Fiche de cours Logimaths
Fiche de cours : Calcul intégral
Intégrale, aires, propriétés et intégration par parties
I. Définition comme aire
Définition
Pour f continue et positive sur [a\,;b], l'intégrale \int_a^b f(x)\,dx est l'aire (en unités d'aire) entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites x=a, x=b.
Notion de primitive
Une fonction F dérivable sur un intervalle I est une primitive de f sur I si, pour tout x\in I, F'(x)=f(x). Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les primitives de f sur I sont les fonctions x\mapsto F(x)+k, k\in\mathbb{R}.
Théorème fondamental
Si F est une primitive de f sur [a\,;b] : \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a). On note aussi \big[F(x)\big]_a^b cette différence. Ce résultat ne dépend pas du choix de la primitive F : la constante k s'élimine dans la soustraction.
Remarque : si f est négative, l'intégrale est négative, et son opposé donne l'aire.
Erreur classique : ne pas confondre l'intégrale (un nombre, qui peut être négatif) et l'aire (toujours positive, exprimée en unités d'aire). Pour f\leqslant0 sur [a;b], l'aire du domaine vaut -\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx et non \int_a^b f(x)\,dx.
Exemple : Soit f(x)=x^2 sur [0\,;2]. Une primitive est F(x)=\dfrac{x^3}{3}, donc \begin{aligned}\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx &= F(2)-F(0) \\ &= \dfrac{8}{3}-0 \\ &= \dfrac{8}{3}\end{aligned} Comme f\geqslant0 sur [0\,;2], l'aire sous la courbe vaut \dfrac{8}{3} unité(s) d'aire.
Exemple : Soit f(x)=-x sur [0\,;2] : f\leqslant0 sur cet intervalle. Une primitive est F(x)=-\dfrac{x^2}{2}, donc \begin{aligned}\displaystyle\int_0^2 (-x)\,dx &= -2-0 \\ &= -2\end{aligned} L'intégrale vaut -2 mais l'aire du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses vaut 2 unités d'aire.
II. Propriétés de l'intégrale
Propriété
\int_a^a f=0, \int_b^a f=-\int_a^b f ; linéarité ; relation de Chasles : \int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f.
Linéarité (détail)
Pour f, g continues sur [a\,;b] et k\in\mathbb{R} :
- \displaystyle\int_a^b\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx
- \displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx=k\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx
Exemple : \begin{aligned}\displaystyle\int_0^1(3x^2+2)\,dx &= 3\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx+2\displaystyle\int_0^1 1\,dx \\ &= 3\times\dfrac13+2\times1 \\ &= 1+2 \\ &= 3\end{aligned}
Positivité et comparaison
Si f\geqslant0 sur [a;b] (a\leqslant b), alors \int_a^b f\geqslant0. Si f\leqslant g, alors \int_a^b f\leqslant\int_a^b g.
Erreur classique : ces inégalités supposent a\leqslant b (bornes dans l'ordre croissant). Si les bornes ne sont pas ordonnées, il faut d'abord utiliser \int_b^a f=-\int_a^b f avant de comparer des signes.
Inégalité de la moyenne
Si, pour tout x\in[a;b] (avec a\leqslant b), {m \leqslant f(x) \leqslant M} alors m(b-a)\leqslant\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\leqslant M(b-a). Cette propriété permet d'encadrer une intégrale sans calculer de primitive.
Exemple : Pour x\in[0\,;1], on a {1 \leqslant e^x \leqslant e} (car e^x est croissante). Donc 1\times(1-0)\leqslant\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx\leqslant e\times(1-0), soit {1\leqslant\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx\leqslant e}. (On sait par ailleurs que cette intégrale vaut exactement {e-1\approx1{,}72}, ce qui est bien cohérent avec l'encadrement.)
III. Valeur moyenne et aire entre deux courbes
Définition
Valeur moyenne de f sur [a;b] : {\mu=\dfrac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx}.
Exemple : Valeur moyenne de f(x)=x^2 sur [0\,;3] : \begin{aligned}\mu &= \dfrac{1}{3-0}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx \\ &= \dfrac13\times\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 \\ &= \dfrac13\times9 \\ &= 3\end{aligned} En moyenne sur [0\,;3], la fonction f se comporte comme la constante 3.
Théorème
Si f\geqslant g sur [a;b], l'aire entre les deux courbes vaut \int_a^b(f(x)-g(x))\,dx.
Erreur classique : avant d'appliquer cette formule, il faut vérifier (ou étudier le signe de f-g) que la courbe de f reste bien au-dessus de celle de g sur tout l'intervalle. Si les courbes se croisent, il faut découper l'intervalle en sous-intervalles où le signe de f-g est constant, et utiliser la relation de Chasles.
Exemple : Aire entre f(x)=-x^2+4 et g(x)=x sur [0\,;1], sachant que f\geqslant g sur cet intervalle : \begin{aligned}\mathcal{A} &= \displaystyle\int_0^1\big((-x^2+4)-x\big)\,dx \\ &= \displaystyle\int_0^1(-x^2-x+4)\,dx \\ &= \left[-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+4x\right]_0^1 \\ &= -\dfrac13-\dfrac12+4 \\ &= \dfrac{-2-3+24}{6} \\ &= \dfrac{19}{6}\end{aligned} unités d'aire.
IV. Intégration par parties (IPP)
Théorème
\int_a^b u'(x)v(x)\,dx=\big[u(x)v(x)\big]_a^b-\int_a^b u(x)v'(x)\,dx
Démonstration
u et v étant dérivables à dérivées continues sur [a;b], la fonction produit uv est dérivable et (uv)'=u'v+uv'. En intégrant cette égalité entre a et b et par linéarité : \displaystyle\int_a^b (uv)'(x)\,dx=\displaystyle\int_a^b u'(x)v(x)\,dx+\displaystyle\int_a^b u(x)v'(x)\,dx. Or, par le théorème fondamental, le membre de gauche vaut \big[u(x)v(x)\big]_a^b puisque uv est une primitive de (uv)'. On en déduit la formule d'intégration par parties en isolant le terme voulu.
Méthode
L'IPP sert quand un facteur se simplifie par dérivation (polynôme × ln, exp, sin, cos) : choisir u = la partie qui se simplifie.
- Identifier u(x) (à dériver) et v'(x) (à intégrer).
- Calculer u'(x) et une primitive v(x) de v'(x).
- Appliquer la formule et calculer \big[u(x)v(x)\big]_a^b puis \int_a^b u(x)v'(x)\,dx.
Exemple : \int_0^1 xe^x\,dx. On pose u(x)=x (donc u'(x)=1) et v'(x)=e^x (donc v(x)=e^x), ce qui donne \begin{aligned}\int_0^1 xe^x\,dx &= \big[xe^x\big]_0^1-\int_0^1 1\times e^x\,dx \\ &= e-\big[e^x\big]_0^1 \\ &= e-(e-1) \\ &= 1\end{aligned}
Exemple : \int_1^e \ln(x)\,dx. On pose u(x)=\ln(x) (donc u'(x)=\dfrac1x) et v'(x)=1 (donc v(x)=x). Alors \begin{aligned}\int_1^e \ln(x)\,dx &= \big[x\ln(x)\big]_1^e-\int_1^e x\times\dfrac1x\,dx \\ &= \big(e\times1-1\times0\big)-\int_1^e 1\,dx \\ &= e-\big[x\big]_1^e \\ &= e-(e-1) \\ &= 1\end{aligned}
Erreur classique : après avoir choisi u et v', beaucoup d'élèves oublient de calculer \big[u(x)v(x)\big]_a^b (le terme « tout intégré ») et ne gardent que l'intégrale restante. Il ne faut jamais oublier ce crochet, qui est souvent une valeur non nulle.