Fiche de cours Logimaths | Terminale spécialité

Fiche de cours : Continuité des fonctions

Tracer sans lever le crayon, puis le théorème des valeurs intermédiaires

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I. La notion de continuité

Définition (intuitive puis rigoureuse) Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe s'y trace sans lever le crayon.
Version rigoureuse : f est continue en a si \lim_{x \to a} f(x) = f(a) (la limite existe ET vaut la valeur de la fonction), et continue sur I si elle l'est en tout point de I.

Dérivable ⇒ continue Si f est dérivable sur un intervalle I, alors f est continue sur I (admis).
Conséquence pratique : les polynômes, e^x, \sqrt{x} (sur [0\,;\,+\infty[), \dfrac{1}{x} (sur chaque moitié de son domaine), \cos x et \sin x sont continues. Sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continues.

⚠️ La réciproque est fausse Continue n'implique PAS dérivable : la fonction valeur absolue x \mapsto |x| est continue sur ℝ, mais sa courbe a un « pic » en 0 : pas de tangente, pas de dérivée en 0.

👆 ▶ À toi : pourquoi peut-on dire sans calcul que f(x) = (x² + 1)e³ˣ est continue sur ℝ ? Vérifie

C'est un produit d'un polynôme (continu sur ℝ) et d'une composée d'exponentielle (continue sur ℝ) : un produit de fonctions continues est continu.

II. Les fonctions définies par morceaux

Méthode : tester la continuité au point de raccord Chaque morceau (polynôme…) est continu sur son intervalle : le seul point à surveiller est le raccord c. On calcule :

la limite à gauche de c (avec la formule valable avant c) ;
la limite à droite de c (avec la formule valable après c) ;

Si les deux valent f(c), la courbe se recolle : f est continue en c. Sinon, la courbe fait un saut.

Exemple rédigé Soit f définie par f(x) = 2x + 1 si x < 3 et f(x) = x + 4 si x \geq 3.
À gauche : 2 \times 3 + 1 = 7 ; à droite : \begin{aligned}3 + 4 &= 7 \\ &= f(3)\end{aligned}
Les deux limites coïncident avec f(3) : f est continue sur ℝ.

🎛️ À toi de jouer : limite à gauche, limite à droite, valeur en c

Prouver qu'une fonction est continue en un point, c'est vérifier que trois nombres coïncident : la limite à gauche, la limite à droite, et la valeur f(c).
Choisis un cas, règle le paramètre, et regarde les trois nombres bouger. Le rond creux marque une valeur approchée mais jamais atteinte ; le rond plein, la vraie valeur de f(c).

paramètre :

le morceau de gauche le morceau de droite l'écart entre les deux

Les trois derniers cas ne se règlent pas : ils montrent les trois façons de rater la continuité : le saut, le trou et l'explosion vers l'infini.

🎮 Entraîne-toi : continue ou pas ?

Calcule la limite à gauche et à droite du raccord, puis tranche.

🎮 Entraîne-toi : recoller les morceaux

Trouve la valeur du paramètre qui rend la fonction continue au raccord.

III. Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Soit f continue sur [a\,;\,b]. Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet au moins une solution dans [a\,;\,b] (admis).
Image : une courbe continue qui part sous une altitude k et arrive au-dessus doit forcément traverser cette altitude.

Continue. La courbe part sous l'altitude k et finit au-dessus. Elle ne peut pas l'éviter : l'équation f(x) = k a bien une solution.

Un saut. Même départ, même arrivée, mais la courbe enjambe l'altitude k sans jamais la toucher. Sans continuité, le théorème tombe.

Corollaire du TVI (théorème des valeurs intermédiaires strict) Si de plus f est strictement monotone sur [a\,;\,b], alors la solution est unique : l'équation f(x) = k admet exactement une solution.
On l'appelle aussi théorème de bijection.

Méthode : montrer que f(x) = 0 a une unique solution sur [a ; b] La rédaction en trois points, à réciter au bac :

f est continue sur [a\,;\,b] (polynôme, produit de fonctions continues…) ;
f change de signe : f(a) < 0 et f(b) > 0 (ou l'inverse) ;
f est strictement monotone sur [a\,;\,b] (signe de f′).

Conclusion : d'après le corollaire du TVI, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α. On l'encadre ensuite par balayage à la calculatrice.

⚠️ Les flèches d'un tableau de variations Par convention, une flèche oblique d'un tableau de variations signifie que la fonction est continue et strictement monotone sur l'intervalle : on peut donc appliquer le corollaire du TVI flèche par flèche pour compter les solutions de f(x) = k.

Attrape la grosse pastille sur l'axe des ordonnées et fais glisser la hauteur k. Compte les points où la droite rencontre la courbe : c'est exactement le nombre de solutions de f(x) = k. Change de fonction avec les deux onglets.

Courbe en rose, droite d'altitude k en bleu, solutions en vert. La barre bleue sous l'axe est l'encadrement de la solution : chaque coupe le divise par deux, c'est la dichotomie.

Encadrer la solution : balayage ou dichotomie Une fois l'unicité prouvée, on cherche une valeur approchée de \alpha :

Balayage : on parcourt l'intervalle de pas en pas (0,1 ; puis 0,01…) jusqu'à voir f changer de signe ;
Dichotomie : on coupe l'intervalle en deux, on regarde le signe de f au milieu, et on garde la moitié où le changement de signe se produit. L'amplitude est divisée par 2 à chaque étape, donc par plus de 1 000 en dix étapes.

Le bouton « couper l'intervalle en deux » de l'atelier fait exactement cela.

👆 ▶ À toi : f(x) = x³ + x − 5. Montre que f(x) = 0 a une unique solution dans [1 ; 2]. Vérifie

f est continue (polynôme) ; {f(1) = -3 < 0} et f(2) = 5 > 0 ; f'(x) = 3x^2 + 1 > 0 donc f est strictement croissante.
D'après le corollaire du TVI, l'équation admet une unique solution α dans [1 ; 2].

🧮 Le balayage à la calculatrice : NumWorks, Casio et TI pas à pas Le balayage, c'est une table de valeurs qu'on resserre. Objectif : encadrer au dixième la solution α de x^3 + x - 5 = 0 sur [1 ; 2]. Tu dois trouver 1{,}5 < \alpha < 1{,}6, car f(1{,}5) = -0{,}125 < 0 et {f(1{,}6) = 0{,}696 > 0}.

NumWorks (l'appli Fonctions et son onglet Tableau)

touche 🏠, appli Fonctions, entre f(x) = x^3 + x - 5 ;
onglet Tableau : choisis Régler l'intervalle : X début 1, X fin 2, pas 0,1 ;
repère le changement de signe de f(x) entre 1,5 et 1,6, puis recommence entre 1,5 et 1,6 avec un pas de 0,01 pour le centième.

Casio Graph 35+E II (même chemin sur Graph 90+E)

MENU, ouvre Table et entre Y1 = x^3 + x - 5 (la touche X,θ,T tape x) ;
F5 SET : Start 1, End 2, Step 0,1, puis EXE et F6 TABLE ;
repère le changement de signe de Y1, puis resserre le pas.

TI-83 Premium CE (la TI standard au lycée, commandes en français)

touche f(x), entre Y1 = X^3 + X - 5 ;
2nde fenêtre (déf table) : DébTable 1, PasTable 0,1 ;
2nde graphe (table) : fais défiler, repère le changement de signe, puis diminue PasTable.

🎮 Entraîne-toi : que dit le TVI ?

Lis les hypothèses (continuité ? stricte monotonie ? k entre f(a) et f(b) ?) et conclus.

IV. Application aux suites u(n+1) = f(u(n))

Théorème du point fixe Soit f continue sur un intervalle I et (u_n) une suite à valeurs dans I telle que u_{n+1} = f(u_n).
Si (u_n) converge vers L, alors f(L) = L (admis) : la limite est un point fixe de f.

Exemple rédigé : trouver la limite La suite u_{n+1} = 0{,}85\,u_n + 1{,}8 est supposée convergente vers L, et f(x) = 0{,}85x + 1{,}8 est continue.
Alors L vérifie L = 0{,}85L + 1{,}8, soit 0{,}15L = 1{,}8 et L = 12.

⚠️ Il faut D'ABORD prouver la convergence L'équation f(L) = L ne sert que si on sait déjà que la suite converge (souvent par le théorème de convergence monotone). Une suite divergente peut très bien « rater » un point fixe.

🎮 Entraîne-toi : le point fixe

Résous l'équation L = f(L) pour trouver la limite de la suite.

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