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Fiche d'exercices Logimaths

Coniques et perspective centrale (STD2A)

Coniques, excentricité, lecture graphique et perspective ; 8 exercices corrigés, Niveau Terminale Techno.

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Exercice 1 : Équation d'une ellipse

Une ellipse a pour équation \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1.
  1. Identifier les valeurs de a et b (avec {\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1}).
  2. Donner les coordonnées des sommets de l'ellipse situés sur l'axe des abscisses.
Voir la correction
a)\begin{aligned}a^2 &= 25 \\ &\Rightarrow a = 5\end{aligned}   \begin{aligned}b^2 &= 9 \\ &\Rightarrow b = \mathbf{3}\end{aligned}
b)Sommets sur l'axe des abscisses : \mathbf{(5\,;0)} et \mathbf{(-5\,;0)}.

Exercice 2 : Perspective centrale

Dans un dessin en perspective centrale, deux droites parallèles dans la réalité semblent converger vers un même point sur la ligne d'horizon.
  1. Comment appelle-t-on ce point de convergence ?
  2. Combien de points de ce type comporte une perspective « à deux points de fuite »\ ?
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a)On l'appelle un point de fuite.
b)Une perspective à deux points de fuite en comporte, par définition, \mathbf{2}.

Exercice 3 : Identifier une conique

Pour chacune des équations suivantes, préciser s'il s'agit d'un cercle, d'une ellipse, d'une parabole ou d'une hyperbole, puis donner ses éléments caractéristiques (a, b, sommet, foyer... selon le cas).
  1. \dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1
  2. y^2=8x
  3. \dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{4}=1
  4. x^2+y^2=25
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a)C'est une ellipse : \begin{aligned}a^2 &= 16 \\ &\Rightarrow a = 4\end{aligned} \begin{aligned}b^2 &= 9 \\ &\Rightarrow b = 3\end{aligned} Comme a>b, le grand axe est porté par l'axe des abscisses, de longueur 2a=8.
b)C'est une parabole d'équation y^2=2px avec 2p=8, donc p=4. Son foyer est F(2\,;0) et sa directrice a pour équation x=-2.
c)C'est une hyperbole : \begin{aligned}a^2 &= 9 \\ &\Rightarrow a = 3\end{aligned} \begin{aligned}b^2 &= 4 \\ &\Rightarrow b = 2\end{aligned} Ses asymptotes ont pour équations \begin{aligned}y &= \pm\dfrac{b}{a}x \\ &= \pm\dfrac23x\end{aligned}
d)C'est un cercle de centre l'origine O et de rayon \begin{aligned}R &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

Exercice 4 : Déterminer une équation réduite

On considère un repère orthonormé d'origine O.
  1. Déterminer l'équation réduite de l'ellipse de centre O, dont le grand axe (porté par l'axe des abscisses) mesure 10 unités et dont les foyers sont les points F(3\,;0) et F'(-3\,;0). Calculer son excentricité.
  2. Déterminer l'équation réduite de la parabole de sommet O, d'axe de symétrie l'axe des abscisses, ouverte vers les x positifs, et passant par le point A(2\,;4).
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a)Le grand axe mesure 2a=10 donc a=5. La distance des foyers au centre est c=3. Comme b^2=a^2-c^2, on a \begin{aligned}b^2 &= 25-9 \\ &= 16\end{aligned} donc b=4. L'équation réduite est \mathbf{\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1}. L'excentricité est \begin{aligned}e &= \dfrac{c}{a} \\ &= \dfrac35 \\ &= \mathbf{0{,}6}\end{aligned}
b)La parabole cherchée a pour équation y^2=2px. Comme elle passe par A(2\,;4) : \begin{aligned}4^2 &= 2p\times2 \\ &\Rightarrow 16 = 4p \\ &\Rightarrow p = 4\end{aligned} L'équation réduite est \mathbf{y^2=8x}.

Exercice 5 : Vrai ou faux ? (à justifier)

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
  1. L'excentricité d'un cercle est égale à 1.
  2. Pour une hyperbole d'équation {\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1}, les asymptotes ont pour équations y=\pm\dfrac ba x.
  3. Pour une ellipse d'équation {\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1} avec a<b, le grand axe est porté par l'axe des abscisses.
  4. La parabole d'équation y^2=2px (avec p>0) a pour foyer le point \left(\dfrac p2\,;0\right).
  5. Toute conique d'excentricité strictement supérieure à 1 est une hyperbole.
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a)Faux. Le cercle correspond à l'excentricité e=0 (ses deux foyers sont confondus avec le centre). C'est l'hyperbole, pas le cercle, qui a une excentricité strictement supérieure à 1.
b)Vrai. C'est la propriété caractéristique des asymptotes de l'hyperbole d'équation réduite {\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1}.
c)Faux. Si a<b, c'est b qui est le plus grand des deux paramètres : le grand axe, de longueur 2b, est alors porté par l'axe des ordonnées, pas par l'axe des abscisses.
d)Vrai. C'est la position du foyer donnée par la propriété du cours pour une parabole d'équation y^2=2px.
e)Vrai. Par définition, l'excentricité classe les coniques : e=0 pour le cercle, 0<e<1 pour l'ellipse, e=1 pour la parabole et e>1 pour l'hyperbole. Une excentricité strictement supérieure à 1 caractérise donc bien une hyperbole.

Exercice 6 : Lecture graphique

Le graphique ci-dessous représente une ellipse de centre O, dont les sommets sur l'axe des abscisses sont (6\,;0) et (-6\,;0), et les sommets sur l'axe des ordonnées sont (0\,;2) et (0\,;-2).
x y 6 -6 2 -2

Ellipse lue sur le graphique : sommets en (\pm6\,;0) et (0\,;\pm2).

  1. Donner l'équation réduite de cette ellipse.
  2. Calculer la distance c du centre à chaque foyer, puis l'excentricité e de l'ellipse.
Voir la correction
a)On lit a=6 et b=2, donc l'équation réduite est \mathbf{\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{4}=1}.
b)\begin{aligned}c^2 &= a^2-b^2 \\ &= 36-4 \\ &= 32\end{aligned} donc \begin{aligned}c &= \sqrt{32} \\ &= 4\sqrt2 \\ &\approx \mathbf{5{,}66}\end{aligned} L'excentricité est \begin{aligned}e &= \dfrac ca \\ &= \dfrac{4\sqrt2}{6} \\ &= \dfrac{2\sqrt2}{3} \\ &\approx \mathbf{0{,}94}\end{aligned} Une ellipse très aplatie, proche d'un segment.

Exercice 7 : Problème : profil d'une applique lumineuse

Un designer conçoit le profil (vu de côté) d'une applique murale décorative en trois parties, chacune modélisée par une conique dans un repère orthonormé (O\,;\vec\imath,\vec\jmath) gradué en centimètres : une arche parabolique en partie haute, un hublot elliptique au centre, un pied évasé en forme d'hyperbole.

Partie A : L'arche parabolique

L'arche du haut a la forme d'une parabole de sommet S(0\,;0), d'axe de symétrie l'axe des ordonnées, ouverte vers le bas, et passant par les points (3\,;-3) et (-3\,;-3) (pieds de l'arche).
  1. Justifier que l'équation de l'arche est de la forme y=ax^2, puis déterminer la valeur de a.
  2. Calculer la hauteur perdue par l'arche entre son sommet et le point d'abscisse x=1{,}5.
Voir la correction : Partie A
a)L'axe de symétrie est l'axe des ordonnées et le sommet est à l'origine : l'équation est bien de la forme y=ax^2. Comme l'arche passe par (3\,;-3) : \begin{aligned}-3 &= a\times3^2 \\ &= 9a\end{aligned} donc a=-\dfrac13. L'équation de l'arche est \mathbf{y=-\dfrac13x^2} sur [-3\,;3].
b)En x=1{,}5 : \begin{aligned}y &= -\dfrac13\times1{,}5^2 \\ &= -\dfrac13\times2{,}25 \\ &= -0{,}75\end{aligned} La hauteur perdue par rapport au sommet est donc |{-0{,}75}|=\mathbf{0{,}75\ \text{cm}}.

Partie B : Le hublot elliptique

Le hublot central est une ellipse de centre O, de demi-grand axe a=4\,\text{cm} (horizontal) et de demi-petit axe b=3\,\text{cm} (vertical).
  1. Donner l'équation réduite du hublot.
  2. Calculer son excentricité e, arrondie au centième.
Voir la correction : Partie B
a)L'équation réduite est \mathbf{\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1}.
b)\begin{aligned}c^2 &= a^2-b^2 \\ &= 16-9 \\ &= 7\end{aligned} donc c=\sqrt7. L'excentricité est \begin{aligned}e &= \dfrac{c}{a} \\ &= \dfrac{\sqrt7}{4} \\ &\approx \mathbf{0{,}66}\end{aligned}

Partie C : Le pied évasé

Le pied de l'applique suit une branche d'hyperbole d'équation x^2-\dfrac{y^2}{4}=1 (pour x\geqslant1).
  1. Donner les valeurs de a et b pour cette hyperbole.
  2. Donner les équations des asymptotes, et expliquer ce qu'elles représentent pour le designer qui dessine l'évasement du pied.
Voir la correction : Partie C
a)En comparant à {\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1}, on a \begin{aligned}a^2 &= 1 \\ &\Rightarrow a = 1\end{aligned} et \begin{aligned}b^2 &= 4 \\ &\Rightarrow b = 2\end{aligned}
b)Les asymptotes ont pour équations \begin{aligned}y &= \pm\dfrac ba x \\ &= \pm2x\end{aligned} Pour le designer, elles donnent la direction limite vers laquelle le profil du pied s'évase sans jamais la toucher : elles servent de guide de construction pour dessiner une courbe qui s'ouvre de façon régulière et de plus en plus proche de ces deux droites, sans jamais devenir rectiligne.

Exercice 8 : Construction en perspective à deux points de fuite

On souhaite représenter un pavé droit (boîte rectangulaire) en perspective à deux points de fuite, aucune de ses faces n'étant parallèle au tableau.
  1. Où doit-on placer les deux points de fuite PF_1 et PF_2 ?
  2. Décrire les étapes de construction : que trace-t-on en premier, et comment obtient-on les arêtes horizontales du pavé ?
  3. Quelle est la direction des arêtes verticales du pavé sur le dessin ?
Voir la correction
a)Les deux points de fuite PF_1 et PF_2 doivent être placés sur la ligne d'horizon, de part et d'autre de l'arête verticale la plus proche de l'observateur.
b)On trace d'abord l'arête verticale la plus proche de l'observateur, en vraie grandeur (c'est la seule longueur du pavé qui n'est pas déformée par la perspective). On relie ensuite chacune de ses deux extrémités aux deux points de fuite PF_1 et PF_2 : ces droites de fuite donnent la direction des arêtes horizontales du pavé, dont on choisit la longueur apparente sur chaque fuyante pour placer les arêtes verticales suivantes.
c)Les arêtes verticales du pavé restent verticales sur le dessin, quel que soit le nombre de points de fuite utilisés : seules les directions horizontales sont affectées par la perspective.

Fiche d'exercices rédigée par Logimaths.