ; la réciproque démontre qu’un triangle est rectangle. Même distinction pour Thalès. Annoncer le mauvais des deux coûte des points même quand le calcul est juste.
Rédiger en trois temps
- J’annonce ce que je vais montrer et l’outil choisi (« montrons par disjonction de cas que… »).
- Je démontre, chaque étape justifiée par une hypothèse ou un résultat connu.
- Je conclus par une phrase qui répond à la question posée, avec l’unité si c’est une grandeur.
VI. Entraîne-toi
🎮 Quantificateur : que faut-il faire ?
Allume toutes les affirmations correctes, puis valide.
🎮 Ce nombre est-il un contre-exemple ?
Teste la valeur proposée sur l’affirmation, puis réponds.
🎮 Quel raisonnement est utilisé ?
Lis le début de la démonstration et reconnais la méthode.