Fiche d'exercices Logimaths | Terminale maths expertes
Fiche d'exercices : Divisibilité et congruences
8 exercices progressifs ⭐ → ⭐⭐⭐ : cherche d'abord, la correction est sous chaque énoncé
Échauffement
Exercice 1 : Divisibilité⭐
- Donne tous les diviseurs positifs de 36.
- Montre que si d divise n, alors d divise 5n + 3d.
👆 ▶ Correction de l'exercice 1
1. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (neuf diviseurs).
2. d | n et d | d, donc d divise toute combinaison linéaire 5n + 3d ∎ (propriété des combinaisons linéaires).
2. d | n et d | d, donc d divise toute combinaison linéaire 5n + 3d ∎ (propriété des combinaisons linéaires).
Exercice 2 : Division euclidienne⭐
- Écris la division euclidienne de 247 par 15.
- Écris celle de −38 par 7 (attention : le reste doit rester entre 0 et 6 !).
👆 ▶ Correction de l'exercice 2
1. 247 = 15 \times 16 + 7 (reste 7).
2. -38 = 7 \times (-6) + 4 : quotient −6, reste 4. Écrire 7 × (−5) − 3 serait faux : un reste négatif est interdit.
2. -38 = 7 \times (-6) + 4 : quotient −6, reste 4. Écrire 7 × (−5) − 3 serait faux : un reste négatif est interdit.
Le cœur du chapitre
Exercice 3 : Premières congruences⭐⭐
- A-t-on 53 \equiv 11 \;[7] ? Et 100 \equiv 2 \;[7] ?
- Trouve le plus petit entier naturel congru à 2026 modulo 9.
- Sans calculatrice, montre que {53 \times 100 \equiv 4 \times 2 \;[7]} et donne le reste de 5300 modulo 7.
👆 ▶ Correction de l'exercice 3
1. 53 − 11 = 42 = 7 × 6 : oui. 100 − 2 = 98 = 7 × 14 : oui.
2. 2 + 0 + 2 + 6 = 10, puis 1 + 0 = 1 : {2026 \equiv 1 \;[9]} (critère de la somme des chiffres).
3. 53 \equiv 4 \;[7] et 100 \equiv 2 \;[7] : par compatibilité du produit, \begin{aligned}5300 &\equiv 8 \\ &\equiv 1 \;[7]\end{aligned} : reste 1.
2. 2 + 0 + 2 + 6 = 10, puis 1 + 0 = 1 : {2026 \equiv 1 \;[9]} (critère de la somme des chiffres).
3. 53 \equiv 4 \;[7] et 100 \equiv 2 \;[7] : par compatibilité du produit, \begin{aligned}5300 &\equiv 8 \\ &\equiv 1 \;[7]\end{aligned} : reste 1.
Exercice 4 : Le chiffre des unités⭐⭐
- Établis le cycle des puissances de 3 modulo 10.
- Déduis-en le chiffre des unités de 3^{2027}.
👆 ▶ Correction de l'exercice 4
1. 3, 9, 7, 1, puis ça recommence : cycle de longueur 4.
2. 2027 = 4 \times 506 + 3 : \begin{aligned}3^{2027} &\equiv 3^3 \\ &\equiv 7 \;[10]\end{aligned} Le chiffre des unités est 7.
2. 2027 = 4 \times 506 + 3 : \begin{aligned}3^{2027} &\equiv 3^3 \\ &\equiv 7 \;[10]\end{aligned} Le chiffre des unités est 7.
Exercice 5 : Divisibilité par tableau de restes⭐⭐
Montre que pour tout entier n, {n(n^2 + 5)} est divisible par 3.
👆 ▶ Correction de l'exercice 5
Tableau modulo 3 :
n ≡ 0 : le produit est ≡ 0.
n ≡ 1 : \begin{aligned}n^2 + 5 &\equiv 1 + 5 \\ &= 6 \\ &\equiv 0\end{aligned} : produit ≡ 0.
n ≡ 2 : \begin{aligned}n^2 + 5 &\equiv 4 + 5 \\ &= 9 \\ &\equiv 0\end{aligned} : produit ≡ 0.
Dans tous les cas, 3 divise {n(n^2 + 5)}. ∎
n ≡ 0 : le produit est ≡ 0.
n ≡ 1 : \begin{aligned}n^2 + 5 &\equiv 1 + 5 \\ &= 6 \\ &\equiv 0\end{aligned} : produit ≡ 0.
n ≡ 2 : \begin{aligned}n^2 + 5 &\equiv 4 + 5 \\ &= 9 \\ &\equiv 0\end{aligned} : produit ≡ 0.
Dans tous les cas, 3 divise {n(n^2 + 5)}. ∎
Exercice 6 : L'astuce du −1⭐⭐
- Justifie que 9 \equiv -1 \;[10] puis donne le reste de 9^{2026} modulo 10.
- Justifie que 12 \equiv -1 \;[13] puis donne le reste de 12^{45} modulo 13.
👆 ▶ Correction de l'exercice 6
1. 9 − (−1) = 10 : oui. Donc \begin{aligned}9^{2026} &\equiv (-1)^{2026} \\ &= 1 \;[10]\end{aligned} : reste 1 (unités de 9ⁿ : 9 si n impair, 1 si n pair).
2. \begin{aligned}12^{45} &\equiv (-1)^{45} \\ &= -1 \\ &\equiv 12 \;[13]\end{aligned} : reste 12 (⚠️ on reconvertit le −1 en reste légal, entre 0 et 12).
2. \begin{aligned}12^{45} &\equiv (-1)^{45} \\ &= -1 \\ &\equiv 12 \;[13]\end{aligned} : reste 12 (⚠️ on reconvertit le −1 en reste légal, entre 0 et 12).
Pour aller plus loin
Exercice 7 : Équation de congruence⭐⭐⭐
On cherche les entiers x tels que {3x \equiv 5 \;[7]}.
- Teste x ≡ 0, 1, …, 6 modulo 7 dans un tableau.
- Conclus en décrivant TOUS les entiers solutions.
👆 ▶ Correction de l'exercice 7
1. 3x modulo 7 pour x = 0…6 : 0, 3, 6, 2, 5, 1, 4. La valeur 5 est atteinte pour x ≡ 4.
2. Solutions : tous les entiers de la forme x = 4 + 7k,\ k \in \mathbb{Z} (une congruence a une infinité de solutions entières, jamais une seule).
2. Solutions : tous les entiers de la forme x = 4 + 7k,\ k \in \mathbb{Z} (une congruence a une infinité de solutions entières, jamais une seule).
Exercice 8 : Synthèse type bac : la clé de contrôle⭐⭐⭐
Un numéro ISBN utilise une clé calculée modulo 11. Pour un code c_1 c_2 \dots c_9, la clé k vérifie : {k \equiv c_1 + 2c_2 + 3c_3 + \dots + 9c_9 \;[11]}.
- Calcule la clé du code 2 0 2 6 0 1 0 0 1 (somme pondérée : 1×2 + 2×0 + 3×2 + 4×6 + 5×0 + 6×1 + 7×0 + 8×0 + 9×1).
- Pourquoi une erreur sur UN chiffre est-elle toujours détectée ? (regarde ce que devient la somme modulo 11)
👆 ▶ Correction de l'exercice 8
1. Somme = 2 + 0 + 6 + 24 + 0 + 6 + 0 + 0 + 9 = 47 et 47 = 11 \times 4 + 3 : clé k = 3.
2. Changer le chiffre c_i en c_i' modifie la somme de i(c_i' - c_i), avec 1 ≤ i ≤ 9 et {-9 \leq c_i' - c_i \leq 9} non nul : comme 11 est premier et ne divise ni i ni la différence, il ne divise pas le produit : la clé change, l'erreur est détectée. C'est exactement pour cela qu'on choisit le module 11 (premier) et pas 10.
2. Changer le chiffre c_i en c_i' modifie la somme de i(c_i' - c_i), avec 1 ≤ i ≤ 9 et {-9 \leq c_i' - c_i \leq 9} non nul : comme 11 est premier et ne divise ni i ni la différence, il ne divise pas le produit : la clé change, l'erreur est détectée. C'est exactement pour cela qu'on choisit le module 11 (premier) et pas 10.