Définition
Une conique résulte de l'intersection d'un plan et d'un cône de révolution : cercle, ellipse, parabole ou hyperbole selon l'inclinaison du plan par rapport à l'axe du cône.
Un même cône, trois plans de coupe différents : cercle (plan horizontal), ellipse (plan incliné traversant tout le cône), parabole (plan parallèle à une génératrice).
Propriété
Chaque conique (hormis le cercle) peut aussi se définir par un foyerF, une directrice(d) et une excentricitée>0 : l'ensemble des points M tels que \dfrac{MF}{d(M,(d))}=e. On a e<1 pour l'ellipse, e=1 pour la parabole, e>1 pour l'hyperbole.
Remarque : le cercle est le cas particulier e=0 de l'ellipse (les deux foyers sont confondus au centre). Équation réduite d'un cercle de centre O et de rayon R : x^2+y^2=R^2.
II. L'ellipse
Définition
Foyers F,F' : MF+MF'=2a constant.
Ellipse de foyers F et F' : pour tout point M de l'ellipse, MF+MF'=2a (somme constante). O est le centre, a le demi-grand axe, b le demi-petit axe.
Propriété
Si a>b, les foyers sont sur l'axe des abscisses, à la distance c du centre avec c^2=a^2-b^2. L'excentricité de l'ellipse est e=\dfrac ca (toujours 0<e<1) : plus e est proche de 0, plus l'ellipse ressemble à un cercle ; plus e est proche de 1, plus elle est aplatie.
Exemple : design d'objet
Le contour d'un plateau ovale est modélisé par \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{16}=1 (unités en dm). On a a^2=36 donc a=6, et b^2=16 donc b=4 : le plateau mesure 12\,\text{dm} de long sur 8\,\text{dm} de large. On calcule \begin{aligned}c^2 &= a^2-b^2 \\ &= 36-16 \\ &= 20\end{aligned} soit \begin{aligned}c &= 2\sqrt5 \\ &\approx 4{,}47\end{aligned} d'où une excentricité \begin{aligned}e &= \dfrac{c}{a} \\ &= \dfrac{2\sqrt5}{6} \\ &= \dfrac{\sqrt5}{3} \\ &\approx 0{,}75\end{aligned} Un ovale nettement aplati.
Remarque : une erreur fréquente est de confondre a et b avec les valeurs sous la racine dans l'équation. Dans \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1, ce sont bien a^2 et b^2 qui apparaissent au dénominateur : il faut penser à prendre la racine carrée pour retrouver a et b, et ne pas oublier que le plus grand des deux donne l'axe le plus long (le grand axe, de longueur 2a).
III. La parabole
Définition
Foyer F, directrice (d) : MF=d(M,(d)).
Propriété
Équation réduite : y^2=2px (ou y=ax^2).
Propriété
Pour y^2=2px (avec p>0), le foyer est F\left(\dfrac p2\,;0\right) et la directrice a pour équation x=-\dfrac p2. Le sommet de la parabole est toujours à mi-distance entre le foyer et la directrice.
Parabole : foyer F, directrice (d), sommet S à mi-chemin.
Exemple : architecture
Une arche parabolique de portail a une largeur au sol de 8\,\text{m} et une hauteur maximale de 4\,\text{m}. En plaçant l'origine au sommet de l'arche (repère orienté vers le bas), on cherche y=ax^2 telle que l'arche passe par (4\,;-4) (pied droit de l'arche). On résout \begin{aligned}-4 &= a\times4^2 \\ &= 16a\end{aligned} donc a=-\dfrac14 : l'arche a pour équation y=-\dfrac14x^2 sur [-4\,;4].
Remarque : ne pas confondre le paramètre p de l'équation y^2=2px avec le coefficient a de l'équation y=ax^2 : ce sont deux écritures différentes de la même parabole, obtenues en échangeant les rôles de x et y (axe de symétrie horizontal ou vertical).
IV. L'hyperbole
Définition|MF-MF'|=2a constant.
Propriété
Équation réduite : \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1, asymptotes y=\pm\dfrac ba x.
Propriété
Les foyers sont en F(c\,;0) et F'(-c\,;0) avec c^2=a^2+b^2 (à comparer avec c^2=a^2-b^2 pour l'ellipse). L'excentricité e=\dfrac ca vérifie ici toujours e>1.
Exemple : design de mobilier
Le profil d'un pied de table en forme d'hyperbole vérifie \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1. On a a^2=4 donc a=2, et b^2=9 donc b=3 : les deux branches se rapprochent des droites asymptotes y=\pm\dfrac32x sans jamais les toucher, ce qui donne au design cette silhouette évasée caractéristique.
Remarque : la fonction inverse est (à changement de repère près) une hyperbole.
Attention : une confusion classique consiste à croire que la courbe touche ses asymptotes. Ce n'est jamais le cas : la distance entre la branche et l'asymptote tend vers 0 mais reste strictement positive pour tout x fini.
V. Tableau récapitulatif
Conique
Excentricité
Équation réduite
Éléments clés
Cercle
e=0
x^2+y^2=R^2
centre, rayon R
Ellipse
0<e<1
\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1
c^2=a^2-b^2, 2 foyers
Parabole
e=1
y^2=2px
1 foyer, 1 directrice
Hyperbole
e>1
\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1
c^2=a^2+b^2, 2 asymptotes
Remarque : plus l'excentricité augmente, plus la conique « s'ouvre » : du cercle parfaitement fermé à l'hyperbole aux deux branches infinies, en passant par l'ellipse puis la parabole, cas limite entre courbe fermée et courbe ouverte.
VI. Perspective centrale
Définition
Projette les points de l'espace sur un plan (tableau) à partir d'un point de vue unique.
Propriété
Les droites parallèles à une même direction convergent vers un point de fuite ; les points de fuite horizontaux sont sur la ligne d'horizon.
Méthode
Perspective à un point de fuite : placer ligne d'horizon et PF, dessiner la face parallèle au tableau en vraie grandeur, relier chaque sommet au PF.
Perspective à un point de fuite (PF) : la face avant du cube (en vraie grandeur) est reliée au PF pour construire la profondeur.
Propriété
En perspective à deux points de fuite, aucune face de l'objet n'est parallèle au tableau : deux directions de fuite distinctes, toutes deux sur la ligne d'horizon, servent à construire les arêtes horizontales de l'objet. Les arêtes verticales, elles, restent verticales sur le dessin.
Exemple : dessin technique de packaging
Pour représenter un emballage cubique en perspective à un point de fuite : on trace la face avant (un carré, en vraie grandeur, puisqu'elle est parallèle au tableau), on place un point de fuite PF sur la ligne d'horizon, puis on relie chaque sommet du carré au PF ; l'arête arrière du cube est enfin tracée parallèlement à l'arête avant, entre deux de ces lignes de fuite.
Attention : une erreur classique est de tracer les fuyantes vers plusieurs points différents pour un même objet en perspective à un point de fuite. Toutes les fuyantes d'une même direction doivent converger vers l'unique point de fuite associé à cette direction : sinon l'objet paraît déformé ou « faux » visuellement.
VII. Coniques et projections en design
Propriété
Un cercle dessiné en perspective (ou vu en oblique) apparaît déformé en ellipse : c'est la projection d'un cercle sur un plan non parallèle à son plan qui produit cet effet, exploité en dessin technique pour représenter des objets ronds (roues, assiettes, colonnes) vus de biais.
Exemple : design d'objet
Le dessus circulaire d'une table ronde, vu légèrement de haut, se représente par une ellipse dont le grand axe correspond au diamètre réel de la table et dont le petit axe se réduit d'autant que l'angle de vue est rasant : plus l'angle d'observation par rapport à l'horizontale est faible, plus le rapport \dfrac ba de l'ellipse dessinée est petit.
